有效求解積分的幾種方法

　　摘要： 求解微分方程時(shí)都需要求積分，求積分的方法是非常靈活的，對(duì)于不同形式的積分有不同的方法.文章給出了幾種求積分的方法，有一般方法和特殊方法，方便以后求積分時(shí)應(yīng)用.
　　關(guān)鍵詞： 積分函數(shù)一般方法特殊方法
　　
　　微積分中研究了變量的各種函數(shù)及函數(shù)的微分與積分.但是如果函數(shù)未知，知道變量與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系式，便可組成代數(shù)方程，通過(guò)求解代數(shù)方程解除未知函數(shù).同樣，如果知道自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的微分組成的關(guān)系式，則得到的便是微分方程，通過(guò)求解微分方程求出未知函數(shù).自變量只是一個(gè)的微分方程則可稱為常微分方程.常微分方程是數(shù)學(xué)分析或是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中占據(jù)著重要的位置.
　　在求解微分方程時(shí)最關(guān)鍵的一步是求積分，即微分方程求解出的最終形式用初等函數(shù)表示出來(lái)，但是也不勉強(qiáng)從其中求出解的顯示表達(dá)式.因此從微分方程求解的意義上講，最終留下的是一個(gè)積分問(wèn)題，而不是一個(gè)方程問(wèn)題.因此如何求解函數(shù)的積分成為至關(guān)重要的步驟.
　　1.求解積分的一般方法
　　1）對(duì)于一些基本的初等函數(shù)，熟記這些函數(shù)的積分公式表，比如：三角函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等一些基本的函數(shù)的公式，可以直接積分.
　　2）換元積分法，可以利用三角函數(shù)代換或者導(dǎo)數(shù)代換之類的.
　　3）分部積分法：
　?、倬哂行问?蘩x■e■dx;?蘩x■a■dx;?蘩x■sinxdx;?蘩x■cosxdx（k為正整數(shù)），甚至形如
　　?蘩p（x）e■dx;?蘩p（x）a■dx;?蘩p（x）sinbxdx;?蘩p（x）cosbxdx
　?。╬（x）為多項(xiàng)式）這類積分，先積指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù).
　?、诰哂行问?br/>　　?蘩x■lnxdx;?蘩x■loga■dx;?蘩x■arcsinxdx;?蘩x■arccosxdx;?蘩x■arctanxdx;?蘩x■arccotxdx（k為正整數(shù)或0），
　　甚至形如
　　?蘩p（x）lnbxdx;?蘩p（x）loga■dx;?蘩p（x）arcsinbxdx;?蘩p（x）arccosbxdx;?蘩p（x）arctanbxdx;?蘩p（x）arccotbxdx
　　這類積分，先積x■或者p（x）.
　　4）對(duì)于形如?蘩■和?蘩■dx（a■-4b＜0）
　　這兩種類型的積分，有：
　　?蘩■=ln|x-a|+C，k=1■+C，k＞1
　　?蘩■dx，令t=x+■進(jìn)行代換即可.
　　5）對(duì)于形如三角函數(shù)有理式?蘩R（sinx，cosx）dx的積分，可以通過(guò)萬(wàn)能代換式t=tan■，轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分.
　　6）對(duì)于形如?蘩R（x，■）dx（ad-bc=0）無(wú)理根式的積分，令t=■
　　轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分；
　　形如
　　?蘩R（x，■）dx（a＞0，b■-4ac≠0;a＜0，b■-4ac＞0）
　　先將里面的一元二次方程配方，轉(zhuǎn)化為形如這三種類型的方程：
　　?蘩R（m，■）dm;?蘩R（m，■）dm;?蘩R（m，■）dm
　　再利用三角代換，分別令m=ntant，m=nsect，m=nsint，將它們轉(zhuǎn)化為三角有理式的不定積分.
　　2.求解積分的特殊方法
　　1）對(duì)于有些有理函數(shù)的積分，如果其分母在實(shí)數(shù)域內(nèi)是個(gè)不可約多項(xiàng)式，則可以利用復(fù)變函數(shù)里面的留數(shù)理論討論.先找被積函數(shù)的輔助函數(shù)，通常有■和lnz這兩種類型，并求出它的支點(diǎn)；再避開(kāi)支點(diǎn)作復(fù)圍線，判斷復(fù)圍線有沒(méi)有幾點(diǎn)，然后利用柯西積分定理和留數(shù)定理討論積分等式；最后分別討論積分等式兩邊的積分即可.
　　2）當(dāng)函數(shù)的分子、分母都含有sinx，cosx，并且次數(shù)都為一次時(shí)，可以用待定系數(shù)法求積分.
　　3）對(duì)于可以用分部積分法求解的不定積分?蘩g（x）h（x）dx，如果化簡(jiǎn)到后面還是比較繁瑣，則此時(shí)可以運(yùn)用“平行微積分法”求解.首先確定哪個(gè)微分g（x），h（x）哪一個(gè)積分；其次，比如此時(shí)設(shè)求g（x）的微分，那表示如下：
　　g（x）+h（x），g■（x）-h■（x），g■（x）+h■（x），…，g■（x）-h■（x），g■（x）+h■（x）
　　其中g(shù)■（x）是g■（x）求導(dǎo)數(shù)得來(lái)的，h■（x）是h■（x）求積分得來(lái)的.最后，直接可以得出結(jié)果，即
　　?蘩g（x）h（x）dx=g（x）h■（x）-g■（x）h■（x）+…+（-1）■g■（x）h■（x）+…+（-1）■g■（x）h■（x）+（-1）■?蘩g■（x）h■（x）dx
　　需要注意的是：（?。┓?hào)一直是正負(fù)號(hào)相間隔的；（ⅱ）如果?蘩g■（x）h■（x）dx是否容易求出，若可以直接求出，就不需要再繼續(xù)對(duì)g■（x）求導(dǎo)數(shù)和h■（x）求積分.
　　4）如果被積函數(shù)f（x）較復(fù)雜，可以將其分解為若干個(gè)函數(shù)的線性組合，即f（x）=m■f■（x）+m■f■（x）+…+m■f■（x），m■為實(shí)數(shù)，f■（x）是較容易求出的被積函數(shù)，那此時(shí)
　　?蘩f（x）dx=m■?蘩f■（x）dx+m■?蘩f■（x）dx+…+m■?蘩f■（x）dx
　　此時(shí)原來(lái)函數(shù)的積分就轉(zhuǎn)化為n個(gè)容易求積分的被積函數(shù)的線性組合了.
　　3.小結(jié)
　　求積分在數(shù)學(xué)分析里是至關(guān)重要的，同時(shí)也為專業(yè)教學(xué)提供可靠的教學(xué)工具和解決問(wèn)題的手段。積分學(xué)掌握的情況不僅直接影響到該課程本身的學(xué)習(xí)，而且影響到其他相關(guān)學(xué)科，比如常微分方程，在微分方程里求積分也是很非常關(guān)鍵的步驟，順利地求解函數(shù)的積分對(duì)于解決問(wèn)題有很大的幫助.因此對(duì)求積分的方法研究和歸納具有很重要的意義.
　　
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