2013年高考廣東卷文科數(shù)學(xué)填空題分析

填空題是高考數(shù)學(xué)的一種基本題型，主要考查同學(xué)們的基礎(chǔ)知識、基本技能以及分析問題和解決問題的能力，是高考數(shù)學(xué)中的三種常考題型之一.解題時，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整，結(jié)果一旦有誤便成零分，而結(jié)果有誤通常都表現(xiàn)在會而不對，對而不全.因此解填空題，在合理分析和判斷的基礎(chǔ)上，既要使得每一個步驟的推理和運算準確無誤，又要保證答案的呈現(xiàn)形式滿足完整和規(guī)范.筆者今年有幸參加高考評卷，并負責(zé)文科數(shù)學(xué)填空題的批改.本文根據(jù)2013年廣東省年文科數(shù)學(xué)高考創(chuàng)造了人數(shù)歷史之最的39萬多名文科考生的答卷，結(jié)合自己在改卷過程中獲取到考生填空題中出現(xiàn)的典型錯解，并探究其發(fā)生原因，以便給2014年參加高考的考生一個警醒.

一、 2013年廣東高考文科數(shù)學(xué)填空題、答案和錯解分析

（一）必做題（11—13題）

11. 設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，則a1+|a2|+a3+|a4|___________.

標準答案：15

分析與解：這題考查考生最基本的數(shù)學(xué)概念——等比數(shù)列，只是加了一個絕對值符號，相當于直接給出答案了.由條件，a1=1，a2=-2，a3=4，a4=-8，a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.

典型錯誤一：2n-1.

出錯原因：粗心大意，審題不仔細，錯把問題看成要求a1+|a2|+a3+…+|an|，屬于高手犯的低級錯誤，十分可惜！

12.若曲線y=ax2-lnx在點（l，a）處的切線平行于x軸，則a=_________.

標準答案： .

分析與解：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和方程的思想.依題意，y′=2ax- ，y′|x=1=2a-1=0，∴a= .

典型錯誤一：- .

出錯原因：基礎(chǔ)知識不扎實，運算出錯或求導(dǎo)出錯，如y′=2ax+ ，或者解方程2a-1=0如此簡單的一次方程在考試緊張的情況下都算錯為a=- .

典型錯誤二： 1， .

出錯原因：核心概念理解不到位，讀不懂題意.不少考生由于導(dǎo)數(shù)知識學(xué)得不牢固，不知道“切線平行于軸”這個條件是指“切線的斜率等于零”，也不知道如何用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點處的切線斜率，只能胡亂的猜測答案.

13. 已知變量x、y滿足約束條件：x-y+3≥0，-1≤x≤1，y≥1，則z=x+y的最大值是__________.

標準答案：5.

分析與解：畫出可行域如圖，最優(yōu)解為（1，4），故填 5 .

典型錯誤： 3或者其它數(shù)字.

出錯原因：不少同學(xué)數(shù)字書寫不規(guī)范！把5寫成3！這種書寫不規(guī)范、不準確引起的失分是令人可惜的！

一個爭議性的問題：不少同學(xué)認為此題不用畫可行域，直接求出三個方程的交點，再代入z=x+y檢驗?zāi)膫€值最大即可，不少老師認同這種“傻瓜式”的做法，但是要注意這樣做僅僅是適合這種題型而已，更多的線性規(guī)劃的問題是需要畫出可行域并且理解問題的幾何意義才能做的.

（二）選做題（14—15題，考生只能從中選做一題）

14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標方程為？籽=2cos？茲，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線C的參數(shù)方程為__________.

標準答案：x=1+cost，y=sint.（t為參數(shù)）

分析與解：本題確實考到了師生備考的弱點.大部分練習(xí)都是極坐標方程與普通方程的互化，或者是參數(shù)方程與普通方程的互化，很少考這種由極坐標方程轉(zhuǎn)化到參數(shù)方程.而且不少同學(xué)學(xué)習(xí)參數(shù)方程的時候，參數(shù)的意義并未理解清楚.正確的解法是：

先把極坐標方程為？籽=2cos？茲化成普通方程（x-1）2+y2=1，然后再把普通方程化為參數(shù)方程為x=1+cost，y=sint（t為參數(shù)）.

典型錯誤一：（x-1）2+y2=1.

出錯原因：這是改卷發(fā)現(xiàn)學(xué)生的最多的錯誤之一，概念不清晰！即把普通方程當作是參數(shù)方程！

典型錯誤二：x=cos？茲-1，y=sin？茲或者x=1-cos？茲，y=1+sin？茲等.

出錯原因：參數(shù)方程的圓心出錯.

典型錯誤三：x=1+cosx，y=sinx.

出錯原因：參數(shù)方程的形式出錯.

典型錯誤四： x=1+cos？茲，y=sin？茲（0<？茲<2？仔）等.

