“常微分方程”教學(xué)改革初探

摘 要： 常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程之一。本文針對(duì)常微分方程教學(xué)改革的必要性，提出了幾點(diǎn)改革的建議，以提高課堂教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)適應(yīng)新時(shí)期發(fā)展需要的大學(xué)生。

關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學(xué)改革 基礎(chǔ)課程

常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程之一。它既是數(shù)學(xué)分析的延續(xù)，又是偏微分方程、數(shù)學(xué)建模等課程的基礎(chǔ)。常微分方程的重要性在于它是自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中精確表述基本定律和各種問(wèn)題的根本工具之一，只要根據(jù)實(shí)際背景列出微分方程，并（數(shù)值地或定性地）求出方程的解，人們就能預(yù)見事情的變化情況。于是，微分方程成為人們認(rèn)識(shí)、改造自然和社會(huì)的有力工具，也是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。因此，微分方程對(duì)本科數(shù)學(xué)的重要性顯而易見。

1.教學(xué)改革的必要性

目前許多高等院校在“常微分方程”的教學(xué)中，或多或少地存在如下問(wèn)題：現(xiàn)在各高校普遍使用的常微分方程教材往往幾年、乃至十幾年不變，課程內(nèi)容跟不上時(shí)代步伐。課程體系仍立足于常微分方程的基本知識(shí)及相關(guān)課程的縱向發(fā)展，忽視學(xué)科之間的橫向聯(lián)系。教學(xué)中，多年采用“教師+黑板”、“我講你聽”的填鴨式單向教學(xué)模式，以教師為中心，注重理論知識(shí)的傳授，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)能力、研究能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。

近幾十年來(lái)動(dòng)力系統(tǒng)及非線性科學(xué)得到了迅猛發(fā)展，極大地促進(jìn)了力學(xué)、物理、生物、地學(xué)、機(jī)械工程、通信工程、電力工程和航空航天技術(shù)的發(fā)展。這對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)及非線性科學(xué)起奠基性作用的課程“常微分方程”提出了新的要求。如何用新的思路改進(jìn)教學(xué)方法，如何將新知識(shí)新方法注入教學(xué)中，如何將時(shí)代的新要求貫穿教學(xué)始終，成了現(xiàn)代“常微分方程”課程教學(xué)面臨的新課題[5]。

2.關(guān)于教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議

2.1.教學(xué)模式改革

微分方程有兩個(gè)“端點(diǎn)”，一個(gè)端點(diǎn)是實(shí)際背景，另一個(gè)端點(diǎn)是實(shí)際應(yīng)用。離開了這兩個(gè)端點(diǎn)，微分方程就成了無(wú)水之源，無(wú)本之木。因此，我們要結(jié)合新的教學(xué)實(shí)際，改革教學(xué)模式，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。首先，要抓好基本理論和基本技能（解題技巧）的教學(xué)工作。理論教學(xué)必須有一定的高度和深度。這一部分以課堂教學(xué)為主。其次，通過(guò)習(xí)題課消化理解并加深理論知識(shí)和基本技能，從而提升理論水平。針對(duì)不同層次的學(xué)生進(jìn)行分類指導(dǎo)，特別是要給學(xué)習(xí)成績(jī)比較突出的同學(xué)留出學(xué)習(xí)空間，而給學(xué)習(xí)相對(duì)薄弱的同學(xué)及時(shí)補(bǔ)習(xí)，達(dá)到共同提高的目的。再次，盡可能在每一部分的引入中，以切實(shí)可行的實(shí)際問(wèn)題為背景引導(dǎo)出所需要的微分方程，讓學(xué)生親身體會(huì)方程的來(lái)源。同時(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)建模，在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)加入模型分析，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，避免枯燥地講授理論和繁雜的數(shù)學(xué)計(jì)算。最后，對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)，組織學(xué)術(shù)研討班，邀情有學(xué)術(shù)造詣的老師作指導(dǎo)，選擇合適的課題，進(jìn)行學(xué)術(shù)研討，開展大學(xué)生科研立項(xiàng)，撰寫學(xué)術(shù)小論文，進(jìn)而充分發(fā)揮學(xué)生的潛能和優(yōu)勢(shì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)質(zhì)量。

2.2.教學(xué)內(nèi)容改革

為了照顧不同層次的學(xué)生，提高教學(xué)質(zhì)量，增強(qiáng)教學(xué)效果，對(duì)教材內(nèi)容（以王高雄等，常微分方程，高等教育出版社（第三版）為例）可以作如下處理：

