廣泛聯(lián)想 融會(huì)貫通

題目：已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A（4，0）， 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8. （Ⅰ） 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（Ⅱ） 已知點(diǎn)B（-1，0）， 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q. 若x軸是∠PBQ的角平分線， 證明直線l過(guò)定點(diǎn).（2013年高考陜西理科數(shù)學(xué)第20題）

解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為（x，y），則（4-x）2+（0-y）2=42+x2，整理得y2=8x，故所求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x .

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立y2=8x，y=kx+b，消去y得，k2x2+2kbx+b2=8x？圯k2x2-（8-2kb）x+b2=0（其中△>0），x1+x2= a，x1·x2= .

設(shè)P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）. 若x軸是∠PBQ的角平分線，則kQB+kPB= + =

= = =0，即k=-b.故直線l的方程為y=k（x-1），直線過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

探究1： B點(diǎn)是否具有任意性，即若設(shè)B（a，0）（a<0），結(jié)論是否成立？

解析：同上有kQB+kPB= + =

= = =0，即ka-b=0，故直線l的方程為y=k（x+a），直線過(guò)定點(diǎn)（-a，0）.

于是得到結(jié)論1：已知點(diǎn)B（a，0）（a<0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=8x交于不同的兩點(diǎn)P、Q. 若x軸是∠PBQ的角平分線， 則直線l過(guò)定點(diǎn)（-a，0）.

探究2：若將點(diǎn)B和拋物線方程都一般化， 即若設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0），點(diǎn)B（a，0）（a<0），結(jié)論是否成立？

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立y2=2px，y=kx+b，消去y，得k2x2+2kbx+b2=2px？圯k2x2-（2p-2kb）x+b2=0（其中△>0）. 設(shè)P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）. 若x軸是∠PBQ的角平分線，則kQB+kPB= + =

= = =0，即ka-b=0. 故直線l的方程為y=k（x+a），直線過(guò)定點(diǎn)（-a，0）.

于是得到結(jié)論2：已知點(diǎn)B（a，0）（a<0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=2px（p>0）交于不同的兩點(diǎn)P、Q.若x軸是∠PBQ的角平分線， 則直線l過(guò)定點(diǎn)（-a，0）.

探究3：將拋物線向橢圓類比，即若設(shè)不垂直于x軸的直線l與橢圓 + =1（m>0，n>0，m≠n）交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)B（a，0）（a>m），x軸是的∠PBQ角平分線， 結(jié)論是否成立？

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立 + =1，y=kx+b，消去y得（n2+m2k2）x2+2m2kbx+m2（b2-n2）=0（其中△>0）.設(shè)P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）.

若x軸是∠PBQ的角平分線，則kQB+kPB= + = =

=- =0，即km2+ab=0.故直線l的方程為y=k（x- ），直線過(guò)定點(diǎn)（ ，0）.

于是得到結(jié)論3：設(shè)不垂直于x軸的直線l與橢圓 + =1（m>0，n>0，m≠n）交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)B（a，0）（a>m）.若x軸是∠PBQ的角平分線，則直線l過(guò)定點(diǎn)（ ，0）.

探究4：將拋物線向雙曲線類比，即若設(shè)不垂直于x軸的直線l與雙曲線 - =1（m>0，n>0）交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)B（a，0）（a>m），x軸是∠PBQ的角平分線， 結(jié)論是否成立？

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立 - =1，y=kx+b，消去y，得（n2-m2k2）x2-2m2kbx-m2（b2+n2）=0（其中△>0）.

設(shè)P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）. 若x軸是∠PBQ的角平分線，則kQB+kPB= + =

= =- =0，即km2+ab=0.故直線l的方程為y=k（x- ），直線過(guò)定點(diǎn)（ ，0）.

于是得到結(jié)論4：設(shè)不垂直于x軸的直線l與雙曲線 - =1（m>0，n>0）交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)B（a，0）（a>m），.若x軸是∠PBQ的角平分線，則直線l過(guò)定點(diǎn)（ ，0）.

顯然結(jié)論3、4的定點(diǎn)坐標(biāo)與結(jié)論1、2的定點(diǎn)坐標(biāo)不同.

探究5：對(duì)探究3進(jìn)行逆向思考、類比猜想、合情推理等混合聯(lián)想得到下列結(jié)論5.

結(jié)論5： 若橢圓方程為 + =1（m>0，n>0，m≠n）點(diǎn)B（a，0）（a>m），過(guò)點(diǎn)B作橢圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)確定的直線方程為x= .

解析：設(shè)直線y=k（x-a），與橢圓相切，聯(lián)立 + =1，y=k（x-a），消去y得（n2+m2k2）x2-2m2k2ax+a2m2k2-m2n2=0.由△=0得m2k2+n2=k2a2，解得x1=x2= = .于是兩切點(diǎn)確定的直線方程為x= .

以上我們從一道高考題出發(fā)，通過(guò)解析原題、廣泛聯(lián)想得到5條新結(jié)論. 在整個(gè)探究過(guò)程中， 融觀察、類比、猜想、證明于一體，三種圓錐曲線的內(nèi)在規(guī)律融會(huì)貫通，數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的和諧美、統(tǒng)一美盡現(xiàn)其中. 這給我們的啟示是： 高考題往往具有代表性、典型性、示范性和拓展性，備考中恰當(dāng)?shù)剡x用于研究性復(fù)習(xí)，對(duì)提高自身的思維層次和思維水平都有巨大的作用.

（作者單位：安徽省太湖中學(xué)、潛山野寨中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)