巧用微元法求解電磁感應(yīng)中的疑難問(wèn)題

在高中物理中，由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的局限，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算的一些問(wèn)題，在高中很難加以解決，成為一大難題。但是如果應(yīng)用積分的思想，化整為零，化曲為直，采用“微元法”，可以很好的解決這類(lèi)問(wèn)題?！拔⒃ā蓖ㄋ椎卣f(shuō)就是把研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植康饺w綜合起來(lái)加以考慮的科學(xué)思維方法，在這個(gè)方法充分體現(xiàn)了積分的思想。本文結(jié)合電磁感應(yīng)中的幾種疑難問(wèn)題，對(duì)微元法的靈活應(yīng)用加以分析說(shuō)明。

類(lèi)型一：“切割類(lèi)”模型

導(dǎo)體切割磁感線(xiàn)是高中物理最常見(jiàn)的產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的基本模型之一，我們將這種模型簡(jiǎn)稱(chēng)為“切割類(lèi)”模型。直線(xiàn)切割比較簡(jiǎn)單，但對(duì)于不規(guī)則形狀的切割可以利用微元法來(lái)求解。具體如下例：

例1：如圖1所示，A、B為半徑為R的半圓形金屬導(dǎo)體，當(dāng)AB以v水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AB兩端的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)多大？

解析：高中生利用法拉第電磁感應(yīng)定律可以推導(dǎo)出直線(xiàn)切割時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLV，但是對(duì)于不規(guī)則導(dǎo)體切割磁感線(xiàn)的情況漢高束手無(wú)策。此時(shí)不妨利用微元法，將金屬導(dǎo)體AB分為無(wú)數(shù)條小段，如下圖2所示：

在圖2中選取任意一小段導(dǎo)體L，將其無(wú)限放大后如圖3所示，由于導(dǎo)體L本身比較短，可以將導(dǎo)體L等效為直線(xiàn)，則導(dǎo)體L可以正交分解為水平分量Lx和豎直分量Ly，水平分量Lx不會(huì)切割磁感線(xiàn)，豎直分量Ly切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為EL=BLyV，以此類(lèi)推，每一小段導(dǎo)體切割的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)都可以按照正交分解的辦法，所有豎直分量疊加起來(lái)即為打?qū)wAB的直徑2R，故導(dǎo)體AB產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為：E=B2RV=2BRV.

類(lèi)型二：“插入類(lèi)”模型

當(dāng)條形磁鐵插入或者拔出閉合金屬環(huán)時(shí)，金屬環(huán)內(nèi)會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，電流方向可以用楞次定律判定。但是利用微元法可以解釋金屬環(huán)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，有利于更加深刻的理解楞次定律中的“阻礙”的含義。

例2：如圖4所示，水平桌面上放一閉合鋁環(huán)，在鋁環(huán)軸線(xiàn)上方有一條形磁鐵，當(dāng)條形磁鐵沿軸線(xiàn)豎直向下迅速靠近鋁環(huán)時(shí)，鋁環(huán)對(duì)桌面的壓力如何變化？

解析：當(dāng)條形磁鐵S極靠近鋁環(huán)時(shí)，穿過(guò)鋁環(huán)磁感線(xiàn)斜向上且磁通量增加，根據(jù)楞次定律判定鋁環(huán)中感應(yīng)電流方向沿順時(shí)針?lè)较颍ǜ┮曈^(guān)察）。將有感應(yīng)電流通過(guò)的鋁環(huán)分成許多微元段，根據(jù)左手定則分析鋁環(huán)上各直徑兩端對(duì)稱(chēng)微元段所受安培力，受力如圖5所示，可知各微元段所受安培力斜向下指向內(nèi)側(cè)，將各個(gè)微元的安培力分解到水平方向和豎直方向，則發(fā)現(xiàn)每段微元受到的安培力豎直分量均向下，則條形磁鐵向下靠近時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，鋁環(huán)對(duì)桌面壓力增大。同時(shí)可以看出，鋁環(huán)受的安培力水平分量均指向圓心，則鋁環(huán)有收縮趨勢(shì)。

類(lèi)型三：“互感類(lèi)”模型

相互靠近的導(dǎo)線(xiàn)通電時(shí)，相互之間有沒(méi)有力的作用呢？給螺線(xiàn)管通電的瞬間，螺線(xiàn)管會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？這類(lèi)問(wèn)題歸根結(jié)底還是電磁感應(yīng)和安培力知識(shí)的結(jié)合，但是直接從正面求解難以下手，也比較難得出結(jié)論。如果利用微元法，以小見(jiàn)大，就可以清楚的說(shuō)明問(wèn)題。

例3：如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的通電螺線(xiàn)管通以如圖所示的電流時(shí)，螺線(xiàn)管的長(zhǎng)度有沒(méi)有微小變化？若有，那螺線(xiàn)管是變長(zhǎng)還是變短呢？

解析：面對(duì)這樣的問(wèn)題，許多同學(xué)不知道如何下手。其實(shí)很多同學(xué)對(duì)于兩根直線(xiàn)電流的情況能自主分析，而對(duì)于一個(gè)“龐大”的螺線(xiàn)管就不知道怎么處理了。高中階段我們利用微元法的思想，將螺線(xiàn)管相鄰兩匝對(duì)應(yīng)部分分成無(wú)數(shù)段非常小的直線(xiàn)電流，如圖7所示，則這兩段相鄰的直線(xiàn)電流為兩條相互平行的同向直線(xiàn)電流，對(duì)于相互平行的同向直線(xiàn)電流之間的相互作用力分析如圖8所示：

直導(dǎo)線(xiàn)A在其下半部分區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)如圖所示（豎直截面圖），則由左手定則可以判定導(dǎo)線(xiàn)B所受的安培力方向向上。同樣的道理，導(dǎo)線(xiàn)A所受的安培力豎直向下。所以?xún)蓷l相互平行的同向直線(xiàn)電流之間具有相互吸引的作用力。所以這兩條導(dǎo)線(xiàn)A、B有相互靠近的趨勢(shì)。那么，對(duì)于一個(gè)通直流電的螺線(xiàn)管，可以視為是無(wú)數(shù)個(gè)相互平行同向直線(xiàn)電流小微元組合起來(lái)的，相鄰兩匝之間也會(huì)相互吸引。所以，本題中通電螺線(xiàn)管通以如圖所示的電流時(shí)，螺線(xiàn)管的長(zhǎng)度有會(huì)因?yàn)橄嗷ノ兌獭?/p>

以上幾個(gè)例子僅僅從電磁感應(yīng)模塊的幾個(gè)疑難問(wèn)題方面講述了微元法的巧妙用處。高中物理中利用微元法解題的知識(shí)點(diǎn)非常多。例如求變力做功問(wèn)題、求不規(guī)則物體間的萬(wàn)有引力等都可以利用微元法求解。

微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]百度百科：“微元法”解釋http：//baike.baidu.com/view/723856.htm

[2]程守株.《普通物理學(xué)》.高等教育出版社

（作者單位：廣東省中山市第二中學(xué)）