2.2.1優(yōu)化組合章節(jié)內(nèi)容。將方法相同或相似的內(nèi)容安排在一起，避免相關(guān)內(nèi)容的重復(fù)。講解第五章時(shí)，先講微分方程組（第五章）后講高階微分方程（第四章），把高階微分方程視為線性方程組的特例，這就使得第四章的許多定理和公式變成第五章相應(yīng)定理和公式的推論而無(wú)需證明。

2.2.2結(jié)合教學(xué)模式的設(shè)計(jì)，合理安排教學(xué)模塊。一是理論模塊。這些理論除了第三章一階微分方程的存在定理，第四章線性方程的解的結(jié)構(gòu)理論，第五章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論，以及第六章解的穩(wěn)定性理論外，有些理論是分散在各章的，應(yīng)注意及時(shí)整理總結(jié)。二是解方程模塊，這是理論模塊的落腳點(diǎn)之一，其內(nèi)容分散在各章中，類型多，內(nèi)容雜，要及時(shí)歸類，并加強(qiáng)訓(xùn)練。三是應(yīng)用模塊。每章或某一節(jié)的引入中除通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建立模型外，如捕魚問(wèn)題、技術(shù)革命問(wèn)題、單擺問(wèn)題、二體問(wèn)題、綜合國(guó)力問(wèn)題和生物種群?jiǎn)栴}等，還可向?qū)W生講清實(shí)際背景，然后列出方程，用學(xué)過(guò)的微分方程知識(shí)進(jìn)行求解，再返回到實(shí)際問(wèn)題中，解釋某些實(shí)際現(xiàn)象。四是學(xué)術(shù)模塊。在教學(xué)的中間環(huán)節(jié)穿插一些通俗性學(xué)術(shù)報(bào)告，內(nèi)容包括請(qǐng)專家介紹本學(xué)科前沿工作、發(fā)展動(dòng)態(tài)和趨勢(shì)；學(xué)生論文報(bào)告會(huì)等。

2.2.3抓住微分方程的數(shù)學(xué)思想。常微分方程的中心是解方程，但是其方程的類型很繁雜，許多同學(xué)難以把握。教師可有意識(shí)地挖掘理論知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想，將理論知識(shí)進(jìn)一步提煉、升華，并將許多知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。

2.3教學(xué)手段和教學(xué)方式改革

2.3.1在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們采用以“黑板+粉筆”為主的教學(xué)手段，這種教學(xué)手段靈活性強(qiáng)，可隨時(shí)根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行調(diào)整，并能增強(qiáng)師生的互動(dòng)性，推導(dǎo)過(guò)程能吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生思考。由于微分方程與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系比較密切，凡問(wèn)題的引入、背景分析、定理和定義的表述，以及例題和習(xí)題都可用多媒體教學(xué)，凡定理的證明和例題講解用黑板。

2.3.2充分利用精品課程網(wǎng)站。學(xué)生可以根據(jù)網(wǎng)上材料進(jìn)行自學(xué)，也可以就自己感興趣的問(wèn)題展開討論。這樣打破了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，拓展了教學(xué)空間和學(xué)習(xí)空間。

2.3.3采用師生互動(dòng)式教學(xué)。倡導(dǎo)啟發(fā)式教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)或遇到困難時(shí)，加以引導(dǎo)，調(diào)動(dòng)并發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在授課過(guò)程中留一些有一定難度的思考題，在下次上課時(shí)讓學(xué)生發(fā)表不同的意見與解題思路，老師分別給予講評(píng)，并記入平時(shí)成績(jī)。

2.4評(píng)價(jià)機(jī)制改革

評(píng)價(jià)機(jī)制是學(xué)習(xí)的向?qū)?，客觀的評(píng)價(jià)機(jī)制對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，挖掘?qū)W習(xí)潛能具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用，構(gòu)建了“期末為主、重視平時(shí)”的多元化、靈活性評(píng)估機(jī)制。期末考試采用閉卷筆試的形式，占總成績(jī)的60%。在考核內(nèi)容上突出三點(diǎn)：一是對(duì)基本概念的掌握程度；二是分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的綜合能力；三是解方程的技巧。平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)的40%，包括出勤率、上課紀(jì)律、上課回答問(wèn)題情況、作業(yè)情況等。

新世紀(jì)，我們需要培養(yǎng)一批能夠在動(dòng)力系統(tǒng)及非線性科學(xué)領(lǐng)域不斷開拓前行、能夠?qū)⑦@方面的新理論新方法同工程實(shí)踐相結(jié)合的人才。這將是新世紀(jì)理科數(shù)學(xué)基地人才培養(yǎng)的任務(wù)。為了更好地完成這個(gè)任務(wù)，高校教師必須在教學(xué)活動(dòng)中敢于改革和創(chuàng)新，培養(yǎng)出社會(huì)需要的人才。

參考文獻(xiàn)：

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