談?wù)務(wù)w思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

【摘要】本文對(duì)整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用作初步的分析探討，論述了整體思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

【關(guān)鍵詞】整體思想；運(yùn)用

整體思想是一種重要的思想方法，什么是整體思想？整體思想就是將問題看成一個(gè)完整的整體，注重問題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)改造的思維過程。它的特點(diǎn)是從宏觀上全面觀察事物的整體結(jié)構(gòu)，從整體上去揭示事物的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)解題中靈活應(yīng)用整體思想能夠達(dá)到快捷、簡(jiǎn)潔、過程容易的功效。我們?cè)趯W(xué)好基本概念 和基本知識(shí)的前提下應(yīng)多注重學(xué)習(xí)體會(huì)這種數(shù)學(xué)思想在實(shí)際解題中的運(yùn)用，從而體會(huì)這種思想，努力提高分析問題和解決問題的能力。初中數(shù)學(xué)運(yùn)用整體思想解題的具體表現(xiàn)形式有全局整體法、整體代換法、整體改造法、局部整體法、整體補(bǔ)形法等。現(xiàn)就結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，在廣泛吸取同行經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，談?wù)務(wù)w思想在如下幾方面的實(shí)際運(yùn)用。

一、整體思想在代數(shù)式求值中的運(yùn)用

七年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)》的第三章中用字母表示數(shù)就是一個(gè)整體思想運(yùn)用的體現(xiàn)，代數(shù)式中的字母不僅可以表示一個(gè)數(shù)，還可以表示成一個(gè)式子或一系列的數(shù)值。

例1：已知x+y=3，x3+y3+x2y+xy2=9，求x2+y2的值。

分析與解答：欲求x2+y2的值，最容易想到的是先求x與y的值。因而要先解方程。這樣便產(chǎn)生兩個(gè)問題，其一，我們現(xiàn)在還沒學(xué)過解方程；其二，即使將用x來表示出y的代數(shù)式代入解那計(jì)算也是復(fù)雜的事，不過，能從整體上改變，將x3+y3+x2y+xy2=9變形為（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）=9，即x2-xy+y2+xy=3，故x2+y2=3。

解：∵ x3+y3+x2y+xy2=（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）

=（x+y）（x2-xy+y2+xy）=（x+y）（x2+y2）=9，x+y=3

∴ x2+y2=3

像這類問題從表面上看需要局部求出各有關(guān)量，但實(shí)質(zhì)上若從“整體” 上把握已知量之間的關(guān)系，則思路更為明朗、解法更為巧妙。

二、整體思想在解方程中的運(yùn)用

我們?cè)诮夥匠痰倪^程中常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些計(jì)算較復(fù)雜的方程，但若能運(yùn)用整體思想加以詳細(xì)考察的話往往會(huì)是“柳暗花明又一村”。

例2：已知（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值。

分析：若把（a2+b2）看作一個(gè)整體，則原方程是以（a2+b2）為未知數(shù)的一元二次方程，可用因式分解法去解。

解：[（a2+b2）-3][（a2+b2）+2]=0

∴a2+b2-3=0或a2+b2+2=0

a2+b2=3或a2+b2=－2

∵a2+b2>0 ∴a2+b2=－2 （不合題意，舍去）

∴a2+b2=3

從上面的例子可以看出，在分析解題過程中，通過研究問題的整體形式，作整體處理后，便順利簡(jiǎn)潔地處理了問題。

三、整體思想在因式分解中的運(yùn)用

一些因式分解題，分了又分，解了又解，走了山路十八彎仍分解不出來，或者是算了滿滿的幾頁草稿方得出答案。此類問題不妨運(yùn)用整體思想來加以考慮問題、解決問題，你會(huì)真正體會(huì)到這種思想在解題中的奇跡性，真有“水到渠成”的感覺。

例3：分解因式（a+2b+c）3-（a+b）3-（b+c）3

分析：如果展開后消掉一部分項(xiàng)再分解，運(yùn)算量較大。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)a+2b+c=（a+b）+（b+c），那么就可以通過局部整體處理換元簡(jiǎn)化我們的運(yùn)算過程。

