基于區(qū)間模型的飛機(jī)復(fù)合材料翼肋腹板穩(wěn)健可靠性分析

摘 要：該文開(kāi)展了復(fù)合材料翼肋腹板穩(wěn)健可靠性分析。首先，建立復(fù)合材料翼肋腹板的有限元分析模型，通過(guò)確定性分析發(fā)現(xiàn)翼肋腹板最危險(xiǎn)部位。其次，以應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論建立翼肋腹板強(qiáng)度失效的穩(wěn)健可靠性模型，給出結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)基于區(qū)間的描述形式，采用穩(wěn)健可靠性指標(biāo)來(lái)度量結(jié)構(gòu)的安全程度，通過(guò)迭代二次響應(yīng)面法獲得結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程，并結(jié)合Monte Carlo法來(lái)求解穩(wěn)健可靠性指標(biāo)，分析結(jié)果對(duì)翼肋腹板的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：翼肋腹板 區(qū)間變量 穩(wěn)健可靠性 二次響應(yīng)面 Monte Carlo法

中圖分類號(hào)：V22 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）04（a）-000-03

目前，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件在飛機(jī)機(jī)體結(jié)構(gòu)中占有較大的比例[1]，一些先進(jìn)飛機(jī)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件重量已占全機(jī)結(jié)構(gòu)重量的50%[2-3]。對(duì)于某些飛機(jī)平尾復(fù)合材料翼肋腹板，工作環(huán)境復(fù)雜，受氣動(dòng)、扭轉(zhuǎn)、振動(dòng)、沖擊載荷的綜合作用，需要對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度進(jìn)行校核。在翼肋腹板強(qiáng)度分析中，由于制造、加工、裝配等過(guò)程存在誤差，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)尺寸等因素具有不確定性。通常采用隨機(jī)變量來(lái)處理這些不確定性因素，給出其概率密度函數(shù)，再根據(jù)隨機(jī)可靠性理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)安全程度的評(píng)估，計(jì)算結(jié)構(gòu)強(qiáng)度失效模式下的概率[4]。需要指出的是，基于概率的可靠性評(píng)估需要大量的數(shù)據(jù)信息，才能獲得結(jié)構(gòu)的尺寸等參數(shù)的概率密度分布類型和相關(guān)參數(shù)。而實(shí)際工程中，這些數(shù)據(jù)信息并不充分，不足以給出變量的分布規(guī)律。Elishakoff指出概率模型參數(shù)微小的誤差可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算出現(xiàn)較大的偏差[5]。

對(duì)于這類數(shù)據(jù)信息不充足的可靠性評(píng)估問(wèn)題，區(qū)間變量只需要不確定性參數(shù)的上下界，所需很少信息量就可以給出結(jié)構(gòu)參數(shù)的描述形式[6]。因此，該文在翼肋腹板確定性分析的基礎(chǔ)上，采用區(qū)間變量來(lái)描述參數(shù)的不確定性，建立其穩(wěn)健可靠性分析模型，并給出其度量指標(biāo)的求解流程。

1 復(fù)合材料翼肋腹板確定性分析

某型飛機(jī)平尾蒙皮與翼肋的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，翼肋腹板L型角片與蒙皮通過(guò)緊固件連接。

由于蒙皮在受到氣動(dòng)吸力作用，會(huì)使得翼肋腹板平面內(nèi)產(chǎn)生垂直于蒙皮的正應(yīng)力，這使得翼肋腹板的轉(zhuǎn)角處形成彎矩和面外剪力，導(dǎo)致翼肋腹板出現(xiàn)分層，需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度分析。層板力學(xué)性能見(jiàn)表1，幾何信息見(jiàn)表2，肋角片受到緊固件傳遞的拉伸載荷，如圖2所示。

圖1 平尾蒙皮與翼肋結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 翼肋腹板結(jié)構(gòu)受力示意圖

