解析幾何中的參數(shù)觀點

摘 要：解析幾何中的參數(shù)觀點與參數(shù)方法十分重要且應(yīng)用廣泛，像利用參數(shù)方程就行動點的軌跡問題的解答、變量的范圍及最值問題、定點和定值問題等等。淺談解析幾何中參數(shù)觀點的相關(guān)內(nèi)容，并結(jié)合具體例子進行說明。

關(guān)鍵詞：解析幾何；參數(shù)觀點；參數(shù)方法；研究

在直接選擇變量x，y之間的關(guān)系處在十分困難的境地時，適當(dāng)?shù)匾胍粋€中間變量，也就是我們常說的參數(shù)t，并建立起變量x，y和參數(shù)t的直接關(guān)系，從而間接地得到x與y之間的關(guān)系，這種數(shù)學(xué)思想就是我們所說的參數(shù)觀點。而通過引入?yún)?shù)，建立參數(shù)方程對數(shù)學(xué)問題求解的方法，顧名思義就成為參數(shù)方法。眾所周知，在解析幾何中，參數(shù)觀點與參數(shù)方法的重要性與廣泛性。像利用參數(shù)方程就行動點的軌跡問題的解答、變量的范圍及最值問題、定點和定值問題等等。本文就淺談解析幾何中參數(shù)觀點的相關(guān)內(nèi)容，并結(jié)合具體例子進行說明。

一、參數(shù)觀點相關(guān)概念與重要意義

在直角坐標(biāo)系下，坐標(biāo)平面上的點與有序?qū)崝?shù)對之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，點的位置的移動與確定和坐標(biāo)的移動與確定是一致的。那么在平面解析幾何中，當(dāng)點的變動形成一條曲線的時候，根據(jù)點的變動規(guī)律就可以得到它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的關(guān)系，也就是關(guān)于x，y的一個方程。曲線與方程之間也有了所謂的對應(yīng)關(guān)系。而在直接選擇變量x，y之間的關(guān)系處在十分困難的境地時，適當(dāng)?shù)匾胍粋€中間變量參數(shù)t，并建立起變量x，y和參數(shù)t的直接關(guān)系，間接地得到x與y之間的關(guān)系，這種數(shù)學(xué)思想就是我們所說的參數(shù)觀點。

一般來講，在一個平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是變量t的函數(shù)x=f （t）y=g （t）（1），x，y分別是參數(shù)t的函數(shù)，且對于t的每一個允許值，由方程組（1）所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程（1）就叫做這條曲線的參數(shù)方程，而t為參變數(shù)，成為聯(lián)系x，y之間的橋梁。而解析幾何中的參數(shù)觀點就是運用代數(shù)方法研究幾何現(xiàn)象，從而化繁為簡地解答難題。

二、參數(shù)觀點確立和應(yīng)用的教學(xué)過程

1.“直線”的教學(xué)——參數(shù)觀點的滲透與形成時期

參數(shù)觀點的形成不是一蹴而就的，我們要利用課程安排的順序，對其一點點進行滲透，為學(xué)生的參數(shù)觀點的形成做好鋪墊。像學(xué)習(xí)“直線”時，我們要讓學(xué)生理解運動的點的概念，這是參數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，利于學(xué)生信息的接收。

首先，運動的點。曲線作為點的運動的軌跡，那么在曲線上的點我們就可以看成在某種規(guī)律、條件制約下的運動的點。比如說，直線x-2y=0上的點，我們表示為（2t，t），那么t的取值問題就可以這樣來看。當(dāng)t為某個特定值的時候，那么點為直線上確定的點，這樣的概念表達，學(xué)生雖然沒接觸到參數(shù)的實際概念，但它們的意義是相同的。

例1.若一直線被直線4x+y+b=0和3x-5y-b=0（b≠0）截得的線段的中點恰好為坐標(biāo)原點，那么這條直線的方程是什么？

其次，運動的線。一般而言，兩個獨立條件確定平面上一條直線，而當(dāng)只有一個約束條件時，直線在條件的約束下運動，形成某種條件的曲線系，帶有一個參變量的直線方程，就可以看成直線系方程。那么題目解答時就容易變得簡化。

例2.求過點（-2，1），且與直線l：x-2y+3=0平行的直線方程。

通過直線系觀點的樹立，帶著結(jié)果找原因，就可以如下解答：

因為l1∥l2，所以可令l1：x-2y+c=0，而l1過點（-2，1），所以-2-2×1+c=0，所以c=4，因此直線l1方程就為x-2y+4=0。

2.“圓錐曲線”的學(xué)習(xí)——參數(shù)觀點的理解與應(yīng)用過程

3.“參數(shù)方程”的學(xué)習(xí)——參數(shù)觀點的精確化和靈活性形成

“參數(shù)方程”的學(xué)習(xí)主要是兩個方面：①參數(shù)方程與普通方程互化的等價性；②根據(jù)問題的具體條件，如物理意義和幾何性質(zhì)，進行恰當(dāng)?shù)膮?shù)選擇。

