幾何概型概率的研究

幾何概型是普通高中課程人教版必修3的內(nèi)容，是繼古典概型之后的一個(gè)新的概率模型，是新課標(biāo)新增加的內(nèi)容.它把古典概型的樣本空間從有限個(gè)擴(kuò)充到無(wú)限個(gè)，是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率求法進(jìn)行的研究.初學(xué)時(shí)，很多考生往往無(wú)法正確識(shí)別幾何概型的特點(diǎn)，對(duì)這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)有種似懂非懂的感覺(jué)，導(dǎo)致在遇到此類問(wèn)題的時(shí)候，往往生搬硬套，特別是幾何概型類的應(yīng)用題或者綜合問(wèn)題時(shí)，更是無(wú)從下手.其實(shí)，只要能夠準(zhǔn)確掌握幾何概型的概念本質(zhì)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，幾何概型問(wèn)題是可以突破的.

一、 準(zhǔn)確把握概念本質(zhì)，分清概率模型

幾何概型的概念如下：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：

P（A）=

.

此概念包含兩層重要含義，一是幾何概型中基本事件是構(gòu)成該事件的區(qū)域中的元素，是有無(wú)限多個(gè)的，這是幾何概型和古典概型最本質(zhì)的區(qū)別；二是幾何概型中事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例說(shuō)明區(qū)域中的元素是均勻分布的，即基本事件的出現(xiàn)是等可能的.只有準(zhǔn)確把握這兩個(gè)特性，方可把幾何概型學(xué)好.讓我們從以下例題來(lái)一起分析吧.

例1.（2013年廣東省華附、省實(shí)、深中、廣雅四校高三上學(xué)期期末聯(lián)考） 設(shè)不等式組0≤x≤6，0≤y≤6表示的區(qū)域?yàn)镻，不等式組0≤x≤6，x-2y≥0表示的區(qū)域?yàn)镼.

（1）在區(qū)域P中任取一點(diǎn)（x，y），求點(diǎn)（x，y）∈Q的概率；

（2）若x，y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)，求點(diǎn)（x，y）∈Q的概率.

【解析】（1）這是一個(gè)幾何概型，根據(jù)題意，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域P，如圖中正方形OABC所示，面積為6×6=36，平面區(qū)域Q如圖中三角形OAD，面積為 ×6×3=9，所以滿足點(diǎn)（x，y）∈Q的概率P= = .

（2）這是一個(gè)古典概型，基本事件數(shù)為36，其中滿足（x，y）∈Q的基本事件數(shù)有9個(gè)，

所以滿足點(diǎn)（x，y）∈Q的概率P= = .

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型、幾何概型、平面區(qū)域等知識(shí)點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查考生作圖能力和運(yùn)算求解能力.要求考生能夠準(zhǔn)確分清概率模型，會(huì)根據(jù)二元一次不等式組畫出平面區(qū)域，從而根據(jù)概率公式求出相應(yīng)的概率.判斷概率模型是關(guān)鍵，判斷一個(gè)概率是古典概型還是幾何概型，主要看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè).本題的兩問(wèn)雖然提問(wèn)的問(wèn)題一樣，但是第（1）問(wèn)中“在區(qū)域P中任取一點(diǎn)（x，y）”說(shuō)明了基本事件（a，b）是區(qū)域P中的點(diǎn)，有無(wú)限個(gè)，應(yīng)該用幾何概型解決.而第（2）問(wèn)雖然問(wèn)題“點(diǎn)（x，y）∈Q”是一個(gè)幾何范疇，但是基本事件要求“x，y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)，”說(shuō)明了基本事件（a，b）是有限個(gè)，故應(yīng)該用古典概型來(lái)完成.這個(gè)例子告訴我們與幾何有關(guān)的概率并不都是幾何概型，而是應(yīng)該根據(jù)概率的特征去辨別概率模型，作出正確的判斷.