建立翼肋腹板有限元模型，如下圖3所示。通過(guò)分析得到R角區(qū)域沿著厚度方向（R向）及沿著切向（向）應(yīng)力，如圖4所示。在R角中部徑向應(yīng)力達(dá)到最大值，這是翼肋腹板最危險(xiǎn)點(diǎn)，需要對(duì)該處進(jìn)行可靠性評(píng)估。

圖3 R角有限元模型 圖4徑向應(yīng)力示意圖（25度位置）

2 復(fù)合材料翼肋腹板穩(wěn)健可靠性分析模型

復(fù)合材料翼肋腹板由于制造、加工、裝配等過(guò)程存在誤差，導(dǎo)致板厚、板長(zhǎng)、倒角等結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)具有不確定性，通常采用隨機(jī)變量來(lái)處理這些不確定性因素，而在翼肋腹板可靠性評(píng)估中，這些數(shù)據(jù)信息并不充分，不足以給出變量的分布規(guī)律。對(duì)于這類數(shù)據(jù)信息不充足的可靠性評(píng)估問(wèn)題，區(qū)間變量只需要知道不確定性因素的上下界，所需信息量很少。因此采用區(qū)間模型來(lái)描。復(fù)合材料翼肋腹板主要不確定性參數(shù)為基于區(qū)間模型的描述形式如下式（1）所示。

（1）

其中，為區(qū)間變量的的位置參數(shù)，為區(qū)間變量的的大小參數(shù)，這些參數(shù)均可通過(guò)區(qū)間變量的上下界來(lái)求解得到。以區(qū)間變量為例，設(shè)的上界為，下界為，則，。

翼肋腹板的具體參數(shù)如下表2所示。

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，建立復(fù)合材料翼肋腹板強(qiáng)度失效的穩(wěn)健可靠性模型，其極限狀態(tài)方程如下式（2）所示。

（2）

式中，為層合板面內(nèi)屈服強(qiáng)度，是結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)力，是變量的隱函數(shù)，通過(guò)針對(duì)翼肋腹板有限元模型分析計(jì)算得到。表示結(jié)構(gòu)安全，時(shí)則表示結(jié)構(gòu)失效。

采用穩(wěn)健擴(kuò)展函數(shù)指標(biāo)來(lái)度量復(fù)合材料翼肋腹板的安全程度，其是通過(guò)區(qū)間族之間的擴(kuò)展函數(shù)來(lái)定義的。對(duì)于（1）式所示的區(qū)間變量，全部區(qū)間構(gòu)成的凸集模型可以表示為（3）式。

（3）

由上式描述的集合再引入?yún)?shù)可定義一個(gè)集合族，如（4）式所示。

（4）

對(duì)于（4）式所示的集合族，若，為單元素集合，且對(duì)于，有

（5）

這說(shuō)明為集合族的“尺寸”參數(shù)，是初始集合多尺度參數(shù)的比例因子，可以通過(guò)（6）式來(lái)求解。

（6）

根據(jù)文[7]，可以定義翼肋腹板結(jié)構(gòu)穩(wěn)健可靠性指標(biāo)，如（7）式所示。

s.t. （7）

引入初始集合多尺度參數(shù)的比例因子，可以建立結(jié)構(gòu)穩(wěn)健可靠性指標(biāo)的優(yōu)化模型，如（8）式所示。

（8）

將（8）式描述的優(yōu)化問(wèn)題表示為擴(kuò)展函數(shù)的形式，如（9）式

所示。

（9）

其中為失效域（）內(nèi)所有點(diǎn)構(gòu)成的集合。

說(shuō)明翼肋腹板結(jié)構(gòu)處于完全失效，結(jié)構(gòu)有可能會(huì)失效，時(shí)結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)，時(shí)結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)，且隨著的增大安全程度不斷增加。

