線性規(guī)劃模型在最優(yōu)決策中的應(yīng)用研究

【摘要】線性規(guī)劃在生產(chǎn)管理和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中起到重大作用。在給出線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例，介紹建立線性規(guī)劃模型的一般方法，并應(yīng)用軟件Mathematica進(jìn)行求解，進(jìn)而為決策者提供最優(yōu)的決策。

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃；模型；Mathematica；最優(yōu)決策

1.引言

在生產(chǎn)管理和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，會(huì)經(jīng)常遇到兩類問(wèn)題：一類是（資源有限）如何合理的使用現(xiàn)有的勞動(dòng)力、設(shè)備、資金等資源，以得到最大的效益；另一類是（目標(biāo)一定）為了達(dá)到一定的目標(biāo)，應(yīng)如何組織生產(chǎn)，或合理安排工藝流程，或調(diào)整產(chǎn)品的成分等，以使所消耗的資源（人力、設(shè)備臺(tái)時(shí)、資金、原材料等）為最少。這既是最優(yōu)決策問(wèn)題。

如何解決上述問(wèn)題，線性規(guī)劃（Linear Programming）給了我們一些方法，線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，它研究的是在線性約束條件下求解線性函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的最優(yōu)解問(wèn)題。線性規(guī)劃應(yīng)用越來(lái)越廣泛，《財(cái)富》雜志（Fortune）的一項(xiàng)調(diào)查，美國(guó)名列前五百名的大公司中，百分八十五均曾應(yīng)用線性規(guī)劃的方法來(lái)協(xié)助公司的營(yíng)運(yùn)，由此可見(jiàn)線性規(guī)劃應(yīng)用面的寬廣與普及。

2.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型及求解方法[1]

2.1 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

其中為目標(biāo)函數(shù)，s.t.的右端項(xiàng)為約束條件，表示決策變量的非負(fù)約束。

2.2 模型的求解方法

能夠求解線性規(guī)劃模型的軟件有很多，比如Mathematica，Matlab，Lindo，Maple等，以下問(wèn)題應(yīng)用Mathematica求解[2]。

Mathematica是由Wolfram（美國(guó)）公司研制開(kāi)發(fā)的，應(yīng)用比較廣泛的，功能比較強(qiáng)大的一款軟件，軟件中有求解線性規(guī)劃的函數(shù)，在平臺(tái)中的使用方法如下：ConstrainedMin（或ConstrainedMax）[目標(biāo)函數(shù)，{約束條件}，{變量集合}]就可以了。其中ConstrainedMin求目標(biāo)函數(shù)為min的線性規(guī)劃問(wèn)題，ConstrainedMax求目標(biāo)函數(shù)為max的線性規(guī)劃問(wèn)題。

3.建立線性規(guī)劃模型應(yīng)用舉例

例1：（人員的合理安排問(wèn)題）醫(yī)院護(hù)士的值班班次、工作時(shí)間及各班所需護(hù)士數(shù)如表1所示，護(hù)士上班以后，需連續(xù)工作8小時(shí)，則醫(yī)院最少需護(hù)士多少名，以滿足輪班需要；

分析：因護(hù)士上班后需要連續(xù)工作8小時(shí)，即第1班次開(kāi)始上班的護(hù)士，需工作到14：00，第2班次開(kāi)始上班的護(hù)士需工作到18：00，以此類推，第6班次開(kāi)始上班的護(hù)士工作到10：00，滿足這些約束條件后，目標(biāo)函數(shù)是最少需要的護(hù)士數(shù)，就很容易列出線性規(guī)劃模型。

解：設(shè)表示第i班開(kāi)始上班的護(hù)士人數(shù)，，則建立模型為：

應(yīng)用mathematica求解如下：

In[1]：=ConstrainedMin[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6，{x1 + x2 >= 70，x2 + x3 >= 60，x3 + x4 >= 50，x4 + x5 >= 20，x5 + x6 >= 30，x6 + x1 >= 60}，{x1，x2，x3，x4，x5，x6}]