二、 熟練運(yùn)用思想方法，解決各種題型

如果把數(shù)學(xué)知識(shí)比作沙子、水泥和鋼筋，那么水便是思想和方法了.只有經(jīng)過(guò)思想方法充分“攪拌”的知識(shí)，才是具有再生功能的知識(shí).幾何概型概率問(wèn)題中常常涉及的是數(shù)形結(jié)合的思想方法，只要我們能夠在幾何概型的計(jì)算中熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，幾何概型的學(xué)習(xí)就變得有規(guī)律可循了.下面把幾何概型的常見題型進(jìn)行歸納，供各位同學(xué)參考.

2.1長(zhǎng)度問(wèn)題.

與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型是最基礎(chǔ)的問(wèn)題，線段上取點(diǎn)和區(qū)間上取值是常見類型，這一類問(wèn)題常常結(jié)合不等式、平面幾何等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查.

例2.（2013年高考山東卷）在區(qū)間[-3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得│x+1│-│x-2│≥1成立的概率為______.

【解析】畫出數(shù)軸，求出不等式的解集為[1，+∞），不難求得概率P= = .

【點(diǎn)評(píng)】本題是與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，結(jié)合絕對(duì)值不等式和區(qū)間長(zhǎng)度考查數(shù)形結(jié)合的思想，是高考中的常見題型，屬基礎(chǔ)題型.解題時(shí)關(guān)注數(shù)與形的轉(zhuǎn)化及幾何概型概率公式的應(yīng)用，即把區(qū)間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸中的線段.

2.2面積問(wèn)題.

與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題是最?？嫉膬?nèi)容之一，與平面幾何知識(shí)相結(jié)合是基本題型，它還常與平面區(qū)域、定積分等知識(shí)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯處形成問(wèn)題，命出很多綜合問(wèn)題，值得我們關(guān)注.

例3.（2013年廣二模節(jié)選）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿足│PH│< 的概率.

【解析】點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域是正方形ABCD的內(nèi)部，其面積是2×2=4.滿足│PH│< 的點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域是以H為圓心， 為半徑的圓的內(nèi)部與正方形ABCD內(nèi)部的公共部分，它可以看作是由一個(gè)以H為圓心、 為半徑、圓心角為 的扇形HEG的內(nèi)部（即四分之一個(gè)圓）與兩個(gè)直角邊為1的等腰直角三角形（△AEH和△DGH）內(nèi)部構(gòu)成. 其面積是 ×？仔×（ ）2+2× ×1×1= +1. 所以滿足│PH│< 的概率為P= = + .

【點(diǎn)評(píng)】本題是與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，結(jié)合平面幾何的內(nèi)容.考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬中等難度題.應(yīng)用到了平面幾何中求面積的方法及幾何概型概率的計(jì)算方法.準(zhǔn)確畫出區(qū)域│PH│< 所滿足的平面區(qū)域并求出面積是解題的關(guān)鍵.本題很多考生會(huì)誤以為│PH│< 所滿足的區(qū)域?yàn)樯刃味玫礁怕蕿?的錯(cuò)誤答案，是對(duì)題意理解不透徹的表現(xiàn)，在平時(shí)的解題中應(yīng)該盡量避免.

2.3體積問(wèn)題.

與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，常見題型為在空間幾何體中取點(diǎn)的問(wèn)題.或者是一些有三個(gè)獨(dú)立變量的問(wèn)題，常結(jié)合立體幾何中一些相關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查.

例4.（2013年江門一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)（含正方體表面）任取一點(diǎn)M，則 · ≥1的概率P為____________.

【解析】解法一：全部點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎襟w內(nèi)部（含正方體表面），體積為23=8，條件 · ≥1可等價(jià)轉(zhuǎn)化為

| || |cos？茲≥1，即

| |cos？茲≥ ，即向量 在向量 上的投影大于或等于 .所以滿足 · ≥1的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中長(zhǎng)方體A1B1C1D1-A2B2C2D2部分，體積為2×2× =6，所以 · ≥1的概率P= = .

解法二：以A為頂點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.全部點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎襟w內(nèi)部（含表面），體積為23=8，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），則 =（0，0，2）， =（x，y，z），條件 · ≥1可等價(jià)轉(zhuǎn)化為z≥ ，可知所以滿足 · ≥1的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中長(zhǎng)方體A1B1C1D1-A2B2C2D2部分，體積為2×2× =6，所以 · ≥1的概率P= = .

