波達方向估計的一種改進SVD算法

摘 要：本文主要研究智能天線算法中的關鍵技術波達方向估計（DOA）。針對相干信號源的信號子空間與噪聲子空間相互滲透，導致空間協(xié)方差矩陣缺秩從而經(jīng)典算法失效的問題，本文基于奇異值分解（SVD）算法，提出了一種改進的SVD算法。該算法利用入射信號矩陣的最大特征向量元素包含所有入射信號信息的性質(zhì)，進行矩陣重構，并對重構矩陣進行特征值分解得到噪聲子空間和信號子空間，最后利用經(jīng)典譜估計算法得到相干信源的入射方向。仿真試驗結果表明改進SVD算法性能優(yōu)于原始算法。

關鍵詞：波達方向估計 多重信號分類算法 矢量奇異值算法

中圖分類號：TN929.5 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）06（a）-0007-03

An improved SVD characteristic spectral estimation algorithm in

Direction of Arrival Estimation

Zhang Yuyi

（Shanghai Aircraft Design And Research Institute， ShangHai，201210， China）

Abstract：The paper mainly studied the key technologies of smart antenna algorithm called direction of arrival estimation（DOA）. The rank’s lack of spatial covariance matrix caused by the mutual penetration of the coherent source signal subspace and noise subspace lead to the failure of the classic algorithm.T/cc9fRIxc4mrjWgQmJqocVRqLuJUFJ1Mz2dvvthUkP8=he paper provided an improved singular value decomposition （SVD） algorithm based on the classical SVD algorithm.As the maximum eigenvector of the incident signal matrix contains full information of the the incident signal，the reconstructed matrix of incident signal can be decomposed into noise subspace and signal subspace in order to obtain the incident direction of coherent sources using classic spectral estimation algorithm. Experimental simulation shows the performance of the new algorithm is better than the original algorithm.

Key Words：DOA；multiple signal classification algorithm；SVD algorithm

移動通信逐漸成為現(xiàn)代通信的主要方式，但頻譜資源隨著用戶的增多而日益匱乏，無線信道的傳輸環(huán)境導致的信號衰減、衰落和時延擴展也嚴重影響了通信質(zhì)量。針對上述問題，智能天線技術旨在用有限的頻譜資源容納盡可能多的用戶。智能天線的基本工作原理就是根據(jù)接收信號自動調(diào)節(jié)天線接受陣列的幅度和加權值，從而達到最佳的發(fā)射和接收效果。

作為智能天線技術的基礎，基于特征結構的空間譜估計經(jīng)典算法有MUSIC算法[1]、ESPRIT[2]算法等。由于MUSIC算法和ESPRIT算法在最優(yōu)化的建立過程中，要求信號的自相關矩陣要有正定性，即信號在空間中是非相干的，因此經(jīng)典的MUSIC算法和ESPRIT算法對相干信號都沒有很好的分辨能力。學者為此進行了廣泛研究[3～7]。

本文主要介紹空間譜估計的系統(tǒng)結構模型和算法模型，針對無線環(huán)境中經(jīng)常出現(xiàn)的相干信號源的問題，在研究常用解相干算法的基礎上，提出了一種改進的SVD算法，并通過仿真實驗進行驗證，證明該算法相對傳統(tǒng)算法具有優(yōu)越性。

1 相干信號源接收信號模型

由于信號傳播的復雜環(huán)境，若建立嚴格的數(shù)學模型需要提供物理環(huán)境的完整描述，不利于信號算法性能的研究，故本文使用的是簡化信號模型。

假設信號源是窄帶信號，那么窄帶信號的復包絡可以表示為：

（1）

則到達天線處的接收信號為：

（2）

其中，為接收到的第個信號源的幅值；為接收信號的相位信息；為信號的延遲；為接收信號的頻率，。

假設信號源是窄帶遠場的，它入射到各個陣元上的時間延遲可以等效為信號復包絡信號的相位偏差，而幅度變化可以忽略不計，則式（2）可改寫為：

（3）

假定有個距陣元較遠的的窄帶信號入射到陣元數(shù)為的陣列上，第個陣元的接收信號可表示如下：

（4）

其中，為第個陣元作用于第個信號的增益；為第個陣元工作于時間的噪聲；為第個信號在傳播到第個陣元的時間延遲。

假設陣列之間每個陣元是相互同性且不存在互耦性等其他因素的影響，那上式中的增益可忽略（也就是歸一化成1），并將個陣元接收的窄帶信號有序的排列成一個列向量，可表示如下：

（5）

個相干信號源的表達式就是相差一個復常數(shù)，可如下表示：

（6）

將上式代入（5）可得到相干信號源情況下簡化的接收信號模型：

（7）

2 相干信號源譜估計算法

MUSIC算法是一種經(jīng)典信號譜估計算法，其思想是利用對任意陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進行特征值分解獲得兩個相互正交的子空間，即與信號分量相對應的信號子空間以及與信號分量正交的噪聲子空間，并利用兩個子空間進行譜峰搜索獲取最大功率時對應的角度，即信號的入射方向。

