配對交易中Ornstein-Uhlenbeck過程的最優(yōu)界位

摘要：本文從美國和中國的航空業(yè)中分別選取了一家航空公司的股票作為配對，用Ornstein-Uhlenbeck過程模擬并度量這一配對的股票價差，并建立了配對交易的邊界交易策略。將這種交易策略以兩種不同的滾動期應用到兩個不同國家的航空公司的股票后，本文分析了最優(yōu)界位和各種情況下相應的收益率，并得出配對交易邊界交易策略是一種盈利性強的策略，更適合處在成熟經(jīng)濟體中的行業(yè)，并且模型參數(shù)更新能提高收益率。

關鍵詞：最優(yōu)界位；配對交易；Ornstein-Uhlenbeck過程；航空業(yè)

一、介紹

配對交易在過去的三十年中被金融業(yè)廣泛應用，這不僅僅是因為它相對而言容易操作，還因為它在很多實例中是一個有利可圖的交易策略。很多學者對配對交易做了研究。Hong和Susmel（2004）研究了24種亞洲股票，發(fā)現(xiàn)配對交易利潤頗豐，而且在不同的利潤度量方法和持有期下此結(jié)論依然強勁。Gatev，Goetzmann，和Rouwenhorst（2006）在相對價值套利法則下測試了配對交易，其平均年收益率高達11%。Mudchanatongsuk，Primbs，和Wong（2008）提出將隨機控制方法應用于Ornstein-Uhlenbeck過程（以下簡稱OU過程），建立出證券組合最優(yōu)化。然而，Bolgun，Kurun，和Guven（2010）研究了伊斯坦布爾股票，發(fā)現(xiàn)交易傭金抵消了大部分的超額利潤。

本文將分別從中國和美國的航空業(yè)分別選取一家航空公司的股票作為配對。之所以選取這兩個國家，是因為中國市場是新興市場的一個例子，而美國市場則代表成熟市場，在這兩個國家間進行配對交易分析有助于比較此交易策略在兩個不同類型的經(jīng)濟體之間的交易結(jié)果。同時，由于航空業(yè)所提供的服務一般在不同的公司稍有不同，卻又由于服務質(zhì)量和地理位置等原因不能完全相互替代，航空業(yè)在這兩個國家都處在壟斷競爭市場。此特征使得不同航空公司的業(yè)績表現(xiàn)相互關聯(lián)，而業(yè)績表現(xiàn)又能體現(xiàn)在各自的股價之中，因此，本文所選取的配對股非常適合做配對交易。

基于以上原因，本文將選取中國南方航空公司的股票（NYSE：ZNH）和中國東方航空公司的股票（NYSE：CEA）作為一對配對股；選取美國西南航空公司的股票（NYSE：LUV）和美國捷藍航空公司的股票（NYSE：JBLU）作為另一對配對股。數(shù)據(jù)選自紐約股票交易所股利調(diào)整后的每日收盤價，數(shù)據(jù)的時間跨度為2005年1月1日至2012年12月31日。

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分將用過往表現(xiàn)策略對兩個國家的配對股數(shù)據(jù)進行度量，找出4年期樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的最優(yōu)的N-值，并將N-值應用到4年期的樣本外數(shù)據(jù)。第三部分將建立4個滾動期去衡量OU過程，并將最優(yōu)N-值應用到1年期的樣本外數(shù)據(jù)，最后分析收益率的結(jié)果。所有實證結(jié)果分析出來后，第四部分將比較所有結(jié)果并得出結(jié)論。

二、過往表現(xiàn)策略

兩個國家的兩個航空公司的股票數(shù)據(jù)都是每日收盤價，數(shù)據(jù)從2005年1月1日至2012年12月31日，時間跨度為8年。由于參數(shù)度量主要取決于我們所選取的數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)所覆蓋的時間跨度，參數(shù)的值將主要取決于我們選取數(shù)據(jù)的方式。本文將在兩種取樣方法上估計參數(shù)：過往表現(xiàn)策略和滾動策略。

在過往表現(xiàn)策略中，我們將用數(shù)據(jù)時間跨度中前4年（即從2005年1月1日至2008年12月31日）的數(shù)據(jù)去度量模型參數(shù)，并基于這些估計，我們將確定這4年的最優(yōu)邊界，應用到后4年（即從2009年1月1日至2012年12月31日）樣本外數(shù)據(jù)。也就是說，我們將過往表現(xiàn)應用到未來的交易中，以考察交易效果，這就是過往表現(xiàn)策略。

證券組合的建立

對于過往表現(xiàn)策略，只存在一個交易時期：2009年1月1日至2012年12月31日。在交易的開始日2009年1月1日，對CHN的配對股通過買入1份ZHN股票、同時賣出1份CEA股票來持有股價差，而對USA的配對股通過買入1份LUV股票、同時賣出1份JBLU股票來持有股價差。在2012年12月31日交易截止這一天，我們清空所有倉位并計算平均年度收益率。初始的證券組合的價值為：

交易費用和賣空成本

由于邊界交易策略可能產(chǎn)生高頻率的頭寸調(diào)整，交易費用在此策略中不能忽視。根據(jù)紐約證券交易所2013年價格清單，股票每股每次交易的交易費為0.0003美元。同時，持有短頭寸所需的成本通常與買相同證券所需的成本相似?；趯嶋H情況，我們將假設每次頭寸發(fā)生變化時（包括我們進入交易期和交易期結(jié)束清算頭寸時），交易費用為每股每次0.0003美元。

