小波變換在圖像去噪中的應(yīng)用

【摘要】圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中很容易受到各種因素的影響，因此現(xiàn)實中的圖像往往都含有噪聲。這種噪聲圖像不利于人們的觀測和后續(xù)更高層次的圖像處理，所以圖像去噪在圖像預處理中十分重要；去噪的目的就是在有效去除噪聲的同時保留圖像的細節(jié)，從而獲得高質(zhì)量的圖像。小波變換具有良好的時頻局部特性，被廣泛應(yīng)用于信號和圖像處理領(lǐng)域。

【關(guān)鍵詞】圖像；噪聲，圖像去噪；小波變換

1.引言

圖像是人們獲取信息的主要來源，而圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中很容易受到各種因素的影響，使得觀測到的圖像往往是含有噪聲的圖像。圖像在獲取過程中引入的噪聲主要是由于圖像傳感器在工作時受到外界環(huán)境的影響及自身質(zhì)量的影響而產(chǎn)生的[1]。一般的噪聲是不可測的隨機信號，它只能用概率統(tǒng)計的方法去認識。噪聲對圖像處理十分重要，它影響圖像質(zhì)量的輸入、采集、處理的各個環(huán)節(jié)以及輸出結(jié)果的全過程。因此在圖像預處理中圖像去噪十分重要。

2.圖像去噪方法

根據(jù)圖像和噪聲的不同特性，研究者們提出了大量的圖像去噪方法，如均值濾波方法、中值濾波方法、Wiener濾波方法、基于傅立葉變換的去噪方法以及基于小波變換的去噪方法，這些方法大致可以歸納為兩類：空域的方法和變換域的方法[2]。

空域的去噪方法是直接對圖像中的像素進行處理，該方法出現(xiàn)的時間較早且具有較完備的理論基礎(chǔ)，屬于經(jīng)典的去噪方法。主要有均值濾波算法、中值濾波算法和Wiener濾波算法。

均值濾波算法[1]是最簡單也是最常用的一種空域去噪算法。其公式為：

其中，為當前像素，為濾波器的輸出，是以為中心的鄰域窗，M是鄰域內(nèi)的像素總數(shù)。

均值濾波算法是將一個像素及其鄰域中的所有像素的平均值賦給輸出圖像中的相應(yīng)像素，從而達到去除噪聲的目的。這種濾波算法實際上相當于低通濾波器，因此能夠有效地去除由噪聲引起的灰度值的尖銳變化。然而，由于圖像的細節(jié)和邊緣也表現(xiàn)為圖像灰度值的尖銳變化，所以均值濾波器在濾除噪聲的同時會使圖像的細節(jié)和邊緣變得模糊。

中值濾波算法是一種非線性空域去噪算法。其定義為：

它將一個像素鄰域內(nèi)所有像素值從小到大排列，取中間值作為中心像素的輸出值。與均值濾波算法不同，中值濾波算法是讓與周圍像素灰度值的差比較大的像素改取與周圍像素值接近的值，從而可以消除孤立的噪聲點，達到去除噪聲的目的。對于高斯噪聲，中值濾波算法的性能不如均值濾波算法；而對于脈沖噪聲和椒鹽噪聲，中值濾波算法既可以去除噪聲又能夠在一定程度上保持邊緣，性能優(yōu)于均值濾波算法。但中值濾波算法在去除噪聲時僅考慮了鄰域內(nèi)像素的排序信息，忽略了像素的時序信息，因此會在邊緣處產(chǎn)生抖動并會刪除一些重要的圖像細節(jié)。

Wiener濾波算法是一種基于原始圖像信號和噪聲統(tǒng)計特性的線性濾波算法。在均方誤差意義上有最優(yōu)的性能。當原始信號和噪聲信號都為平穩(wěn)高斯過程時，Wiener濾波有很簡單的表達式：

其中為原始圖像信號方差，為噪聲方差。自然圖像為非平穩(wěn)信號，為簡化Wiener濾波器的實現(xiàn)，實際應(yīng)用時常把局部圖像簡化為平穩(wěn)高斯分布。雖然Wiener濾波器去噪后的圖像比均值濾波器有較高的峰值信噪比（PSNR），但是Wiener濾波是一種線性濾波，會使邊緣變得模糊。

