面向計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的計(jì)算方法教學(xué)研究

摘要：分析大學(xué)工科計(jì)算方法課程教學(xué)中存在的常見(jiàn)問(wèn)題，基于課程特點(diǎn)，從計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)教學(xué)角度，研究計(jì)算方法課程的基本定位、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)、教學(xué)方式與講授順序，探討課程實(shí)踐教學(xué)的內(nèi)容與方式。

關(guān)鍵詞：計(jì)算方法；教學(xué)；數(shù)值算法；實(shí)踐

文章編號(hào)：1672-5913（2013）18-0069-04

中圖分類(lèi)號(hào)：G642

0 引言

作為科學(xué)方法論的三大組成部分之一，科學(xué)計(jì)算在人類(lèi)生活中正扮演著日益重要的角色，而選用計(jì)算方法作為整個(gè)科學(xué)計(jì)算全過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析的依據(jù)和基礎(chǔ)。計(jì)算方法課程作為工學(xué)本科專(zhuān)業(yè)，尤其是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要選修課程，講授內(nèi)容包括常用的數(shù)值計(jì)算方法及其相關(guān)理論。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決各類(lèi)科學(xué)或工程實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)自身的學(xué)科基本能力與創(chuàng)新能力奠定良好的基礎(chǔ)。

長(zhǎng)期以來(lái)，計(jì)算方法課程教學(xué)存在著過(guò)分強(qiáng)調(diào)理論教學(xué)，輕視實(shí)踐教學(xué)，重視課堂教育，輕視算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)綜合訓(xùn)練，以及缺少與科學(xué)、工程實(shí)際相關(guān)的教學(xué)案例等傾向，教學(xué)效果不甚理想。因此，計(jì)算方法課程教學(xué)改革勢(shì)在必行。近幾年，筆者一直從事計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)本科生計(jì)算方法課程的教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法及實(shí)踐教學(xué)等方面進(jìn)行改革與實(shí)踐，并取得了較好的效果，對(duì)該課程的教學(xué)有了較為深刻的認(rèn)識(shí)與體會(huì)。

1 計(jì)算方法課程的定位、內(nèi)容及教材選用

計(jì)算方法是從計(jì)算機(jī)的角度考察計(jì)算數(shù)學(xué)，形成“面向計(jì)算機(jī)”的數(shù)值算法設(shè)計(jì)學(xué)，它以數(shù)學(xué)問(wèn)題為對(duì)象，研究各種數(shù)值算法及其相關(guān)理論。對(duì)于計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)計(jì)算方法的主要目的在于運(yùn)用，即針對(duì)科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)中的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用理論設(shè)計(jì)相應(yīng)的算法，編制相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序，最終上機(jī)計(jì)算求出結(jié)果。因此，課程的主要任務(wù)是使學(xué)生掌握最常用、最基本的數(shù)值計(jì)算的基本概念、基本方法和基本理論。

計(jì)算方法課程包括插值方法、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程的差分方法、非線(xiàn)性方程的求根、線(xiàn)性方程組的迭代法與直接法等內(nèi)容。它們構(gòu)成兩大模塊：①數(shù)值微積分模塊，討論將微積分方法化歸為代數(shù)問(wèn)題或解方程，包括插值方法、數(shù)值微積分和常微分方程的差分法；②方程（組）求解模塊，致力于討論方程（組）的解法，包括非線(xiàn)性方程求根、線(xiàn)性方程組的迭代法與直接法。課程具有以下特點(diǎn)：借助計(jì)算機(jī)提供切實(shí)可行的數(shù)學(xué)算法，所提出的算法必須具有可靠的理論分析、理想的精確度、收斂且穩(wěn)定，誤差可以分析或估計(jì)，計(jì)算復(fù)雜性好（該特點(diǎn)通過(guò)時(shí)間復(fù)雜性和空間復(fù)雜性?xún)蓚€(gè)指標(biāo)衡量，即節(jié)省時(shí)間與空間存儲(chǔ)量），并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法行之有效。

課程內(nèi)容可安排在56課時(shí)內(nèi)完成，其中課堂講授40課時(shí)，上機(jī)實(shí)驗(yàn)16課時(shí)。教材選用由華中科技大學(xué)出版社、王能超教授編寫(xiě)的《計(jì)算方法》。該教材完全摒棄了依據(jù)微積分知識(shí)設(shè)計(jì)算法的傳統(tǒng)做法，代之以幾種富于概括性的設(shè)計(jì)思想和方法原則，概念清晰，結(jié)構(gòu)編排由淺入深，分析問(wèn)題具有很強(qiáng)的啟發(fā)性。

2 計(jì)算方法的教學(xué)重點(diǎn)、方式與順序

2.1 教學(xué)重點(diǎn)

