關(guān)注概念生成 揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

摘 要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞.主要介紹了在動(dòng)態(tài)生成觀下如何通過把握概念系統(tǒng)、創(chuàng)設(shè)情境、引導(dǎo)探究、類比概念、變式訓(xùn)練等方式，揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)本質(zhì)；動(dòng)態(tài)生成

數(shù)學(xué)是科學(xué)的思維，而數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞.數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)研究對象的本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心，是數(shù)學(xué)思想方法的載體，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的基礎(chǔ).正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、證明的依據(jù).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的掌握……由于數(shù)學(xué)高度抽象體現(xiàn)的特點(diǎn)，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步應(yīng)用中逐步理解概念的本質(zhì).”因此，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師就必須在概念生成環(huán)節(jié)中不惜時(shí)、不惜力.下面，筆者就從自身的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，談?wù)劵趧?dòng)態(tài)生成觀的數(shù)學(xué)概念教學(xué).

一、把握數(shù)學(xué)概念在知識(shí)體系中的位置

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不能只看到“樹木”不見“森林”，要搞清楚概念在整個(gè)知識(shí)體系中的位置，這是概念生成的基礎(chǔ).在備課前要搞清楚以下幾個(gè)問題：概念的來源是什么？概念的內(nèi)涵與外延是什么？與之相關(guān)概念的相互關(guān)系是什么？

案例一：函數(shù)概念

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，與中學(xué)數(shù)學(xué)很多內(nèi)容都密切相

關(guān)，初中代數(shù)中的“函數(shù)及其圖象”就屬于函數(shù)的內(nèi)容，從高一的初等函數(shù)學(xué)習(xí)中掌握定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性到高二通過數(shù)列的學(xué)習(xí)，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，再到高三導(dǎo)數(shù)、積分等知識(shí)的運(yùn)用，學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識(shí)有了新的飛躍.通過研究高中數(shù)學(xué)中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，學(xué)生能從觀察函數(shù)的圖象認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)及其初步的應(yīng)用.數(shù)列可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)的函數(shù).函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所體現(xiàn)出來的變量思想對于數(shù)學(xué)的發(fā)展具有里程碑的意義.高中函數(shù)貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程始終.

掌握了函數(shù)概念的來龍去脈后，就能更好地把握函數(shù)在不同教學(xué)階段的不同含義和教學(xué)要求：先從實(shí)際模型中抽象出函數(shù)概念，然后再用數(shù)學(xué)方法研究函數(shù)性質(zhì)，最后運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，這樣就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，突出了知識(shí)的來龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

二、重視背景，情境引入

問題情境是先導(dǎo)，好的問題情境可以激發(fā)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探究.在教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容和高中生的心理特征創(chuàng)造學(xué)生感興趣的問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，這是數(shù)學(xué)概念有效生成的前提.而數(shù)學(xué)概念往往都來源于數(shù)學(xué)自身發(fā)展或?qū)嶋H問題的解決的需要.

案例二：復(fù)數(shù)的概念

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+1=0無解，為了使它有解，引入新數(shù)i，滿足i2=1，由此引入了復(fù)數(shù)的概念.

三、引導(dǎo)探究，促進(jìn)生成

教師是教學(xué)活動(dòng)的先行組織者，為了促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，教師必須發(fā)揮好主導(dǎo)作用.創(chuàng)設(shè)了問題情境后，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極探究，大膽發(fā)表自己的見解.只有教師的講解，沒有學(xué)生的探究和參與，課堂是靜態(tài)課堂.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與探究活動(dòng)并不意味著放任自流，沒有定向的引導(dǎo)，那么課堂可能會(huì)變成一盤散沙.問題是數(shù)學(xué)的心臟.有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該是在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”附近設(shè)計(jì)一系列的問題即“問題串”，以促進(jìn)學(xué)生的能力提高到更高的一個(gè)階梯.

案例三：函數(shù)單調(diào)性第一課時(shí)

為了幫助學(xué)生更深刻地理解概念本質(zhì)，筆者設(shè)計(jì)了以下一組問題串：

問題1：給出艾濱浩斯遺忘曲線.請同學(xué)通過觀察艾濱浩斯遺忘曲線，描述記憶數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系.

