解析幾何中求距離最值問題的方法與策略

關(guān)于解析幾何中的距離的最值問題，是我們在高考復(fù)習中經(jīng)常遇到的一種題型，它有時以函數(shù)最值的形式出現(xiàn)，有時直接以解析幾何題的形式出現(xiàn)，對于這種題型的處理方法，如果得當，就會達到事半功倍的效果.本文以幾個例題來談?wù)動嘘P(guān)這種題型的最佳解決方法.

一、 直線上一點到兩已知點的距離的最值問題

1. 同側(cè)求差取最大，直接連接找交點.

例1. 設(shè)有兩點P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原點O的距離之差的最大值，并求取得最大值時的x和y 的值.

分析：由題意可知=|OP|-|OQ|= - = - ，即在x軸上求一點M（x，0），使它到點A（0，3）和點B（2，2）距離的差取得最大值 .又A、B兩點都在x軸的同側(cè)，為此，連接AB并延長使之交x軸于一點，易證該點即是所求的點M，從而AB的長就是所求的最大值.

解析：由分析易得|OP|-|OQ|的最大值為|AB|= ，此時直線AB的方程為y=- x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.

2. 異側(cè)求差取最大，找出對稱直接連.

例2. 在直線l∶3x-y-1=0上求一點M使它到點A（4，1）和點B（0，4）的距離的差最大.

分析：由題意可知A、B兩點分別在直線l的兩側(cè)，故設(shè)B（0，4）點關(guān)于直線l∶3x-y-1=0的對稱點為B′，易求得B′（3，3），連接AB′并延長交于l一點，易證該點即是所求的點M.

解析：由分析易得|MA|-|MB|的最大值為|AB′|= ，此時直線AB′的方程為y=-2x+9.

由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M點為（2，5）.

3. 異側(cè)求和取最小，直接連接找交點.

例3. 求函數(shù)f（x）= + 的最小值.

分析： f（x）= +

= + 表示動點P（x，0）到定點A（-3，3），B（5，-1）的距離之和，而A、B兩點分別位于x軸的上下兩側(cè)，由此連接AB交x軸于一點，易證該點即是所求的P點.

解析：由題意及分析易得直線AB的方程為y=

- x+ ，令y=0得x=3即所求的P點為（3，0）.

4. 同側(cè)求和取最小，找出對稱直接連.

例4. 在直線l∶x-y+9=0上任取一點P，又知M

（-3，0），N（3，0），試問P點在何處時|PM|+|PN|取得最小值？

解析：由題意可知M（-3，0），N（3，0）在直線l同側(cè)，要使|PM|+|PN|取得最小值.

設(shè)M（-3，0）點關(guān)于直線l∶x-y+9=0的對稱點為M′，易求得M′（-9，6），連接M′N并延長交l于一點，易證該點即是所求的點P. 又直線M′N的方程為y=- x+ ，即x+2y-3=0.

由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P點位置為（-5，4）.

點評：由上可知，上述問題可用如下口訣給予解決：同側(cè)求差取最大，直接連接找交點；異側(cè)求差取最大，找出對稱直接連；異側(cè)求和取最小，直接連接找交點；同側(cè)求和取最小，找出對稱直接連.

二、利用數(shù)形結(jié)合求距離的最值問題

例5. 設(shè)m≥1，求坐標平面上兩點A（m+ ，m-

），B（1，0）之間距離的最小值.

分析：此題若直接用距離公式求解，比較麻煩. 如果從軌跡圖形入手，最簡捷.先將動點的軌跡求出來，將動點與定點的距離最值問題轉(zhuǎn)化為定點與軌跡上的點的距離的最值問題.

解析：A不是動點嗎？那么A的軌跡是什么？這是十分自然的聯(lián)想，由x=m+ ，y=m- 可知，A點的軌跡方程為x2-y2=4，繪出如上圖所示的雙曲線的一支，立即可以看出，|AB|的最小值為1 .

三、將兩個動點轉(zhuǎn)化為只有一個動點

例6. 如圖，設(shè)P為圓（x-3）2+y2=1上的動點，Q為拋物線y2=x上的動點，求|PQ|的最小值.

分析：利用圓上動點到圓心的距離等于常數(shù)的特點，將圓的動點轉(zhuǎn)化為圓心定點，從而兩個動點的距離最值問題，就轉(zhuǎn)化為一個動點到一個定點的距離的最值問題.

本題P，Q兩點都是動點，如果設(shè)這兩個點的坐標來求，顯然非常困難. 這就需要把這兩個變量轉(zhuǎn)化為一個變量來處理. P點在圓上運動，但P點到圓心M（3，0）的距離是定值， 利用這個定值來解決.

解析：設(shè)Q（y2，y），則|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ .取等號當且僅當y=± .

故|PQ|的最小值為 -1.

四、利用圓錐曲線的定義將折線段轉(zhuǎn)化為直線段來求距離的最值問題

例7. 已知橢圓 + =1內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點，在橢圓上求一點M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.

分析：利用圓錐曲線的定義將折線段轉(zhuǎn)化為直線段來求最值.

解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）. 由M向右準線作垂線，垂足為N，則 = = .

即|MN|=2|MF|.

故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.

顯然當M，P，N共線時，|MP|+|MN|最小，由 + =1，得x=± ，因為x>0，所以M（ ，-1）.

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