學(xué)習(xí)計(jì)算方法課程，不必追求數(shù)學(xué)理論的完整性與嚴(yán)密性，重要的是進(jìn)行算法的設(shè)計(jì)，它是科學(xué)計(jì)算成敗的關(guān)鍵。合理地選擇算法是建立在正確的算法分析基礎(chǔ)之上，通過(guò)算法分析掌握算法的適用性、有效性、收斂性、可靠性和穩(wěn)定性，但對(duì)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)學(xué)生這部分內(nèi)容可以不作為重點(diǎn)。課程講授的重點(diǎn)應(yīng)放在算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)上，教會(huì)學(xué)生掌握各種算法的設(shè)計(jì)機(jī)理并靈活運(yùn)用其進(jìn)行算法的設(shè)計(jì)。

基于以上理念，在教學(xué)中我們合理設(shè)置了各部分內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)。

1）插值方法。

使學(xué)生明確插值過(guò)程實(shí)際是直接利用所給數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)平均，基于代數(shù)精度的概念將插值公式的設(shè)計(jì)化歸為確定平均化系數(shù)的代數(shù)問(wèn)題。教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)講授多項(xiàng)式插值，包括Lagrange插值及Hermite插值，在此基礎(chǔ)上使學(xué)生掌握通過(guò)線(xiàn)性插值的重復(fù)化得到高階插值公式的Aitken逐步插值算法與Neville逐步插值算法，并重點(diǎn)介紹分段插值的基本思想與公式。至于樣條插值，可不作考核要求。

2）數(shù)值積分與數(shù)值微分。

應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)值積分的基本思想是通過(guò)若干個(gè)求積節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的加權(quán)平均生成平均高度，數(shù)值微分則是將導(dǎo)數(shù)計(jì)算化歸為若干個(gè)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的加權(quán)平均。教師必須教會(huì)學(xué)生在盡可能高的代數(shù)精度目標(biāo)下進(jìn)行求積公式的設(shè)計(jì)，且設(shè)計(jì)求積公式時(shí)可利用對(duì)稱(chēng)性原理減少待定參數(shù)。具體內(nèi)容以等距節(jié)點(diǎn)上的Newton-Cotes公式、非等距的Gauss公式為重點(diǎn)，明確Gauss公式的精度較高，但需同時(shí)處理求積系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)，并能利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化處理過(guò)程。對(duì)于固定步長(zhǎng)、變步長(zhǎng)的復(fù)化求積方法及Romgerg加速算法也應(yīng)給予足夠重視，而數(shù)值微分及其加速方法只簡(jiǎn)單介紹即可。

3）常微分方程的差分法。

重點(diǎn)介紹常用單步法的Euler方法和Runge-Kutta方法，線(xiàn)性多步法的Adams方法，它們又分為顯示和隱式兩種差分格式。具體實(shí)施中，使學(xué)生明確Euler方法的不同差分格式實(shí)際上是根據(jù)近似區(qū)間上導(dǎo)數(shù)方法的不同而得到，重點(diǎn)掌握顯式方法與隱式方法、兩步格式與梯形格式以及Euler預(yù)報(bào)校正系統(tǒng)。對(duì)于Runge-Kutta方法，關(guān)鍵在于尋求求解平均斜率的方法，重點(diǎn)掌握二階及經(jīng)典Runge-Kutta方法。為設(shè)計(jì)多步格式，需掌握如何將所給實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題，并基于代數(shù)精度概念，具體地列出方程組。

4）非線(xiàn)性方程求根。

重點(diǎn)介紹根的存在性、根的范圍和根的精確化，明確其基本思想是將隱式的非線(xiàn)性化模型逐步顯式化、線(xiàn)性化。實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)通過(guò)運(yùn)用基本的算法設(shè)計(jì)技術(shù)，舍棄高階小量，將難以處理的非線(xiàn)性方程加工成容易求解的線(xiàn)性化的校正方程，逐步校正所獲得的近似根，迭代誤差逐步縮小，以保證迭代過(guò)程的收斂性，并對(duì)每一步迭代出的新值與老值進(jìn)行加權(quán)平均（松弛），得出精度更好的改進(jìn)值。要求學(xué)生熟練掌握Newton法及一系列改進(jìn)的Newton方法。對(duì)于非線(xiàn)性方程組只需簡(jiǎn)單介紹Newton方法，但由于理論的復(fù)雜性，故不作考核要求。