變換域去噪算法主要利用有用信號和噪聲信號在變換域表現(xiàn)出的不同特征來有效地去除噪聲，主要有基于傅立葉變換的去噪算法和基于小波變換的去噪算法。

基于傅立葉變換的去噪算法是根據(jù)噪聲能量一般集中于高頻，而圖像的頻譜分布于一個有限區(qū)間的特點，用傅立葉變換將信號（含噪圖像）變換到頻域，當信號和噪聲的頻帶相互分離時這種方法比較有效，但當信號和噪聲的頻帶相互重疊時，則效果較差，因為低通濾波在抑制噪聲的同時，也將信號的邊緣部分變得模糊；而高通濾波器可以使邊緣更加突出，但背景噪聲也同時加強。因此，基于傅立葉變換的去噪方法存在著保留邊緣和抑制噪聲的矛盾。

小波變換是二十世紀80年代發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學分支，它具有良好的時頻分析特性，在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛研究并獲得了非常好的應(yīng)用效果，已成為圖像去噪的主要方法之一。

小波變換具有良好的時頻分析特性，可以捕獲到圖像的任何細節(jié)；利用小波變換的這一特性能夠有效地對信號進行特征提取，根據(jù)有用信號和噪聲在小波域表現(xiàn)出的不同特征，可以有效地去除圖像中的噪聲[2]。早期的基于小波變換的去噪算法主要是利用小波變換的能量聚集性，沒能充分發(fā)揮小波變換的所有優(yōu)勢。隨著基于小波變換的去噪算法的不斷成熟，圖像去噪領(lǐng)域的研究方向已轉(zhuǎn)向最大限度地利用信號的先驗知識進行去噪。利用信號的先驗知識建立小波系數(shù)的統(tǒng)計模型并利用這些統(tǒng)計模型進行去噪是目前圖像去噪領(lǐng)域的研究熱點。如何建立既精確又簡單的統(tǒng)計模型成為了去噪算法的核心問題。只有在成功的統(tǒng)計模型基礎(chǔ)上，才能提出成功的圖像去噪算法，小波系數(shù)統(tǒng)計模型的精確程度決定了去噪算法的最終去噪效果。

3.小波域的圖像去噪理論

在小波域上，由于信號和噪聲在不同尺度上所表現(xiàn)出的特征不同，如對于連續(xù)信號函數(shù)，隨著尺度的增大，其小波系數(shù)也增大，但對于噪聲，其小波系數(shù)隨尺度的增大而減小[3]。這樣在小波域中，根據(jù)信號和噪聲的小波系數(shù)隨著尺度變化的不同傳播特性，可將信號和噪聲區(qū)分開來。小波域圖像去噪算法一般可分為三步：（1）將帶噪圖像進行小波變換；（2）對小波系數(shù)進行去噪處理，估計真實的小波系數(shù)；（3）對處理后的小波系數(shù)進行小波逆變換得到去噪后的圖像。大多數(shù)小波域圖像去噪算法都是針對第二步進行的。

小波域的圖像去噪原理：

如果一幅原始圖像被噪聲所污染，可以得到一幅觀測圖像

去噪的目標是從觀測到的含噪聲圖像中獲得對原始圖像的一個估計，而使均方誤差（Mean Squared Error，MSE）：

達到最小，式中N2為圖像像素總數(shù)。

在數(shù)學上，小波去噪問題的本質(zhì)是一個函數(shù)逼近問題，即如何在由小波母函數(shù)伸縮和平移所張成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準則，尋找出對原圖像的最佳逼近，以完成原圖像和噪聲的區(qū)分。

從信號學的角度看，小波去噪是一個信號濾波的問題，而且盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于在去噪后，還能成功地保留圖像特征，所以在這一點上又優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器，由此可見，小波去噪實際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其等效框圖如圖1所示。

在早期，人們通過對邊緣進行某些處理，以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。在這一點上，雖然他們同小波去噪很相似，但是小波變換之所以能夠很好地保留邊緣，是因為小波變換的多分辨率特性。對圖像進行小波變換后，由于對應(yīng)圖像特征（邊緣等）處的系數(shù)幅值變大，而且在相鄰尺度層間具有很強的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護，相對早期的方法而言，小波去噪對邊緣等特征的提取和保護是有很強的數(shù)學理論背景的，因而便于系統(tǒng)的理論分析。

小波去噪的過程大致相同，分為四個過程：小波變換、信號模型的建立、小波系數(shù)的估計和小波反變換，其流程圖如圖2所示。

參考文獻

[1]阮秋琦，阮宇智，等.數(shù)字圖像處理[M].北京：電子工業(yè)出版社（第2版），2003.

[2]崔艷秋，王珂.基于小波域局部統(tǒng)計模型的圖像去噪方法[J].光電工程，2007，34（3）：93-97.

[3]鄧承志.基于小波變換圖像去噪研究[D].江西：江西師范大學碩士學位論文，2005，6：12-13.