解：設(shè)A=a+b，B=b+c則A+B=a+2b+c 從而

原式=（A+B）3-A3-B3

=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3

=3A2B+3AB2

=3AB（A+B）

=3（a+b）（b+c）（a+2b+c）

例4：因式分解（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）-120a4

分析：觀察（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）中（x-a）（x-4a）=x2-5ax+4a2，（x-2a）（x-3a）=x2-5ax+6a2，這兩個(gè)乘積中都含有x2-5ax二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)分別相同，此時(shí)即可通過局部整體換元，令u=x2-5ax代入原式，將原式轉(zhuǎn)化為u=x2-5ax代入原式，將原式轉(zhuǎn)化為u的二次三次式后再用分組分解法分解因式。

本題通過整體考慮代換后達(dá)到思路清晰、明了，便于提高分析問題與解決問題的能力。

四、整體思想在幾何解題中的運(yùn)用

在初中幾何教學(xué)中，加強(qiáng)整體思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性、創(chuàng)造性；有利于開發(fā)智力和增進(jìn)學(xué)習(xí)興趣，運(yùn)用整體思想解某些幾何題的獨(dú)到之處是把已知圖形看作某個(gè)圖形的一部分，然后補(bǔ)形構(gòu)造出整體圖形，從分析整體與局部的有機(jī)聯(lián)系中，使問題迅速獲解。

例5：如圖，CD，BE分別是△ABC的∠ACB，∠ABC的外角的平方線，且CD⊥AD、AE⊥BE，若BC=a、CA=b，AB=c，求DE的長(zhǎng)。

分析：從已知圖形中直接求出DE的長(zhǎng)較難，若用整體的觀點(diǎn)看待此題，可以先作出Rt△BEA，Rt△CDA分別關(guān)于BE、CD對(duì)稱的圖形，即作出整個(gè)三角形AFG，問題便迎刃而解。

解：如右圖，延長(zhǎng)AE、AD分別交CB的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線于F、G，則由已知易得。

AE=EF、AD=DG 且BF=AB= c，CG=AC= b

從而ED是△AFG的中位線

∴ DE = FG = （a+b+c）。

由這道幾何題可以看出運(yùn)用整體思想指導(dǎo)解題使得我們解題明晰快捷。

五、整體思想在解綜合題中的運(yùn)用

有些綜合題，如果拘泥于常規(guī)，從局部著手，則舉步維艱；如從整體考慮，則“峰回路轉(zhuǎn)”，迅速求解。

例7：在Rt△ABC中∠C=90°，若其周長(zhǎng)為+4，斜邊上的中線為2。⑴求這個(gè)三角形的面積；⑵求這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的面積；⑶若這個(gè)直解三角形兩個(gè)銳角的正切tanA和tanB是一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，試寫出這個(gè)一元二次方程。

解：⑴∵c=2×2=4，a+b+c=+4

∴a+b=

又a2+b2 = 42 ∴ ab= 6

S△=ab=3

⑵Rt△ABC內(nèi)切圓半徑r =（a+b-c）= -2

∴S內(nèi)切圓=πr2=（11- 4）π

⑶∵tanA+ tanB =+ =，tanA·tanB=1

∴所求方程為x2-x+1=0

即 3x2-8x+3=0

分析：本題求面積，不必分別求出a、b，而以ab=6和a+b=2，而且求方程時(shí)利用根的性質(zhì)運(yùn)用韋達(dá)定理，直接整體運(yùn)用，從而使問題易于求解。

綜上所述，運(yùn)用整體思想解題，能夠拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。隨著同學(xué)們知識(shí)面的拓寬，這一方法必將會(huì)得到更加廣泛的運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]希揚(yáng)，《初中數(shù)學(xué)狀元題庫》，科學(xué)出版社，2010年版；

[2]王林栓、林國泰《中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法概論》，暨南大學(xué)出版社，2010年版；

[3]薛金星，《中學(xué)教材全解》初一數(shù)學(xué)（上） 陜西人民教育出版社，2011年版 。