5）線(xiàn)性方程組的迭代法和直接法。

對(duì)于迭代法，教會(huì)學(xué)生將線(xiàn)性方程組的求解過(guò)程加工成對(duì)角方程組或三角方程組求解過(guò)程的重復(fù)。重點(diǎn)介紹Jacobi公式與Gauss-Seidel公式，在此基礎(chǔ)上掌握超松弛迭代加速方法，以及通過(guò)矩陣分裂導(dǎo)出上述兩者方法的迭代矩陣。對(duì)于直接法，使學(xué)生掌握方法的核心在于利用矩陣分解技術(shù)通過(guò)運(yùn)算手續(xù)直接將所給線(xiàn)性方程組加工成某個(gè)三角方程組乃至對(duì)角方程組來(lái)求解，掌握利用求解過(guò)程的“追”手續(xù)與“趕”手續(xù)。重點(diǎn)講解Gauss消元法、列主元與全主元Gauss消元法、LU的Doolittle與Crout分解方法，然后使學(xué)生掌握通過(guò)LU手續(xù)利用追趕法求解三對(duì)角方程組、利用Cholesky及其改進(jìn)方法求解系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)正定陣的線(xiàn)性方程組。

2.2 教學(xué)方式

課程教學(xué)中，我們牢牢把握了1條主線(xiàn)、2類(lèi)基本方法和4種基本技術(shù)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行正確的引導(dǎo)，使學(xué)生能舉一反三，快速掌握數(shù)值的校正量，要求校正方程具有逼近性和簡(jiǎn)易性；逐步求精是指繼續(xù)迭代與否取決于改進(jìn)值是否滿(mǎn)足精度要求，若不滿(mǎn)足，則用改進(jìn)值作為新的猜測(cè)值重復(fù)上述步驟。

（3）松弛技術(shù)：松弛過(guò)程也是加速迭代的過(guò)程，即通過(guò)對(duì)兩個(gè)與目標(biāo)值精度相當(dāng)?shù)慕浦档募訖?quán)平均得到精度更高的改進(jìn)值，其設(shè)計(jì)機(jī)理可表述為優(yōu)劣互補(bǔ)、激濁揚(yáng)清。運(yùn)用松弛技術(shù)的關(guān)鍵是選取合適的松弛因子，當(dāng)近似值有優(yōu)劣之分時(shí)，松弛因子一正一負(fù)，松弛技術(shù)稱(chēng)為超松弛技術(shù)。

（4）二分技術(shù)：它是縮減技術(shù)的延伸，也是一種高效算法的設(shè)計(jì)技術(shù)，其設(shè)計(jì)機(jī)理變慢為快，即每一步使問(wèn)題的規(guī)模減半，規(guī)模按等比級(jí)數(shù)（1/2）遞減，直至規(guī)模變?yōu)?時(shí)終止計(jì)算。

2.3 教學(xué)順序

算法設(shè)計(jì)的基本方法與過(guò)程。

1 條主線(xiàn)是復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將復(fù)雜計(jì)算化歸為一系列簡(jiǎn)單計(jì)算的重復(fù)。

2 類(lèi)基本方法包括直接法與迭代法。它們均按照規(guī)?？s減的原則進(jìn)行演化，主要區(qū)別在于直接法是正整數(shù)規(guī)模的有限縮減過(guò)程，而迭代法是實(shí)數(shù)規(guī)模的無(wú)窮縮減過(guò)程。

數(shù)值算法設(shè)計(jì)的基本與一般性技術(shù)（包括縮減技術(shù)、校正技術(shù)、超松弛技術(shù)和二分技術(shù)）是直接法與迭代法的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。其中，二分技術(shù)是縮減技術(shù)的加速，超松弛技術(shù)是校正技術(shù)的優(yōu)化。

（1）縮減技術(shù)：適用于通過(guò)有限步計(jì)算可直接得到問(wèn)題解的直接法，其設(shè)計(jì)機(jī)理為大事化小，小事化了。大事化小即通過(guò)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)遞歸，將所考察的問(wèn)題加工成規(guī)模壓縮了的同類(lèi)問(wèn)題，使每一步加工后的問(wèn)題規(guī)模相比之前小1，最終達(dá)到規(guī)模遞減之目的；而小事化了則意味著問(wèn)題的規(guī)模變得足夠小，可直接計(jì)算或能方便地得出問(wèn)題的解。

（2）校正技術(shù)：是指對(duì)于無(wú)法大事化小的問(wèn)題只能通過(guò)無(wú)限的逼近過(guò)程——迭代近似求解，其設(shè)計(jì)機(jī)理可概況為以簡(jiǎn)馭繁與逐步求精。以簡(jiǎn)馭繁是指通過(guò)構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)化方程（校正方程）近似替代原先比較復(fù)雜的方程，以確定所給預(yù)報(bào)值

課程的講授順序應(yīng)科學(xué)安排，循序漸進(jìn)。

1）數(shù)值微積分模塊。

該模塊的3部分內(nèi)容都是從簡(jiǎn)單出發(fā)、基于平均化原則，都?xì)w結(jié)為某些離散函數(shù)值的加權(quán)平均，最終歸結(jié)為確定權(quán)系數(shù)，將含有多個(gè)權(quán)系數(shù)的代數(shù)模型加工為每步確定一個(gè)松弛因子的遞推過(guò)程。