【點(diǎn)評(píng)】本題是與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，結(jié)合向量知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法.要求考生能夠?qū)χR(shí)進(jìn)行靈活變通，對(duì)向量知識(shí)的熟練掌握.對(duì)條件 · ≥1的等價(jià)轉(zhuǎn)化成為解題的關(guān)鍵.可以借助向量數(shù)量積的公式把它轉(zhuǎn)化成投影，再用投影的幾何意義進(jìn)行直接轉(zhuǎn)化，形成解法一的解題思路.也可以聯(lián)想坐標(biāo)在向量運(yùn)算中的作用，建立空間直角坐標(biāo)系，把向量問(wèn)題運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，形成解法二的解題思路.

2.4應(yīng)用問(wèn)題.

高考中的概率常常以應(yīng)用題的形式呈現(xiàn).考查的測(cè)度上有長(zhǎng)度、面積、體積，應(yīng)用問(wèn)題往往背景新穎，變化豐富，對(duì)考生理解題意的能力和綜合能力要求較高.

例5.（2013年高考四川卷）節(jié)日里某家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，若接通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi)4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是（ ）

A. B. C. D.

【解析】由于兩串彩燈第一次閃亮相互獨(dú)立.不妨設(shè)兩串彩燈的第一次閃亮的時(shí)間分別為x，y.則試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，建立坐標(biāo)系作出平面區(qū)域如圖中正方形OABC所示，面積為16，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒即|x-y|≤2，即為圖中多邊形OGFBED部分，所以概率為P= = = . 選C .

【點(diǎn)評(píng)】源于教材而又高于教材是現(xiàn)在高考題的命題特點(diǎn)，此類應(yīng)用題由經(jīng)典的會(huì)面問(wèn)題、教材中的例2父親拿報(bào)紙問(wèn)題更換背景改編而成.主要考查幾何概型中的面積問(wèn)題，考查讀題能力和把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力，屬中等偏難題.解決幾何概型類的應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵在于，如何把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，前提是要審清題意，科學(xué)設(shè)計(jì)變量，理解變量之間的關(guān)系，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造相應(yīng)的模型進(jìn)行解答.這也是解決其它應(yīng)用問(wèn)題的一般方法.本題根據(jù)彩燈第一次閃亮的時(shí)間設(shè)出兩個(gè)相互獨(dú)立的變量，把題目中的條件轉(zhuǎn)化為變量間的關(guān)系，用平面區(qū)域表示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，從而找到解題方法.

2.5綜合問(wèn)題.

現(xiàn)在高考常常立意于思想方法命題，所以特別注重在知識(shí)的交匯處形成問(wèn)題的呈現(xiàn)，綜合問(wèn)題就是一種常見形式.幾何概型往往會(huì)與平面區(qū)域、定積分、函數(shù)、程序框圖等知識(shí)相結(jié)合，形成一些綜合性較高，難度較大的題目.

例6.（2013年江門模擬）已知函數(shù)f（x）=ax2-bx-1，其中a∈（0，2]，b∈（0，2]，在其取值范圍內(nèi)任取實(shí)數(shù)a、b，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)的概率為（ ）

A. B. C. D.

【解析】基本事件應(yīng)該是（a，b），作出平面區(qū)域如圖所示，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中OABC（不含坐標(biāo)軸），面積為4，函數(shù)f（x）=ax2-bx-1在[1，+∞）單調(diào)遞增的充要條件是 ≤1，即b≤2a.問(wèn)題等價(jià)于向區(qū)域OABC中任意擲點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)域OABD（其中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，2））中的概率，所求概率是P= = . 選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)綜合性較高的題目，主要考查幾何概型、平面區(qū)域和函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，考查函數(shù)的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合能力，屬中等偏難題.要把題目條件轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量a，b之間的關(guān)系，再用a，b建立平面直角坐標(biāo)系，作出平面區(qū)域進(jìn)行解決.

