高聚物熔體微尺度流動(dòng)行為與數(shù)學(xué)模型

【摘要】本文基于粘性流體力學(xué)的基本方程，借鑒傳統(tǒng)注塑成型中熔體充模過程數(shù)學(xué)模型的建立方法，構(gòu)建了微尺度下熔體流動(dòng)過程基本方程。

【關(guān)鍵詞】熔體流動(dòng)；微尺度；數(shù)學(xué)模型

1.引言

在真空澆注微型件過程中，由于模具型腔的特征尺寸微小及其表體比相對(duì)較大等原因，不僅可能出現(xiàn)不同于宏觀流動(dòng)的規(guī)律，而且許多在宏觀流動(dòng)中被忽略的因素，可能成為主要的影響因素[1]。本文圍繞真空澆注微型件過程中熔體充模流動(dòng)行為這一核心問題，從粘性流體力學(xué)的基本方程入手，借鑒傳統(tǒng)注塑成型中熔體充模過程數(shù)學(xué)模型的建立方法，構(gòu)建微尺度下熔體流動(dòng)過程基本方程。

2.高聚物熔體的類型

高聚物熔體的充模過程是一個(gè)復(fù)雜的非穩(wěn)態(tài)、非等溫的非牛頓流體流動(dòng)和傳熱過程。隨著聚合物熔體壓力、溫度、剪切速率等物理量在充模過程中的發(fā)展變化，熔體的流動(dòng)行為將直接影響制品的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、取向、殘余應(yīng)力和最終形狀[2]。聚合物流變學(xué)正是由聚合物成型發(fā)展的需要而提出的，它主要研究聚合物熔體在外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變速率等力學(xué)現(xiàn)象與熔體粘度的關(guān)系，以及影響這些關(guān)系的各種因素。根據(jù)聚合物熔體在流動(dòng)過程中粘度與應(yīng)力、應(yīng)變速率之間的關(guān)系，可將聚合物的流動(dòng)行為分為牛頓流體和非牛頓流體兩大類。

（1）牛頓粘性定律

牛頓在研究低分子液體的流動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪切應(yīng)力和剪切速率存在著一定關(guān)系，可表示為：

牛頓流體具有以下變形特點(diǎn)：

1）流體的變形隨時(shí)間不斷發(fā)展，有時(shí)間依賴性。其切應(yīng)變：

2）粘性流體的變形是永久性的。當(dāng)外力移除后，變形不能恢復(fù)。

3）對(duì)抵抗變形的粘性力所做的功，在流動(dòng)中轉(zhuǎn)為熱能而散失。

4）線性粘性流動(dòng)中剪切應(yīng)力與剪切速率成正比，粘度與剪切速率無關(guān)。

真正屬于牛頓流體的只有低分子化合物的氣體、液體或溶液，如空氣、水和甲苯等。而高聚物的溶液、懸浮物和熔體的絕大多數(shù)是屬于非牛頓流體。但是，對(duì)非牛頓流體，限制在一定時(shí)間尺度和剪切速率范圍內(nèi)，經(jīng)常視其為牛頓流體。

（2）非牛頓流動(dòng)

凡不服從牛頓粘性定律的流體稱為非牛頓流體。非牛頓流體的流動(dòng)稱為非牛頓型流動(dòng)。非牛頓流體在一定溫度下，其剪切應(yīng)力與剪切速率不成正比的線性關(guān)系，其粘度不是常數(shù)，而是隨剪切應(yīng)力或剪切速率而變化的非牛頓粘度。在高分子液體范疇內(nèi)，可以粗略地把非牛頓流體分為純粘性流體、粘彈性流體和有時(shí)間依賴性的流體等幾類。其中純粘性流體可分為賓漢流體、假塑性流體和膨脹性流體。

賓漢流體如圖1所示，其流動(dòng)特征是存在剪切屈服應(yīng)力，因此具有塑性體的可塑性質(zhì)。只有剪切應(yīng)力高于時(shí)，賓漢流體才開始流動(dòng)。其流變方程為：

式中稱為賓漢粘度。賓漢流體之所以有這樣的流變行為，是因?yàn)檫@種流體在靜止時(shí)內(nèi)部有凝膠性結(jié)構(gòu)。當(dāng)外加剪切應(yīng)力超過時(shí)，這種結(jié)構(gòu)才完全崩潰，然后產(chǎn)生不能恢復(fù)的塑性流動(dòng)。賓漢流體在流動(dòng)時(shí)或者像牛頓流動(dòng)，稱為理想的賓漢流動(dòng)；或者像假塑性的非牛頓流動(dòng)。