例4.設(shè)0

解：（重點放在對幾何條件的充分挖掘）

設(shè)l與m交于點P（x0，y0），它們與x軸的傾角分別是θ1，θ2，

l：x=x0+tcosθ1y=y0+tsinθ1（t為參數(shù)） （1）

m：x=x0+tcosθ2y=y0+tsinθ2（t為參數(shù)） （2）

將（1）代入y2=x得t2sin2θ1+t（2ysinθ1-cosθ1）+（y02-x0）=0

因為A1、A2、B1、B2四點共圓，由圓冪定理得

PA1·PA2=PB1·PB2

所以sin2θ1=sin2θ2，故θ1=θ2或θ1=π-θ2

若θ1=θ2，則l∥m，無交點，故舍去。

若θ1=π-θ2，故過定點A（a，0）和B（b，0）的直線方程為

三、參數(shù)選取需遵循的原則和幾種常見曲線的參數(shù)方程

1.參數(shù)選取需要遵循的原則

一般而言，參數(shù)選取時要遵循以下原則。首先，曲線上的每一點坐標(biāo)（x，y）都可由參數(shù)取某一值唯一地確定出來。其次，參數(shù)與x，y間的相互關(guān)系比較明顯，能較容易地列出方程。參數(shù)的選擇要根據(jù)題目的具體條件的不同來考慮，可以作為時間，也可以作為線段的長度、方位角、旋轉(zhuǎn)角、動直線的斜率、截距和動點的坐標(biāo)等等。另外有時候也可以根據(jù)題目，列出兩個參數(shù)，再設(shè)法消除參數(shù)得到普通方程，但基于難度考慮，盡量少設(shè)參數(shù)。而在消除參數(shù)中，要根據(jù)其特點來選擇，并充分考慮兩種方程的變量的取值一致性。

2.幾種常見曲線的參數(shù)方程

（1）一般曲線的參數(shù)方程x=f （t）y=g （t）（t為參數(shù)），x，y分別是參數(shù)t的函數(shù)。

（3）圓的參數(shù)方程：（x-x0）2-（y-y0）2=r2的參數(shù)方程為

x=x0+tcosαy=y0+tsinα（α為參數(shù)，表示動半徑的旋轉(zhuǎn)角。）

（4）橢圓的參數(shù)方程：b2（x-x0）2+a2（y-y0）2=a2b2的參數(shù)方程為x=x0+acosθy=y0+tsinθ（θ為參數(shù)，表示動點P（x，y）的離心角）。

（5）雙曲線的參數(shù)方程：b2（x-x0）2+a2（y-y0）2=a2b2的參數(shù)方程為x=x0+asecθy=y0+ttanθ（θ為參數(shù)，表示雙曲線上點P（x，y）的離心角）。

（6）拋物線的參數(shù)方程：（y-y0）2=2p（x-x0）的參數(shù)方程為

x=x0+2pt2y=y0+2pt（θ為參數(shù)，表示動點P（x，y）與頂點連線斜率的倒數(shù)）。

而在參數(shù)方程中參數(shù)范圍的確定上一般有以下幾種方法：第一，判別式的利用；第二，曲線上點的坐標(biāo)范圍的利用；第三，函數(shù)思想的利用；第四，數(shù)形結(jié)合法的利用；第五，幾何性質(zhì)法的利用。解題時要根據(jù)各個題目的要求、具備的條件和符合的意義進行選擇，總之樹立參數(shù)觀點并學(xué)習(xí)以上方法。

參數(shù)作為解析幾何中最為活躍的元素，對簡化解析幾何中問題的難度和計算方式有著很大的幫助，因此具備參數(shù)觀點和掌握一些常見的設(shè)參和消參的途徑是極其重要的。但是參數(shù)觀點的建立卻不是可以簡化學(xué)習(xí)的過程，作為一類綜合性較強、變量很多、涉及知識面較廣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，直接關(guān)系著學(xué)生的邏輯能力的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力、解決問題能力的提升，因此教師一定要給予極大的重視以及細心、耐心的指導(dǎo)，讓學(xué)生用心領(lǐng)悟，從而有效提升解析幾何的教學(xué)與學(xué)習(xí)效率。相信學(xué)生有效具備了參數(shù)觀點，無異于開啟了解決解析幾何問題的解決之門。

參考文獻：

[1]雷智薈.參數(shù)思想在解析幾何中的應(yīng)用研究[J].科技信息，2013（19）.

[2]李紅林.確定解析幾何問題中的參數(shù)取值范圍的策略[J].考試周刊，2009（33）.

[3]吳俊枝.確定參數(shù)取值范圍的高考題例析[J].中學(xué)生數(shù)理化：高中版·學(xué)研版，2011（05）.

（作者單位 浙江省天臺縣平橋第二中學(xué)）

編輯 武浩然