3.最優(yōu)界位和相應的最大收益率

在Excel軟件中，我們設置以0.1為間隔的從0.1到30的300個N-值序列，并根據(jù)所建立的邊界交易策略的規(guī)則，計算出在樣本內(nèi)數(shù)據(jù)期（2005～2008年）每一個N-值所對應的收益率。收益率與N-值關系如下圖：

從圖像上觀測到，在CHN配對股中，最優(yōu)N-值為14.0到16.1間的任何數(shù)值，最大收益率為2796.05%，平均年度收益率為131.98%。我們選擇N=15。在USA配對股中，最優(yōu)N-值為10.6，最大收益率為6321.95%，平均年度收益率為183.08%。基于這些最優(yōu)N-值，我們可以確定出接下來的4年（2009～2012年）樣本外數(shù)據(jù)的邊界：

將對樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的最優(yōu)N-值應用到樣本外數(shù)據(jù)確定邊界后，從2009至2012年的收益率分別為下表。

在CHN配對股中，當我們將N=15選取應用到后4年的交易后，4年的總收益率為682.09%，平均年收益率為7.23%。同樣，在USA配對股中，當我們將N=10.6應用到后4年樣本外數(shù)據(jù)后，總收益率為573.58%，平均年收益率為61.10%。而在樣本外數(shù)據(jù)中，真實最優(yōu)N-值與真實最大平均年收益率的關系圖為：

從圖中可觀測出，在2009～2012期間，CHN配對股真實最優(yōu)N-值應為4.1，相應的真實最大平均年收益率為124.90%。在USA配對股中真實最優(yōu)N-值為10.0到10.6之間的任何值，相應的真實最大平均年收益率為61.10%，這與上面樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的最優(yōu)N-值和平均年收益率相吻合，說明邊界交易策略在此處對USA配對股優(yōu)于CHN配對股。兩個案例的樣本外數(shù)據(jù)交易情況為：

CHN配對股：

1.每個滾動期的參數(shù)度量

當度量模型參數(shù)時，我們完全可以用過往表現(xiàn)策略中同樣的估計方法。具體而言，我們需要度量4個不同的OU過程：2005至2008，2006至2009，2007至2010，2008至2011。由于對2005至2008的參數(shù)估計已經(jīng)在過往表現(xiàn)策略中估計出，只需要度量剩下三個時期的參數(shù)。對于兩個例子，參數(shù)的估計結(jié)果分別為：

邊界交易策略的建立

對于每個滾動期，交易策略將和過往表現(xiàn)策略中所建立的交易策略一樣，除了樣本外數(shù)據(jù)的時間跨度不再是4年，而是1年。

證券組合的建立

在滾動期策略中，一共有4個交易期：2009年，2010年，2011年和2012年。在每個滾動期的截止日期，我們將清空所有證券組合的倉位，并計算平均年收益率。在每個滾動期的開始日期，我們對股票價差選擇持有長頭寸或持有短頭寸，因此，開始的證券組合的價值為：

交易費用和賣空成本

交易費用和賣空成本將和過往表現(xiàn)策略中的假設一樣。

3.每個滾動期的最優(yōu)N-值和最大收益率

度量了每個滾動期的OU過程的參數(shù)之后，我們將對樣本內(nèi)數(shù)據(jù)最優(yōu)的N-值應用到樣本外數(shù)據(jù)中，并計算相應的收益率。之后，基于上面所確定的2對邊界，找出實際最優(yōu)的N-值和相應的最大收益率：

四、結(jié)論

從以上的分析，我們可以歸納出在兩個國家、兩種取樣方法上各種N-值和相應收益率的表格。

配對交易的利潤率

在CHN配對股和USA配對股中，無論哪種取樣方法，各自的年平均收益率都比股價差本身的收益率高，這說明邊界交易策略比股價差持有到期的策略表現(xiàn)更好。邊界交易策略是一個利潤頗豐的策略。

取樣方式

在兩個例子中，滾動期策略的年平均收益率都要比過往表現(xiàn)策略的年平均收益率高，除了CHN配對股中兩者相等以外，這說明滾動期策略優(yōu)于過往表現(xiàn)策略。數(shù)據(jù)度量上的更新能使模型擬合的更準確，從而收益率更高。

經(jīng)濟體偏好

本文認為，相比中國的航空業(yè)公司股，邊界交易策略更適合美國航空業(yè)公司股。原因在于，首先，在 USA配對股中，第一和第四滾動期的最優(yōu)N-值都落在了真實最優(yōu)N-值的范圍內(nèi)，第三滾動期最優(yōu)N-值非常接近真實最優(yōu)N-值的區(qū)域，只有第二滾動期的N-值偏離較遠。而在CHN配對股中，四個滾動期的最優(yōu)N-值全部沒有落在真實最優(yōu)N-值的范圍內(nèi)，而且第一和第二滾動期兩者的差別甚大。這說明邊界交易策略更適合成熟經(jīng)濟體。其次，雖然CHN配對股的收益率總體比USA配對股的收益率高，但是一旦考慮到各自股價差的收益率時，不難發(fā)現(xiàn)CHN配對股的高收益率大多來自股價差的收益率，而非邊界交易策略本身。

這個結(jié)論與實際是一致的：在一個成熟經(jīng)濟體或行業(yè)當中作為配對的兩家公司在提供的商品、服務與內(nèi)部管理較為成熟并且穩(wěn)定，影響它們績效的更多了將來自于外部因素，例如航空業(yè)的外部因素包括能源價格、天氣狀況、宏觀經(jīng)濟等等。這使得配對的兩家公司共同面臨的風險更多，它們的績效趨同性更大，股價的相關性也就更大。而在新興市場或行業(yè)中，不同企業(yè)面臨的風險特質(zhì)性更強，這弱化了它們股價的相關性。

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