數(shù)學(xué)建模思想在常微分方程教學(xué)中的探討

摘 要：結(jié)合實(shí)際教學(xué)現(xiàn)狀，說明數(shù)學(xué)建模思想引入常微分方程教學(xué)中的意義。在教學(xué)內(nèi)容上，以理論學(xué)習(xí)為主線；在教學(xué)手段方面，以理論聯(lián)系實(shí)際為輔助。最后，探討常微分方程課程教學(xué)改革中需要注意的幾方面內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：常微分方程 數(shù)學(xué)建模 教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）04（a）-0-01

《常微分方程》是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》和《高等代數(shù)》的后續(xù)課程，又是《數(shù)學(xué)建模》、《偏微分方程》和《數(shù)值計(jì)算》的先修課程，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)《泛函分析》、《拓?fù)鋵W(xué)》和《動(dòng)力系統(tǒng)》等課程的前奏。因此，常微分方程在數(shù)學(xué)學(xué)科中起著承前啟后的重要作用。然而，長(zhǎng)期以來，常微分方程僅僅成了為基礎(chǔ)而打基礎(chǔ)的單一課程，目前我國(guó)常微分方程的教學(xué)現(xiàn)狀既不利于教學(xué)資源的利用，更直接影響教學(xué)質(zhì)量。因而有必要對(duì)常微分方程教學(xué)的改革進(jìn)行一個(gè)有益的嘗試，以適應(yīng)未來教學(xué)工作的需要。常微分方程是一門綜合性很強(qiáng)的知識(shí)體系，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來講，它是以數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)作為基礎(chǔ)，表現(xiàn)為知識(shí)面大和應(yīng)用范圍廣。傳統(tǒng)的教學(xué)方式注意邏輯推導(dǎo)、運(yùn)算技巧，忽視了理解應(yīng)用及學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。而該門課程理論偏強(qiáng)，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，加之部分學(xué)生前期課程基礎(chǔ)較差，從而不可避免地使一部分學(xué)生對(duì)本門課程產(chǎn)生了畏懼心理，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。在注重理論聯(lián)系實(shí)際生活的今天，這要求大學(xué)生不僅要系統(tǒng)地掌握基本理論知識(shí)，而且還要理論聯(lián)系實(shí)際，學(xué)以致用，即解決實(shí)際問題的能力。近來，王高雄等編寫的教材《常微分方程》第三版[1]已在第一章中增添了用微分方程建立數(shù)學(xué)建模的例子。但是，面對(duì)該課程內(nèi)容多，課時(shí)少的實(shí)際教學(xué)情況，注重實(shí)際能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容并沒有很好地滲透到常微分方程教學(xué)過程中。

1 數(shù)學(xué)建模在常微分方程教學(xué)中的意義

當(dāng)今社會(huì)，尤為注重創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，這需要高校能培養(yǎng)出一批批具有扎實(shí)的理論基礎(chǔ)和運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題的人才。數(shù)學(xué)建模正是為解決高等教育中存在的內(nèi)容陳舊和理論脫離實(shí)際的缺陷而發(fā)展起來的課程，它著重于對(duì)學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)創(chuàng)造性的思維過程，它是分析問題、解決問題的思維過程，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容來自于實(shí)際、方法結(jié)合于實(shí)際、結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際[2]。針對(duì)某一具體問題，根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題，然后選準(zhǔn)切入點(diǎn)，往往用微分方程反映事物隨時(shí)間發(fā)展的變化規(guī)律這一動(dòng)態(tài)過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想[3]。

