理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)， 從數(shù)學(xué)概念入手

摘 要： 數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓，也是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，在教學(xué)中具有舉足輕重的作用。本文在分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)局限性的基礎(chǔ)上，對(duì)概念的引入、形成、鞏固等方面進(jìn)行了深入的研究。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)概念 概念教學(xué) 本質(zhì)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的原則，逐步讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的理解。由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重體現(xiàn)重要概念的來(lái)龍去脈，因此，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。

長(zhǎng)期以來(lái)，由于受應(yīng)試教育的影響，不少數(shù)學(xué)教師仍然沒(méi)有轉(zhuǎn)變觀念。課堂上比較重視解題訓(xùn)練，輕視概念教學(xué)，造成解題與概念脫節(jié)，使學(xué)生對(duì)概念理解含混不清，一知半解，從而不能靈活地運(yùn)用概念解決實(shí)際問(wèn)題。還有些教師僅僅把數(shù)學(xué)概念看作一個(gè)名詞而已，概念教學(xué)就是對(duì)概念作解釋，要求學(xué)生記憶，而沒(méi)有看到像函數(shù)這樣的概念，本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。事實(shí)上，這嚴(yán)重影響了學(xué)生思維的發(fā)展和能力的提高，并且這與新課程大力提倡的培養(yǎng)學(xué)生合作探究能力與創(chuàng)新精神嚴(yán)重背離。那么在新課標(biāo)下如何幫助學(xué)生更好、更深刻地理解數(shù)學(xué)概念，如何引導(dǎo)學(xué)生靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決實(shí)際問(wèn)題呢？

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般分為三個(gè)階段：①引入概念，使學(xué)生感知概念，形成表象；②通過(guò)分析、抽象和概括，使學(xué)生理解和明確概念；③通過(guò)例題、習(xí)題使學(xué)生鞏固和應(yīng)用概念。

一、優(yōu)化概念的引入，激發(fā)學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當(dāng)，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為學(xué)生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過(guò)程，實(shí)際上是揭示概念的發(fā)生和形成過(guò)程，而各個(gè)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生形成過(guò)程又不盡相同，有的是現(xiàn)實(shí)模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)一次或多次抽象后得到的；有的是從數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要中產(chǎn)生的；有的是為解決實(shí)際問(wèn)題的需要而產(chǎn)生的；有的是將思維對(duì)象理想化，經(jīng)過(guò)推理而得到的；有的則是從理論上的存在性或從數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造產(chǎn)生的。因此，教學(xué)中必須根據(jù)各種概念的產(chǎn)生背景，結(jié)合學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)剡x取不同的方式去引入概念。一般來(lái)說(shuō)，概念的引入可以采用如下幾種方式。

1.以現(xiàn)實(shí)原型引入。

中學(xué)許多數(shù)學(xué)概念來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，對(duì)于這一類概念，可引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中的事例，觀察有關(guān)實(shí)物、圖式、模型，在具有充分感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引入概念。如在《圓的認(rèn)識(shí)（1）》的教學(xué)中可以這樣引入。

師：我們都看到過(guò)車輪，那么車輪都是……

生：（一起回答）圓的。

師：那為什么將它做成圓的？做成方的行嗎？

生1：圓的好滾動(dòng)呀！如果做成方的，汽車沒(méi)辦法行駛。

師：那能做成“扁圓”的嗎？這種形狀也能滾呀？

（大部分學(xué)生始料不及，他們感覺(jué)有意思，開始思考。一會(huì)兒，很多學(xué)生舉起了手。）

生2：這樣做的汽車開起來(lái)不穩(wěn)定，否則車上的乘客就會(huì)上下顛簸，那這樣的汽車誰(shuí)敢坐。（該生膽量比較大，還模仿一下，這時(shí)滿堂大笑。）

師：那怎樣才能穩(wěn)定呢？

生：（一起回答）做成半徑相等的。

通過(guò)這樣的引入，學(xué)生由生活中車輪“能滾動(dòng)”進(jìn)入“滾動(dòng)得平穩(wěn)”的思考中來(lái)。經(jīng)過(guò)這樣恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，他們就會(huì)積極地參與到圓的概念，圓的半徑、直徑、圓心等概念的學(xué)習(xí)中來(lái)。

其實(shí)，這樣的例子在我們的教材中比比皆是，需要教師去觀察、提煉生活中的素材。比如，通過(guò)說(shuō)明現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的具有相反意義的量，引出正、負(fù)數(shù)的概念。在提供日常生活中各種對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，引入“函數(shù)”的概念。事實(shí)上，適當(dāng)?shù)芈?lián)系現(xiàn)實(shí)原型，可以豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，有助于他們理解數(shù)學(xué)概念，也有助于他們將客觀現(xiàn)實(shí)材料和數(shù)學(xué)知識(shí)融為一體，實(shí)現(xiàn)“生活數(shù)學(xué)化”，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的眼光看待生活問(wèn)題的能力。