問題2：在區(qū)間[0，+∞）上，函數(shù)f（x）=x2的圖象從左到右呈現(xiàn)怎樣的變化趨勢？自變量x與函數(shù)值f（x）有什么的關(guān)系？

問題3：如何用代數(shù)方法來描述“在區(qū)間[0，+∞）上隨著自變量x的增大，函數(shù)值f（x）也跟著增大”這個(gè)結(jié)論？

問題4：對于具體的兩個(gè)數(shù)值a和b，若有f（a）

問題5：若在區(qū)間[a，b]上存在無數(shù)個(gè)值x1

在經(jīng)歷了上述的探究活動(dòng)后，學(xué)生獲得了函數(shù)為增函數(shù)的“多元聯(lián)系表示”：

函數(shù)f（x）在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)

?在區(qū)間D內(nèi)f（x）的圖象從左到右是上升的；

?在區(qū)間D內(nèi)f（x）隨自變量x的增大而增大；

?在區(qū)間D內(nèi)，當(dāng)x1

這時(shí)候再給出增函數(shù)的概念，自然就水到渠成.

問題6：你能否試著給出減函數(shù)的概念？

通過一系列的設(shè)問，使學(xué)生處于積極的思維狀態(tài)，從抽象到具體，并通過反例來反襯，加深了學(xué)生對概念的理解.

四、類比概念，抓住本質(zhì)

新知識(shí)不能憑空產(chǎn)生，它必須建立在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過類比新舊知識(shí)來學(xué)習(xí)新知識(shí).在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，運(yùn)用類比的思想來學(xué)習(xí)新概念，對概念進(jìn)行辨析，揭示新、舊概念的本質(zhì)特征，更加注重概念形成的原始思維過程，對學(xué)生理解概念大有裨益.

案例四：“等比數(shù)列”教學(xué)片段

可以通過類比等差數(shù)列概念來學(xué)習(xí)等比數(shù)列概念.具體設(shè)計(jì)如下：

1.回憶等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法.

2.閱讀課本上本節(jié)內(nèi)容的4個(gè)背景，領(lǐng)會(huì)4個(gè)實(shí)例傳達(dá)的意思，寫出4個(gè)實(shí)例所得的數(shù)列.

3.觀察所得四個(gè)數(shù)列有什么共同特征？能否試著舉出兩個(gè)有同樣特征的數(shù)列？

4.類比等差數(shù)列的定義，怎樣用恰當(dāng)?shù)恼Z言給出等比數(shù)列的定義？

5.等差數(shù)列與等比數(shù)列有何異同點(diǎn)？

通過這樣的類比，既促進(jìn)了學(xué)生對兩個(gè)概念的認(rèn)識(shí)，又為接下來研究通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式做好鋪墊.

在這個(gè)過程中，學(xué)生相互討論、相互修正、相互補(bǔ)充，最后得出結(jié)論.學(xué)生親歷了概念的形成過程，既突出了教學(xué)重點(diǎn)，又體現(xiàn)了“在參與中體驗(yàn)，在活動(dòng)中發(fā)展”的全新理念.

五、變式訓(xùn)練，突出本質(zhì)

在引導(dǎo)學(xué)生理解概念時(shí)，還可以通過舉反例或編制一些學(xué)生

容易做錯(cuò)的題目來加深學(xué)生對概念的理解.

案例五：“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)片段

在雙曲線的定義中，學(xué)生對于“雙曲線是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”記憶比較深刻，但是往往忽略了“絕對值”和“這個(gè)常數(shù)必須小于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離”.為了加深學(xué)生對定義的理解，可以編制以下題組進(jìn)行變式訓(xùn)練.

（1）若平面內(nèi)一點(diǎn)P到點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）的距離之差等于4，點(diǎn)P的軌跡是什么？

（2）若平面內(nèi)一點(diǎn)P到點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）的距離之差的絕對值等于6，點(diǎn)P的軌跡是什么？

（3）已知平面內(nèi)一點(diǎn)P到點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）的距離之差的絕對值等于8，點(diǎn)P的軌跡是什么？

（4）若平面內(nèi)一點(diǎn)P到點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）的距離之差的絕對值等于4，點(diǎn)P的軌跡是什么？

通過以上分析容易得到：（1）當(dāng)距離之差等于常數(shù)時(shí)，軌跡是雙曲線的一支；（2）當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡是兩條射線；（3）當(dāng)2a>2c時(shí)，軌跡不存在；（4）當(dāng)2a<2c時(shí)，軌跡是雙曲線.這樣就有效地加深了學(xué)生對雙曲線概念中的“絕對值”以及“a

在教學(xué)中，教師要從實(shí)際出發(fā)，幫助學(xué)生了解概念的發(fā)生和發(fā)展過程，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)概念的生成過程中，把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，體會(huì)蘊(yùn)含在概念中的數(shù)學(xué)思想方法，掌握數(shù)學(xué)概念在解決問題中的實(shí)際應(yīng)用，從而有效地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂.

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（作者單位 福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 泉州城東中學(xué)）

編輯 謝尾合