有關(guān)常微分方程模型的分析，有比較系統(tǒng)的理論知識(shí)—微分方程定性與穩(wěn)定性理論方法，可以給出合理的解釋。微分方程定性與穩(wěn)定性理論方法的學(xué)習(xí)與常微分方程相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)有緊密的聯(lián)系。因此，把常微分方程和數(shù)學(xué)建模有機(jī)地結(jié)合起來可以讓常微分方程不至于那么的“苦澀”，相反可以更好的發(fā)揮其作用，解決更多的實(shí)際問題。在整個(gè)的常微分方程課程教學(xué)過程中，恰當(dāng)?shù)囊霐?shù)學(xué)模型例子并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，具有以下重要的意義。（1）理論聯(lián)系實(shí)際，可以充分調(diào)動(dòng)大學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣。（2）通過該課程的學(xué)習(xí)，盡早讓大學(xué)生們了解全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽流程，有利于學(xué)生為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模及相關(guān)課程做好準(zhǔn)備。（3）通過實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)到解決實(shí)際問題的快樂，既讓學(xué)生深刻理解了基本概念，又培養(yǎng)了他們應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。（4）在處理實(shí)際問題的過程中，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生理論知識(shí)的擴(kuò)充，讓其意識(shí)到知識(shí)的博大精深。（5）有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

2 常微分方程教學(xué)改革

當(dāng)代大學(xué)生注重學(xué)以致用，積極參加各種創(chuàng)新實(shí)踐，這與以往大學(xué)生僅注重為了“學(xué)而學(xué)”有明顯的不同。這要求教師在教學(xué)過程中，要順應(yīng)時(shí)代發(fā)展趨勢(shì)，及時(shí)更新教學(xué)觀念，適當(dāng)?shù)娜谌胄碌慕虒W(xué)方法，以達(dá)到更好地教學(xué)效果。我認(rèn)為有以下幾方面需要改進(jìn)：（1）在教學(xué)過程中，適當(dāng)引入有關(guān)常微分方程的數(shù)學(xué)模型例子。一方面，引導(dǎo)學(xué)生如何分析實(shí)際問題，進(jìn)而得到模型；另一方面，講解如何運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析模型，得到模型結(jié)果，進(jìn)而解釋原實(shí)際問題。（2）將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課融入常微分方程教學(xué)中，主要學(xué)習(xí)Matlab、Maple軟件。一方面讓學(xué)生直觀的通過軟件練習(xí)所學(xué)知識(shí)，比如求解一階微分方程；另一方面鼓勵(lì)和指導(dǎo)學(xué)生編程，仿真微分方程中的實(shí)際問題，有利于計(jì)算機(jī)軟件的學(xué)習(xí)及實(shí)際問題的解決。這樣，學(xué)生既深刻理解了基礎(chǔ)知識(shí)，又培養(yǎng)了他們利用計(jì)算機(jī)軟件分析實(shí)際分析問題和解決問題的能力。（3）適當(dāng)介紹與本課程知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的科研信息或科研問題，擴(kuò)充學(xué)生的知識(shí)面，并提高學(xué)生獲取現(xiàn)代知識(shí)的能力，有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)和創(chuàng)新計(jì)劃的實(shí)施。比如，在學(xué)習(xí)用變量分離方法求一階微分方程

的解時(shí)，

可聯(lián)系數(shù)學(xué)建模課程中的人口增長(zhǎng)Logistic模型，進(jìn)而聯(lián)系生物數(shù)學(xué)專業(yè)研究方向—人口模型，說明課程間的相互聯(lián)系及由此知識(shí)點(diǎn)引申出的相關(guān)科研方向。（4）實(shí)施雙語(yǔ)教學(xué)，可擴(kuò)大學(xué)生視野，有利于吸收國(guó)外先進(jìn)理念。在教學(xué)的過程中，一方面，以英文的形式學(xué)習(xí)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，可調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)本門課程的積極性；另一方面，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的專業(yè)英語(yǔ)會(huì)話能力，學(xué)生能用英語(yǔ)書寫文章摘要、學(xué)術(shù)交流信件等。

參考文獻(xiàn)

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]鄭英.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].學(xué)術(shù)論壇前沿，2010：283-284.

[3]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)建模[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.