出錯原因：參數(shù)方程中？茲的范圍出錯，導(dǎo)致不能包含整個圓.

15.（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD中，AB= ，BC=3，BE⊥AC，垂足為E，則ED=_________.

標準答案： .

分析與解：此題的解法多樣，其中一種解法是：由AB= ，BC=3，可知∠BAC=60°，從而AE= ，∠CAD=30°，在△ADE中，由余弦定理得DE= = .

典型錯誤一： .

出錯原因：這是功虧一簣的典型錯誤之一，即用余弦定理之后，沒有開方！

典型錯誤二： ， 或其它不正確的答案.

出錯原因：想回避用余弦定理（的確可以通過構(gòu)造直角三角形運用勾股定理），但運算出錯！

二、得分情況和2013年高考填空題的特點

統(tǒng)計結(jié)果顯示，必做題的平均分為9.7分（滿分15分），選做題的平均分為1.19分（滿分5分）.必做題中第11、13題學(xué)生答題情況普遍較好，第12題導(dǎo)數(shù)題做的最差，選做題兩道題考生都做得不好.從2013年高考廣東文科數(shù)學(xué)填空題的特點來看：

1. 難易得當，總體得分情況較好.

從2008年廣東高考以來，命題組都有“在選擇題、填空題不設(shè)太難的題”的思路，必答題平均分為9.7分，試題命題者沒有“在知識交匯處設(shè)計試題”，必做題的知識點比較單一，可能是出于高考數(shù)學(xué)平均分不能太低的考慮.而選做題平均分較低，原因是選做14題的考生得分率較低，可見極坐標和參數(shù)方程對于考生而言還是一個尚未突破的難點.選擇15題的考生，要求初中的平面幾何學(xué)習(xí)得較好，邏輯推理能力比較強，而這些也恰好是不少文科學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的弱點.

2. 繼承傳統(tǒng)，注重“三基”.

數(shù)學(xué)“三基”是指基礎(chǔ)知識、基本技能與基本思想方法.從試題來看，知識涵蓋面廣，既有傳統(tǒng)的重點知識（第11題數(shù)列），同時注重新增知識（第12、13分別考察導(dǎo)數(shù)和線性規(guī)劃）.既重視考生對基本數(shù)學(xué)概念的理解，又重視考生對邏輯推理能力的運用，體現(xiàn)了新課程的要求.第14、15 題為選做題，要求考生二選一，分別考查文科數(shù)學(xué)關(guān)于極坐標系、參數(shù)方程和幾何證明選講等選修內(nèi)容，體現(xiàn)了新考試大綱的要求.

3. 貼近教材，高于教材.

不少題目直接來自課本的例、習(xí)題或稍加改編，如第13題可由2007年人教版教材（下同）必修（5）P91練習(xí)1改編而得，第11題與教材（5）P68B組練習(xí)1的練習(xí)屬同一種類 型的題目，第12題與教材選修1-1的P110A組第1題類似，而選做題此次考察的比較靈活，整體上比必做題要困難，考查選修系列教材中直線與圓的極坐標方程、參數(shù)方程和平面幾何等相關(guān)知識，知識綜合性較強.

因此，針對高考填空題的特點和改卷中出現(xiàn)的種種問題，在日常中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)加強對基本概念、基本定理等基礎(chǔ)知識的理解、記憶和訓(xùn)練，注意培養(yǎng)考生穩(wěn)定的心理素質(zhì)，加強邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合思想、閱讀分析理解能力的培養(yǎng).

三、考考自己

1.（2013年高考上海數(shù)學(xué)試題（文科））設(shè)m∈R，m2+m-2+（m2-1）i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m=________.

2 .（2013年高考湖南（文））在平面直角坐標系xOy中，若直線l1∶x=2s+1，y=s（s為參數(shù)）和直線l2∶x=at，y=2t-1（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為_____.

3.（2013年高考安徽（文））定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x）.若當0≤x≤1時.f（x）=x（1-x），則當-1≤x≤0時，f（x）=________________.

4.（2013年高考四川卷（文））設(shè)sin2？琢=-sin？琢，？琢∈（ ，？仔），則tan2？琢的值是________.

5.（2013年高考重慶卷（文））OA為邊，OB為對角線的矩形中， =（-3，1）， =（-2，k），則實數(shù)k=____________.

6.（2013年高考江西卷（文））某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n（n∈N？鄢）等于_____________.

7.（2013年高考山東卷（文））在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組2x+3y-6≤0，x+y-2≥0，y≥0所表示的區(qū)域上一動點，則直線|OM|的最小值為_______.

8.（2013年高考江西卷（文））若曲線y=x？琢+1（？琢∈R）在點（1，2）處的切線經(jīng)過坐標原點，則？琢=_________.

答案：1. m=-2；2. 4；3. f（x）=- ；4. ；5. 4；6. 6；7. ；8. 2.

（作者單位：廣州市第五中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