假塑性流體是非牛頓流體中最常見的一種。橡膠和絕大多數(shù)高聚物及其塑料的熔體和濃溶液，都屬于假塑性流體。如圖1所示，此種流體的流動(dòng)曲線是非線性的。剪切速率的增加比剪切應(yīng)力增加得快，并且不存在屈服應(yīng)力。其特征是粘度隨剪切速率或剪切應(yīng)力的增大而降低，常稱為剪切變稀的流體。

膨脹性流體也不存在屈服應(yīng)力。如圖1所示的流動(dòng)曲線，剪切速率增加比剪切應(yīng)力增加要慢一些。其特征是粘度隨剪切速率或剪切應(yīng)力的增大而升高，故稱為剪切增稠的流體。

描述假塑性和膨脹性的非牛頓流體的流變行為，可用冪律函數(shù)方程：

3.熔體微尺度下的流動(dòng)控制方程

熔體在微尺度下充模流動(dòng)的行為與宏觀流動(dòng)相比，既有共同點(diǎn)，又有相異之處。因此，可以基于粘性流體力學(xué)的基本方程，借鑒傳統(tǒng)熔體填充過程中的基本方程，根據(jù)熔體微尺度下填充成型的特點(diǎn)，引入合理的假設(shè)和進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，建立熔體在微小型腔中流動(dòng)的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程，確定合理的初始條件和邊界條件，從而得到充填過程的數(shù)學(xué)模型。

（1）連續(xù)性方程

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒原理在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。在微觀流體流動(dòng)時(shí)，當(dāng)流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)尺寸和流體分子的平均自由程非常接近時(shí)，就打破了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的范疇，此時(shí)連續(xù)性方程不再滿足，例如稀薄氣體在微型管道中的流動(dòng)。對(duì)于微型模具的熔體充模過程，由于模具型腔的微細(xì)結(jié)構(gòu)尺寸通常在1μm以上，相比高聚物熔體分子的尺寸仍然較大，因此熔體充模流動(dòng)仍然屬于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的范疇，即流體的連續(xù)性方程仍然成立。在直角坐標(biāo)系中任選一個(gè)邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的立方體積微單元作為控制體，流場(chǎng)中任一點(diǎn)處，在t時(shí)刻的速度為，其三個(gè)速度分量分別為、和，流體密度為。假設(shè)流體在流動(dòng)過程中沒有發(fā)生化學(xué)變化。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時(shí)間的控制體內(nèi)物質(zhì)的增量，應(yīng)等于輸入與輸出控制體的質(zhì)量之差，與控制體原質(zhì)量無關(guān)?？傻昧黧w的連續(xù)性方程：

（2）動(dòng)量方程

動(dòng)量方程是動(dòng)量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。動(dòng)量守恒定律也是任何流動(dòng)系統(tǒng)都必須滿足的基本定律。在微米級(jí)流體領(lǐng)域，動(dòng)量守恒定律要求微元體中流體的動(dòng)量變化率等于微元體上的各種力之和。流體運(yùn)動(dòng)中作用外力可分為質(zhì)量力和表面力。質(zhì)量力是作用于流體質(zhì)量上的非接觸力，作用于流體內(nèi)部每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。表面力為流體通過接觸面而施加在另一部分流體上的作用力，由于流體的流動(dòng)或變形，可將表面力視為在控制體表面上產(chǎn)生的相互作用力。根據(jù)動(dòng)量守恒定律可以推導(dǎo)出單元控制體x，y，z三個(gè)方向上動(dòng)量守恒方程：

（3）能量方程

能量方程是能量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。能量守恒定律是包含有熱交換的流動(dòng)系統(tǒng)必須滿足的基本定律。當(dāng)型腔特征尺度降至微米量級(jí)時(shí)，熔體的流動(dòng)行為仍然遵循能量守恒定律。為了便于對(duì)流體能量進(jìn)行表征，常用溫度T的方程來表述。而在真空鑄型微型件中溫度又是直接關(guān)系著填充效果的重要因素，因此使用內(nèi)能來代替總能量建立能量守恒方程比在宏觀中更為正確。流體的剪切流動(dòng)的能量方程為

4.總結(jié)

本文基于粘性流體力學(xué)的基本方程，借鑒傳統(tǒng)注塑成型中熔體充模過程數(shù)學(xué)模型的建立方法，構(gòu)建了微尺度下熔體流動(dòng)過程基本方程，為高聚物熔體真空鑄型的數(shù)值模擬提供基礎(chǔ)理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

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