一道課本例題的聯(lián)想

摘 要： 許多學(xué)生害怕學(xué)數(shù)學(xué)，且答題不規(guī)范、思維不嚴(yán)密等，并形成惡性循環(huán).究其根本原因，在于沒有很好地掌握概念，把原有的知識結(jié)構(gòu)體系與數(shù)學(xué)概念背景材料有力地結(jié)合起來.在解定值問題時，應(yīng)立足概念本質(zhì).

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)概念 概念本質(zhì) 概念內(nèi)涵 概念外延 數(shù)學(xué)思想與方法

在必修4§2.5.1中有這樣一道題：在平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能確定AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？

利用信息技術(shù)工具（數(shù)形結(jié)合法）作圖可以發(fā)現(xiàn)，實質(zhì)上問題即為證明R、T為AC上的定點——三等分點，就是定值問題.教師在教學(xué)過程中應(yīng)該強調(diào)平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，而向量問題最終立足于本質(zhì)概念的考查——平面向量基本定理.

問題1：在△ABC中，D為BC邊上的中點，過D點作一直線，交AB、AC與點M、N，若求證：m+n是定值.

問題2：PQ過△ABC的重心G這兩題與課本的例題類似，都是考查平面向量基本定理.在概念教學(xué)中，問題的設(shè)計應(yīng)具有層次感，便于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識概念的本質(zhì)，打好知識基礎(chǔ)，形成基本技能，掌握好基本概念及學(xué)習(xí)方法.

高中數(shù)學(xué)的知識點不是一個個獨立的個體，定值問題也不僅僅局限在向量，知識之間是相互關(guān)聯(lián)且相互滲透的.向量在其他知識點中的滲透是較為常見的，如直線與圓錐曲線中結(jié)合向量，主要是利用向量概念的內(nèi)涵，考查直線與圓錐曲線本質(zhì)概念.

問題3：已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1，過橢圓右焦點的直線F的直線交橢圓于A、B兩點共線，

（1）求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程；

（2）過點B（-1，0）的直線l交橢圓于C、D兩點，交直線x=-4于點E，點B、E分的比分別為，求證.

問題3考查平面向量共線的概念本質(zhì)，利用點斜式寫出直線方程y=x-c，設(shè)，利用只設(shè)不求的數(shù)學(xué)思想方法，把直線方程代入曲線方程中，得到關(guān)于x的一元二次方程，從而得x，由向量共線可以得到a，b，c之間的關(guān)系，結(jié)合離心率的概念可求之.設(shè)M（x，y），利用M點在橢圓上，則滿足橢圓的方程，以及條件，整體代換，通過化簡可得的定值為1.

問題4考查了平面向量定比分點的概念本質(zhì)，回歸概念本質(zhì)教學(xué)，返璞歸真，在概念的應(yīng)用中進一步體會其本質(zhì)，達(dá)到深刻認(rèn)識本質(zhì)概念的目的，感受本質(zhì)概念的內(nèi)涵和外延.由M、N的對稱性，，結(jié)合向量的條件，可求得橢圓方程為，直線方程可用點斜式表示，故要討論斜率的存在性，下面解法同問題3.

在問題3和問題4的教學(xué)過程中，要時刻圍繞著本原性問題，讓學(xué)生了解問題背后的知識概念，以概念為突破口，進一步實踐與探究，使學(xué)生的思維由單一思維向多向思維轉(zhuǎn)變，從而達(dá)到解題目的.

數(shù)學(xué)概念凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是認(rèn)識事物的數(shù)學(xué)思想的概括，是數(shù)學(xué)思想的精華，是人類智慧的結(jié)晶.

圓錐曲線中的定值問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，而定值問題在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系中遠(yuǎn)不止這些，如不等式中出現(xiàn)的定值問題，解法較為靈活多變。學(xué)生對知識概念本質(zhì)的認(rèn)識和掌握，理解概念本質(zhì)的程度因人而異，要求教師在教學(xué)時，驅(qū)動問題教學(xué)，如提出好的數(shù)學(xué)問題，提出本原性及觸及數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的問題驅(qū)動教學(xué).

問題5：在正方體AC中，在棱AB、AD、AA1上，各任取三點E、F、G，問△EFG的形狀如何？

表面看起來是立體幾何的問題，實際上在求解時結(jié)合向量垂直的概念本質(zhì)，問題將變得簡單化.數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念，在概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能形成正確的思維方式、方法，以及思維的遷移能力.問題五把立體幾何中角的問題遷移到向量中角的問題，，由立體幾何的概念本質(zhì)可推理得，故可得到△EFG中∠E為銳角，同理可得另外兩個角也是銳角，從而判定該三角形為銳角三角形.

教師通過對教材的“再創(chuàng)造”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生主動地參與到學(xué)習(xí)概念本質(zhì)中，通過對數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和探索，認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念本身的魅力，從而促進學(xué)生對概念本質(zhì)的理解，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

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