其中，插值方法講授函數(shù)的近似表示，由其構(gòu)造出的插值函數(shù)可充當(dāng)某種簡(jiǎn)單的近似函數(shù)。插值逼近是數(shù)值微積分方法的理論基礎(chǔ)，如果用插值函數(shù)近似替代被積函數(shù)，可導(dǎo)出數(shù)值求積公式。而數(shù)值微積分講授積分與微分的近似計(jì)算，基于數(shù)值求積公式可以導(dǎo)出差分格式，常微分方程的差分方法講授常微分方程的近似求解，形式上可表示為積分形式。作為承上啟下重要環(huán)節(jié)的常微分方程的差分方法是數(shù)值計(jì)算的核心內(nèi)容，其定解問(wèn)題包括初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題，其中，初值問(wèn)題的隱式格式需要求解函數(shù)方程，邊值問(wèn)題的差分方法化歸為大型線(xiàn)性方程組。

2）方程（組）求解模塊。

該模塊的3部分內(nèi)容形成了一個(gè)有機(jī)的整體，進(jìn)行方程（組）求解所用的迭代方法是本模塊的基礎(chǔ)，即都是將函數(shù)方程或線(xiàn)性方程組劃歸為一系列遞推算式。迭代方法不僅可用于非線(xiàn)性方程的求根（逐步線(xiàn)性化），而且還可進(jìn)行線(xiàn)性（非線(xiàn)性）方程組的求解。而線(xiàn)性方程組的迭代法與直接法互為反方法，它們分別對(duì)矩陣施行矩陣分裂（矩陣相加）與矩陣分解（矩陣相乘）手續(xù)，基本的處理策略都是將所給的線(xiàn)性方程組化歸為三角方程組逐步逼近所求的解。

對(duì)于上述兩大模塊，數(shù)值微積分模塊討論將微積分方法化歸為代數(shù)問(wèn)題乃至于解方程，而方程（組）求解模塊致力于討論方程的解法。因此，課程的教學(xué)順序應(yīng)為：插值方法、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程的差分方法、非線(xiàn)性方程的求根、線(xiàn)性方程組的迭代法與直接法。

3 計(jì)算方法課程實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)

實(shí)踐教學(xué)是計(jì)算方法課程教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分。在教學(xué)中我們采取了以下措施：

1）精選實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，注重提高解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)。

實(shí)驗(yàn)的目的在于使學(xué)生熟悉數(shù)值算法的運(yùn)算過(guò)程，加深對(duì)基本理論的理解，并最終能用于解決科學(xué)、工程實(shí)際問(wèn)題。因此，在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)，我們將計(jì)算方法課程與其他學(xué)科相結(jié)合，精選一些貼近工程或科學(xué)實(shí)際的問(wèn)題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生積極思維，讓學(xué)生自己動(dòng)手，查閱文獻(xiàn)，分析研究，建立模型，設(shè)計(jì)算法，編寫(xiě)程序并上機(jī)調(diào)試，以及分析運(yùn)行結(jié)果。這樣既加深了學(xué)生對(duì)算法的理解，同時(shí)培育了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

2）基于Matlab計(jì)算平臺(tái)，深入引導(dǎo)學(xué)生理解算法內(nèi)涵。

為提高學(xué)習(xí)本課程的興趣，可借助一些數(shù)學(xué)軟件使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將學(xué)生的注意力從編程轉(zhuǎn)移到實(shí)際問(wèn)題的解決上來(lái)。實(shí)踐中，選用了Matlab作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用Maflab軟件平臺(tái)強(qiáng)大的計(jì)算功能與圖形處理功能，將復(fù)雜抽象的定義、理論與算法簡(jiǎn)單化、具體化，既能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，又能實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的可視化，取得較好的實(shí)驗(yàn)效果。

4 結(jié)語(yǔ)

計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提高需要借助于好的計(jì)算方法，計(jì)算方法課程致力于探索適合在計(jì)算機(jī)上使用的理論可靠、實(shí)現(xiàn)可行、計(jì)算復(fù)雜性好的數(shù)值算法之設(shè)計(jì)方法。針對(duì)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)本科學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算方法課程中存在的問(wèn)題，我們對(duì)課程進(jìn)行改革，以培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)值算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)能力為核心目標(biāo)，總結(jié)并提出了課程的教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)順序、教學(xué)方式方法，以及實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)。實(shí)踐表明，這種教學(xué)模式對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的程序設(shè)計(jì)能力和綜合應(yīng)用能力具有較好的作用。

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（見(jiàn)習(xí)編輯：劉麗麗）