幾何概型教學的思考

摘 要：幾何概型同古典概型都是概率論中最基礎、最簡單的概率模型，如何才能讓學生自然而然的產生用幾何度量的方式來刻畫無心等可能性呢，該文以幾個例題做出簡單論述。

關鍵詞：幾何概型 教學 幾何方式

中圖分類號：G424文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）04（a）-0-01

幾何概型同古典概型都是概率論中最基礎、最簡單的概率模型。兩者的共同性在于每個基本事件發(fā)生的概率都是等可能的，兩者的不同則在于古典概型中的基本事件僅有有限個，而幾何概型中的基本事件則有無限個。

從有限到無限的飛躍，是學生學習幾何概型時的最大思維障礙，在沒有必要的測度論的知識儲備及沒有必要的概率論公理體系的前提下，如何讓學生理解幾何概型的基本思想—用幾何度量來刻畫無限等可能性，是每一個中學教師必須面對的問題。

讓學生被動的接受幾何概型的相關結論并不難，但正如蘇格拉底的名言“思想應該誕生在學生的心里，教師僅僅應當像助產士那樣辦事”，如何才能讓學生自然而然的產生用幾何度量的方式來刻畫無心等可能性呢？筆者選用了下述例題。

例 如圖所示，AB是一根長3 m的繩子，在其上隨機的選取一點M剪斷，則所得的兩段的長度均大于1 m的概率是多少？

A B

首先引領學生描述所求事件：將AB三等分，設C、D是其三等分點，則當且僅當所選的點位于線段CD上。為方便記，我們可以將CD染成黑色。

A C D B

此時，會有學生將事件空間分為下述三個基本事件

（1）A1：點M位于線段AC上

（2）A2：點M位于線段CD上

（3）A3：點M位于線段DB上

它們是等可能的，而所求事件即為事件A2，故根據(jù)古典概型的知識，所求的概率為。

但仍然有學生會認為：基本事件應該是繩AB上的每一個點，它們彼此間是等可能的，但基本事件的個數(shù)是無窮多個。

通過班級上兩部分同學的思維碰撞，可適時追問：這兩種觀念哪一種正確，還是均正確？若均正確，那么它們的結論應相同，那么是什么導致這兩種等可能性是等價的？

從而使學生初步認識到幾何概型的最樸素認識—在幾何概率模型中，運用幾何度量來刻畫無限等可能性。

但仍有部分同學提出下述困惑：線段、、是“開”線段還是“閉”線段？（即是否含該線段的左、右端點），“開”線段和“閉”線段的概率是否相同？

上述困惑的本源在于，學生不理解為什么在某個點處的概率為0.為解答學生的疑惑，筆者準備了下述問題。

例三角形面積的公式是如何得到？

此時，學生普遍會回答三角形的面積公式是通過補成相應平行四邊形得到的。

此時追問：三角形的面積是否包含三角形的邊界？如果包含，此時當兩個全等的三角形拼成一個平行四邊形時，平行四邊形的一條對角線被覆蓋了兩次；如果不包含，此時當兩個全等的三角形拼成一個平行四邊形時，該對角線未被其中任何一個三角形覆蓋。

從而引出結論：“在計算幾何區(qū)域面積時，無論是否考慮其邊界，區(qū)域的面積不改變?！边M而，讓學生意識到“在考慮線段長度時，無論是否計算其端點，其長度也不發(fā)生改變。”即點的長度是0，線的面積是0！

此時仍然有學生會有如下疑問：0概率是否意味著不可能？此時，筆者準備了下述問題：不可能事件的概率是否一定是0，0概率事件是否一定是不可能事件？能否舉出反例？

通過這一問題，引導學生意識到0概率事件并非不可能事件，二者不能混為一談。

那么如何選用適當?shù)膸缀味攘縼硌芯繋缀螁栴}呢，筆者準備了下述問題：

例：如圖所示，四面體ABCD的體積為2

（1）在線段AB上任取一點P，則四面體PBCD的體積大于1的概率是多少？

（2）在三角形ABC內任取一點P，則四面體PBCD的體積大于1的概率是多少？

（3）在四面體ABCD內任取一點P，則四面體PBCD的體積大于1的概率是多少？

通過這一例題的設置，使學生意識到選取適當?shù)膸缀味攘浚瑢鉀Q幾何概型問題的意義。那么如何運用幾何概型來解決問題呢？筆者也準備了一個典型的例題。

例 在線段AB上任取一點P，則四面體PBCD的體積大于1的概率是多少？假設你家定訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00～8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙的概率是多少？

幾何概型的教學，主要是概念教學。讓學生接受并理解幾何概型的概念，熟悉它的兩個基本特征—基本事件無限個，基本事件彼此間等可能，并使學生理解利用幾何度量來刻畫這種無限等可能性的合理性并加以運用，就能很好的落實本節(jié)課的教學任務。