例7.（2013年揭陽(yáng)模擬）如圖的程序框圖中，任意輸入一次x（0≤x≤1）與y（0≤y≤1），則能輸出數(shù)對(duì)（x，y）的概率為（ ）

A. B.

C. D.

【解析】依題意知數(shù)對(duì)（x，y）對(duì)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，全部基本事件（x，y）構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（x，y）│0≤x≤1，0≤y≤1}，可用圖中正方形表示，面積為1.條件y≥x2對(duì)應(yīng)圖中拋物線y=x2以上的部分，利用定積分求得面積S= （1-x2）dx= ，所以能輸出數(shù)對(duì)（x，y）的概率P= .選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型、程序框圖、平面區(qū)域、定積分等知識(shí)點(diǎn).考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查考生對(duì)圖表的解讀能力.用程序框圖呈現(xiàn)概率模型是命題的特色，解題的關(guān)鍵在于讀懂程序框圖，把題中的數(shù)對(duì)（x，y）向點(diǎn)（x，y）轉(zhuǎn)化.找到基本事件及所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，用定積分求出相應(yīng)的面積，再用幾何概型概率公式進(jìn)行運(yùn)算即可.

例8.（2013年廣州調(diào)研）在區(qū)間[1，5]和[2，4]分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b， 則方程 + =1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于 的橢圓的概率為（ ）

A. B. C. D.

【解析】基本事件（a，b）構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）│1≤a≤5，2≤b≤4}，面積為2×4=8，方程 + =1表示焦點(diǎn)在x軸且離心率小于 的橢圓時(shí)，即a2>b2，e= = < ，即a2>b2，a2<4b2，化簡(jiǎn)得a>b，a<2b，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如上圖陰影部分所示，求得陰影部分的面積為 ，故P= = .選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題也是一個(gè)綜合題，考查幾何概型，圓錐曲線等知識(shí)點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合、方程的思想，考查考生綜合能力和字母運(yùn)算能力.由橢圓的離心率小于 得到 < 后要消去字母c，才能得到a<2b，才能夠作出平面區(qū)域.所以把條件“方程 + =1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于 的橢圓”等價(jià)轉(zhuǎn)化為變量之間的關(guān)系，把有序數(shù)對(duì)（a，b）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（a，b），作出平面區(qū)域才是解題的關(guān)鍵.

總結(jié)：百變的是試題，不變的是知識(shí)的本質(zhì).高考中的幾何概型基本上圍繞著區(qū)間長(zhǎng)度之比、線段長(zhǎng)度之比、面積之比、體積比之等展開，其中特別突出面積之比，同時(shí)關(guān)注知識(shí)之間的交匯和應(yīng)用問(wèn)題.只要我們能夠把握幾何概型的概率本質(zhì)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想方法，把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化成概率模型，并用幾何概型概率公式進(jìn)行運(yùn)算，那么解決幾何概型問(wèn)題就不難了.幾何概型概率的常用的求解方法可以歸納如下：（1）分析題意適當(dāng)選取觀察的角度.（2）把事件的全部結(jié)果轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的區(qū)域.（3）把所求事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域.（4）利用概率公式計(jì)算.

雖然新課標(biāo)這么多年，廣東省高考還沒(méi)有在幾何概型方面嘗試命題，但是全國(guó)其它省和省內(nèi)各地高考模擬的命題嘗試一定會(huì)對(duì)廣東高考命題有所影響，在不久的幾年中也一定會(huì)在這一方面有所涉及.因此我們要關(guān)注幾何概型的基本類型和基本解法，突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，充會(huì)理解概念，學(xué)會(huì)用概念解題，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，定能夠把這一類問(wèn)題做好.

三、 練習(xí)實(shí)踐

1.（2013年高考福建卷）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為_______.【答案】 .

2. （2013年高考陜西卷）如圖， 在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站， 假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF（該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源， 基站工作正常）. 若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)， 則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是（ ）

A. 1- B. -1 C. 2- D.

【答案】A.

3.（2013年韶關(guān)二模）已知圓x2+y2=？仔2內(nèi)的曲線y=-sinx，x∈[-？仔，？仔]與x軸圍成的陰影部分區(qū)域記為？贅（如圖），隨機(jī)往圓內(nèi)投擲一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域？贅的概率為（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A.

4. 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_____.【答案】 .

5.已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1其中實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b-8<0，a>0，b>0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率是________.【答案】 .

（作者單位：佛山市順德區(qū)樂(lè)從中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)