讓學(xué)生經(jīng)歷“結(jié)構(gòu)化”的過程

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾說過：“與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?！痹谶M行整理和復(fù)習(xí)時，與其幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不如讓學(xué)生經(jīng)歷一個“結(jié)構(gòu)化”的過程。數(shù)學(xué)知識是結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的，因此，在兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)具有十分重要的意義，而結(jié)構(gòu)化思維只有在結(jié)構(gòu)化的教學(xué)中得到啟迪和培養(yǎng)。在整理圖形知識時，不妨讓學(xué)生經(jīng)歷一個“結(jié)構(gòu)化”的過程。

一、“求聯(lián)”——構(gòu)建圖形的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系

美國教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，學(xué)生“獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會被遺忘的知識”。教師教學(xué)時，不能教孤立的片段，而應(yīng)該教連貫的材料，因為有聯(lián)系的事物學(xué)得快，記得牢。因此，教學(xué)活動的關(guān)鍵在于“不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)”。

1.分類梳理

分類是一種比較常用的整理方法。進行圖形知識的系統(tǒng)整理時，可先讓學(xué)生回顧所學(xué)的圖形，然后引導(dǎo)他們進行分類。圖形知識的樹形圖內(nèi)容如下：圖形包括平面圖形和立體圖形，平面圖形包括多邊形和圓等圖形，多變形包括三角形、四邊形、五邊形等，三角形包括銳角三角形、直角三角形、銳角三角形，四邊形包括平行四邊形、梯形等。這樣的梳理能使知識形成體系，凸顯清晰的邏輯結(jié)構(gòu)

2.畫圖凸顯

畫圖是一種 “高級”的表達方式，它能將我們的理解更直觀化。圖形之間的關(guān)系比較復(fù)雜，既有包含關(guān)系，也有并列關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生用集合圖的方式表示出兩個或者幾個圖形之間的關(guān)系。然后通過反饋交流，進一步完善，最終出現(xiàn)有關(guān)圖形的完整集合圖，內(nèi)容如下：圖形包括平面圖形和立體圖形，平面圖形包括多邊形和圓等圖形，多變形包括三角形、四邊形、五邊形等，三角形包括銳角三角形、直角三角形、銳角三角形，四邊形包括平行四邊形、梯形等；立體圖形包括長方體、圓柱、圓錐等，長方體又包括正方體。

顯然，就圖形知識的整體性把握而言，我們不應(yīng)停留于邏輯關(guān)系，而應(yīng)努力幫助學(xué)生建立起相應(yīng)的圖形網(wǎng)絡(luò)（認(rèn)知結(jié)構(gòu)）?！斑壿嫿Y(jié)構(gòu)”與“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”的一個重要區(qū)別是：前者表現(xiàn)為線性的、單向的關(guān)系，后者則是雙向的（多向性）、網(wǎng)狀的。整理圖形的關(guān)系時，從大處著手，先構(gòu)建大的框架，能使部分和整體之間的關(guān)系形成一種網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，這對于構(gòu)建清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。

二、“求同”——尋找圖形的對應(yīng)關(guān)系

圖形知識這一系統(tǒng)可分成許多子系統(tǒng)，把各子系統(tǒng)橫向比較，會發(fā)現(xiàn)它們之間有某些對應(yīng)關(guān)系，其組織結(jié)構(gòu)可能相同，其研究過程也可能相同，這些都可看作是“同構(gòu)”。因此，在整理圖形知識時，求同的舉措，能探尋到圖形之間某種對應(yīng)關(guān)系。

1.研究方式邏輯線路之相同處

譬如，在幾何中，三角形與各種多邊形的研究方式同構(gòu)，一般都是先定義概念，再研究圖形性質(zhì)。譬如，組成它的點、線、面數(shù)量與性質(zhì)，內(nèi)部存在的角的大小，以及周長、面積、體積等，再研究圖形與其他圖形的關(guān)系（相等、相交、平行、垂直等）。

2.計算公式推導(dǎo)圖式之相同處

對各知識子系統(tǒng)“同構(gòu)”關(guān)系的發(fā)現(xiàn)與把握非常有價值，能促使我們找到表面異質(zhì)的各子系統(tǒng)的同質(zhì)性，獲得“舉一反三”之效，促進學(xué)生的理解和簡化記憶。其實，仔細分析就會發(fā)現(xiàn)，這些相同的“構(gòu)”其實就是數(shù)學(xué)基本思想方法。正因為數(shù)學(xué)家研究不同領(lǐng)域用了相同的量化、邏輯化、化歸化、結(jié)構(gòu)化等基本思想方法，才出現(xiàn)了各子系統(tǒng)之間的同構(gòu)性。

三、“求通”——突出圖形的轉(zhuǎn)換關(guān)系

教師出示長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形，讓學(xué)生思考：這些立體圖形跟哪些平面圖形有關(guān)系？并畫出相應(yīng)的示意圖。

通過交流展示，學(xué)生會形成如下共識：長方體跟長方形（或正方形）有關(guān)系，長方體是由六個長方形圍成。正方體跟正方形有關(guān)系，它由六個正方形圍成。圓柱跟圓有關(guān)，也跟長方形（側(cè)面展開圖）有關(guān)，圓錐跟圓和扇形有關(guān)。其實，很多平面圖形都能從立體圖形上找到，因此，我們可以說“面在體上”。而立體圖形都是由面圍成的，也可以說“面圍成體”。

2.由平面圖形聯(lián)想到立體圖形。

出示一些平面圖形，如長方形、梯形、圓、直角三角形、正三角形、正六邊形，讓學(xué)生說說，看到某一個平面圖形會聯(lián)想到哪些立體圖形。

在同伴的相互啟發(fā)下，學(xué)生會達成如下共識：看到圓會聯(lián)想到球或圓柱，看到三角形會聯(lián)想到圓錐或三棱錐，看到六邊形會聯(lián)想到六棱柱等。教師還可順勢進行課件演示，如：將長方形旋轉(zhuǎn)成圓柱，接著，將長方形變形為梯形，再將梯形旋轉(zhuǎn)成圓臺，隨后，再將梯形變化為三角形，最后將三角形旋轉(zhuǎn)成圓錐。事實上，平面圖形和立體圖形雖是并列關(guān)系，互不干涉。但換個角度思考，又能找出很多的聯(lián)系。這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之神奇，對立之中又往往體現(xiàn)著統(tǒng)一。

總之，高度結(jié)構(gòu)化的知識不僅不易被遺忘，即便已遺忘，它也有著多重途徑被找回。當(dāng)知識被高度結(jié)構(gòu)化的時候，新的知識就能被順利連接，并被融合進已有的知識網(wǎng)絡(luò)中，而不是只產(chǎn)生元素之間的單個連接。當(dāng)學(xué)生具備“求聯(lián)”、“求同”、“求通”等結(jié)構(gòu)化思維時，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就能經(jīng)歷一個“結(jié)構(gòu)化“的過程，掌握知識時，也能做到觸類旁通、舉一反三。

（作者單位：江蘇省張家港市云盤小學(xué)）