3 基于響應(yīng)面的復(fù)合材料翼肋腹板穩(wěn)健可靠性分析

在復(fù)合材料翼肋腹板的穩(wěn)健可靠性分析中，由于結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，在對(duì)（9）式所示的穩(wěn)健可靠性指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)需要多次調(diào)用有限元進(jìn)行分析，這需要很大的計(jì)算量。由于二次響應(yīng)面方法具有較高的擬合精度[8，9]，因此該文構(gòu)造一個(gè)不含交叉項(xiàng)的二次響應(yīng)面來(lái)代替真實(shí)的極限狀態(tài)函數(shù)，的具體形式可以用（10）式來(lái)表示。

（10）

研究表明，直接以位置參數(shù)為抽樣中心確定的響應(yīng)面求解穩(wěn)健可靠性指標(biāo)的準(zhǔn)確性不足。為了提高穩(wěn)健可靠性指標(biāo)的計(jì)算精度，通過(guò)一定的迭代過(guò)程，不斷更新抽樣中心，最終使得抽樣中心收斂于設(shè)計(jì)點(diǎn)、得到高精度的響應(yīng)面[10]。

根據(jù)上述分析，給出迭代二次響應(yīng)面的分析步驟如下：

（1）選取初始的抽樣中心，穩(wěn)健可靠性指標(biāo)，迭代次數(shù)；

（2）第次迭代

（2.1）構(gòu)造響應(yīng)面：給定偏離系數(shù)，依據(jù)Bucher設(shè)計(jì)選取抽樣中心附近的個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)并結(jié)合抽樣中心點(diǎn)，將這實(shí)驗(yàn)點(diǎn)作為有限元模型的輸入?yún)?shù)，計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)處的極限狀態(tài)函數(shù)值，通過(guò)最小二乘法計(jì)算（10）式所示響應(yīng)面的待定系數(shù)，從而建立響應(yīng)面函數(shù)。

（2.2）針對(duì)顯式化了的極限狀態(tài)函數(shù)，采用Monte Carlo法計(jì)算第次的穩(wěn)健可靠性指標(biāo)和設(shè)計(jì)點(diǎn)。

①依據(jù)經(jīng)驗(yàn)值給出落入失效域內(nèi)的一點(diǎn)，計(jì)算包含該點(diǎn)的最小的凸模型尺寸參數(shù)比例因子，并令；

②給定抽取的樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)，并令已抽取的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；

③在由控制的凸模型內(nèi)，抽取樣本點(diǎn)，并代入到響應(yīng)面計(jì)算該點(diǎn)的極限函數(shù)值，若，則計(jì)算包含點(diǎn)的凸模型的最小尺寸參數(shù)比例因子值，若，則，第次的設(shè)計(jì)點(diǎn)

④若，算法收斂；否則，。

⑤令，最終得到第次響應(yīng)面的穩(wěn)健可靠性指標(biāo)和對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。

（3）若（為給定的小量），則算法收斂；否則，令，將點(diǎn)和有限元模型中，并采用線性插值估算出的點(diǎn)，作為下一次響應(yīng)面方法的取樣中心。返回（2）重新計(jì)算，直到收斂。

通過(guò)迭代二次響應(yīng)面方法計(jì)算得到翼肋腹板的穩(wěn)健可靠性指標(biāo)，結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)，也表明結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)的不確定性尺度以位置參數(shù)為中心增加到原先的1.5倍時(shí)，結(jié)構(gòu)將處于臨界狀態(tài)。

4 結(jié)語(yǔ)

該文在復(fù)合材料翼肋腹板確定性分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合非概率理論，給出了翼肋腹板尺寸參數(shù)基于區(qū)間模型的描述形式，并采用迭代二次響應(yīng)面建立結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程，給出了結(jié)構(gòu)安全程度度量的穩(wěn)健可靠性指標(biāo)及其優(yōu)化模型，并采用Monte Carlo法進(jìn)行求解。分析得到了翼肋腹板的安全程度，并指出結(jié)構(gòu)在臨界安全狀態(tài)下不確定性尺寸可擴(kuò)充的范圍。

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