本節(jié)先簡單介紹SVD算法，并在此基礎上提出一種改進的SVD算法，獲取信號子空間和噪聲子空間后，再利用MUSIC譜估計算法得到接收信號的入射角度信息。

2.1 矢量奇異值SVD算法

在接收信號模型中假設噪聲協(xié)方差矩陣是滿秩矩陣，則有下式成立：

（8）

其中，1≤≤，記為特征矢量，記為線性組合因子，。當噪聲協(xié)方差矩陣是理想白噪聲時，式（8）可化簡為：

（9）

信號完全相干即時，則式（9）左邊只有最大特征矢量對應的特征矢量：

（10）

上式說明最大特征矢量包含所有信號的信息，因此利用最大特征矢量的元素來進行矩陣重構從而實現(xiàn)解相干，構造矩陣如下：

（11）

式中，，，。對進行奇異值分解有：

（12）

其中，為一個的由奇異值所組成的矩陣；為右奇異值矩陣；為左奇異值矩陣，那理想情況下矩陣的非零奇異值有個，也就是小奇異值對應的左奇異值矩陣中的矢量組成的空間即為噪聲子空間，非零奇異值對應的矢量即是信號子空間。

2.2 改進的SVD算法

在接收信號模型中取出接收信號的協(xié)方差矩陣的最大特征值對應的特征矢量，即最大特征值向量為：

（13）

利用陣列接收數(shù)據(jù)及其共軛信息，可以設第一個特征向量，第二個特征向量，第個特征向量分別為：

（14）

（15）

（16）

取作為參考元素，將參考元素與取共軛對稱后的特征向量分別計算相關函數(shù)：

（17）

當由變?yōu)闀r，即可得到的相關矢量為，且滿足：

（18）

重新構造矩陣：

（19）

其中，即取共軛轉置，得到的是階的共軛對稱矩陣。

對奇異值分解，，得到的，分別為左右奇異值矩陣，是奇異值構成的矩陣，通常理想環(huán)境條件下奇異值的數(shù)目是，大奇異值對應的大特征矢量可以構成信號子空間，而小奇異值對應的小特征矢量可以構成噪聲子空間，利用MUSIC算法進行譜峰搜索就能夠估計出信源的來波到達方向。

改進的奇異值分解法利用最大特征向量的元素包含所有入射信號的信息的性質(zhì)，將最大特征向量的各個元素進行有規(guī)律的取共軛對稱，并與參考元素（此處取最大特征向量的第一個元素）進行相關，得到其相關函數(shù)，并對得到的相關函數(shù)進行矩陣重構，從而得到共軛對稱矩陣，然后通過對重構的共軛對稱矩陣進行特征值分解，即可得到噪聲子空間和信號子空間，從而得到相干信源的入射方向。

3 性能分析

3.1 SVD、改進SVD算法分辨力比較

假設一均勻線陣，相干信號源，陣元間距，陣元數(shù)，信號源入射角度分別為20°、40°，數(shù)據(jù)快拍數(shù)為1000。

從圖1和圖2可知，改進后的SVD算法在低信噪比情況下仍具有良好性能，當信噪比為時，兩算法能清晰分辨信號源；當信噪比為-10 dB時，SVD算法已經(jīng)無法有效分辨，改進SVD算法仍有良好性能。

4.2 SVD、改進SVD算法成功率比較

假設一均勻線陣，相干信號源，陣元間距，陣元數(shù)，信號源入射角度分別為、、，數(shù)據(jù)快拍數(shù)為1000，圖3，圖4分別在信噪比為0 dB與-10 dB的情況下試驗。

在不同信噪比下進行500次實驗，我們可以得到本文提出的改進的奇異值算法有以下特點。

（1）圖3看出，改進SVD算法有很小估計偏差。

（2）在低信噪比情況下有很優(yōu)異的性能，從圖4中可以看出在低信噪比情況下改進SVD算法的分辨成功概率遠遠高于SVD算法。當信噪比為時，新算法基本上可以達到百分百的成功概率。

4 結論

矢量奇異值（SVD）解相干是通過犧牲陣列的有效孔徑獲得的，適合高信噪比場合。為了改善矢量奇異值分解算法性能，本文提出了一種改進的奇異值分解算法。該算法利用奇異值分解法中的最大特征向量，對其進行重新計算，構造了具有Toeplitz性質(zhì)的相關矩陣，從而使改進后的SVD算法在低信噪比情況下仍具有很好的穩(wěn)定性和分辨力及很小的估計偏差。研究結果表明，改進的SVD算法性能明顯優(yōu)于SVD算法。

本文所介紹的解相干算法只適合等間距均勻線陣，對于一些特殊的天線陣列，需要經(jīng)過一些預處理才能應用本章所介紹的算法。

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