運(yùn)行后得：

Out[1]= {150，{x1 -> 60，x2 -> 10，x3 -> 50，x4 -> 0，x5 -> 20，x6 -> 10}}

結(jié)果：第1-6班開(kāi)始上班的護(hù)士分別為60人、10人、50人、0人、20人、10人，最少需要護(hù)士150名。

例2：（投資決策問(wèn)題）某人有一筆30萬(wàn)元的資金，在今后三年內(nèi)有以下投資項(xiàng)目：

（1）三年內(nèi)的每年年初均可投資，每年獲利為投資額的20%，其本利可一起用于下一年投資；

（2）只允許第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合計(jì)為投資額的150%，但此類投資限額不超過(guò)15萬(wàn)元；

（3）于三年內(nèi)第二年初允許投資，可于第三年末收回，本利合計(jì)為投資額的160%，這類投資限額20萬(wàn)元；

（4）于三年內(nèi)的第三年初允許投資，一年收回，可獲利40%，投資限額為10萬(wàn)元。

試為該人確定一個(gè)使第三年末本利和為最大的投資計(jì)劃。

分析：本題為最大化最優(yōu)決策問(wèn)題，有4個(gè)可投資項(xiàng)目，即題中（1）至（4），關(guān)鍵問(wèn)題在于決策變量的設(shè)置，我們用來(lái)表示第年初投資到第個(gè)項(xiàng)目的資金數(shù)，這樣問(wèn)題就迎刃而解了。

解：設(shè)表示第年初投資到第個(gè)項(xiàng)目的資金數(shù)，建立線性規(guī)劃模型為：

應(yīng)用mathematica求解如下：

In[2]：=ConstrainedMax[1.2x31 + 1.6x23 + 1.4x34，{x11 + x12 == 300000，x21 + x23 == 1.2x11，x31 + x34 == 1.2x21 + 1.5x12，x12 <= 150000，x23 <= 200000， x34 <= 100000}，{x11，x12，x21，x23，x31，x34}]

Out[2]= {580000.，{x11 -> 166667.，x12 -> 133333.，x21 -> 0，x23 -> 200000.，x31 -> 100000.，x34 -> 100000.}}

結(jié)果：

第一年年初投資到（1）和（2）兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為166667元和133333元；

第二年年初投資到（1）和（3）兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為0元和200000元；

第三年年初投資到（1）和（4）兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為100000元和100000元；

第三年末本利和最大為58萬(wàn)元。

例3：（學(xué)區(qū)學(xué)生入學(xué)的劃分）某學(xué)區(qū)由五個(gè)居民區(qū)和三所學(xué)校組成，學(xué)校設(shè)專門校車接送學(xué)生。各學(xué)校的容量如表2所示，各居民區(qū)的學(xué)生人數(shù)如表3所示；各居民區(qū)的學(xué)生到相應(yīng)學(xué)校的校車費(fèi)用如表4所示。試問(wèn)應(yīng)怎樣給各個(gè)學(xué)校分配兒童，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)區(qū)管理者實(shí)現(xiàn)使校車接送所花費(fèi)用最低的目的？[3]

分析：該問(wèn)題為最低費(fèi)用的最優(yōu)決策問(wèn)題，在滿足人數(shù)要求的條件下，費(fèi)用最低，三所學(xué)校的容量總和為2500人，而五個(gè)居民區(qū)共2350人，這就使得某些學(xué)校分配的兒童不足，對(duì)于約束條件將出現(xiàn)不等式，建立線性規(guī)劃模型時(shí)要注意。

解：設(shè)表示校車從第居民區(qū)送往第學(xué)校的人數(shù)，建立模型如下：

4.小結(jié)

由以上分析，我們可以看出，線性規(guī)劃在最優(yōu)決策中為人們提供了解決問(wèn)題的一種方法。決策者通過(guò)建立便捷的線性規(guī)劃模型解決了最優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)論是對(duì)于企業(yè)還是對(duì)于個(gè)人提升都具有重要的價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)教程（第三版）[M].清華大學(xué)出版社，2007，4.

[2]丁大正.科學(xué)計(jì)算強(qiáng)檔Mathematica4教程[M].北京：電子工業(yè)出版社，2002.3.

[3]劉茂華.線性規(guī)劃在運(yùn)輸問(wèn)題中的應(yīng)用[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，4.

作者簡(jiǎn)介：郭志軍（1978—），男，遼寧新民人，碩士，遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。