2.以已有概念引入。

從新概念的形成背景看，有的數(shù)學(xué)概念具有清晰的現(xiàn)實(shí)背景或直觀模型，有的則產(chǎn)生于已知的相對(duì)初級(jí)的概念基礎(chǔ)上。對(duì)于后者，常根據(jù)新舊概念的聯(lián)系，可采用相應(yīng)的模式引入。

（1）從種概念引入類概念。

在概括程度較高的舊概念基礎(chǔ)上，添加新的屬性，通過(guò)邏輯推演，直接引入新概念，平面幾何中的概念多數(shù)屬于這種情況。比如，在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加“有一個(gè)角是直角”的屬性，便得到“矩形”的概念；在三角形的基礎(chǔ)上增加“兩邊相等”引入“等腰三角形”的概念等。

（2）采用對(duì)比方法引入。

對(duì)比方法是對(duì)于兩種不同的對(duì)象，按照某些特性，根據(jù)它們的相似點(diǎn)或區(qū)別之處引入新概念。例如，分式的有關(guān)概念通過(guò)分?jǐn)?shù)相應(yīng)概念引入；相似三角形概念可以從全等三角形概念中抽去各邊相等這個(gè)屬性來(lái)引入。

（3）利用逆反關(guān)系引入。

有時(shí)也可根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念。逆反關(guān)系包括：逆運(yùn)算、逆反性問(wèn)題等。逆運(yùn)算關(guān)系如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)等。逆反性問(wèn)題如已知解析式畫圖形，已知圖形求解析式等。

（4）運(yùn)用概念的推廣引入。

概念的推廣是從特殊到一般的發(fā)展過(guò)程，它也體現(xiàn)了概念之間的聯(lián)系。如，數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程就是逐漸推廣的過(guò)程。

3.以數(shù)學(xué)問(wèn)題引入。

通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題引入概念，可以充分說(shuō)明學(xué)習(xí)新概念的必要性，有助于產(chǎn)生認(rèn)識(shí)需求，明確認(rèn)識(shí)任務(wù)。這里的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般來(lái)自于生活實(shí)際，或者是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。例如，在學(xué)習(xí)“乘方”的概念時(shí)，可以提出下面的問(wèn)題引入課題：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，8個(gè)分裂成16個(gè)……依次下去1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂n次后，最后有幾個(gè)細(xì)胞？又如，學(xué)習(xí)“正數(shù)、負(fù)數(shù)”時(shí)，生活中有些量不夠減，引入負(fù)數(shù)概念。

4.以數(shù)學(xué)故事引入。

學(xué)生往往對(duì)歷史故事和歷史人物感興趣，教學(xué)中，教師可以結(jié)合概念適當(dāng)引入一些數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如講實(shí)數(shù)的概念時(shí)，教師可以介紹古希臘畢式學(xué)派的故事，使學(xué)生在輕松的氣氛中接受無(wú)理數(shù)的概念。

5.動(dòng)手操作引入。

新課程理念要求學(xué)生自主合作探究的學(xué)習(xí)方式。因此在概念學(xué)習(xí)時(shí)，可多讓學(xué)生親自動(dòng)手試一試，在實(shí)驗(yàn)中得出結(jié)論。如在“直棱柱的表面展開圖”、“三視圖”學(xué)習(xí)時(shí)，讓學(xué)生用紙自做模型，然后用剪刀剪一剪，做一做，或從家里帶肥皂塊、土豆塊等易切割的東西，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)操作，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的“演習(xí)”。實(shí)踐過(guò)程中發(fā)現(xiàn)課堂的氣氛非常活躍，就算是平時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較冷漠的學(xué)生也積極地參與到活動(dòng)中來(lái)，他們非常容易地跨越了空間想象的難關(guān)。

6.以多媒體教學(xué)手段引入。

對(duì)于抽象的概念教學(xué)，教師可以充分利用多媒體的優(yōu)勢(shì)，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以刺激學(xué)生的多種感官，由形象直觀的認(rèn)識(shí)提高為抽象的概括，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀的形式出現(xiàn)，從而突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。如在學(xué)習(xí)“直線、射線、線段”概念時(shí)，先用課件播放一些圖片（運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽場(chǎng)景、天空中的流星、激光、筆直的鐵軌、輸電線、探照燈的燈光等），再用動(dòng)畫演示，展示直線、射線、線段的形成過(guò)程，然后師生互動(dòng)，在討論交流中詳細(xì)地比較線段、射線、直線的概念。

7.直接引入。

有些概念，是用揭示概念外延的方法給出的定義，這樣的概念比較具體，學(xué)生易于接受，容易理解，在教學(xué)中就不必轉(zhuǎn)彎抹角，開門見山引入效果可能更好。例如，“兩邊相等的三角形是等腰三角形”等概念就可以直接提出。還有些基本概念，如點(diǎn)、直線、平面等可用公理化方法定義的概念，我們都可以直接提出。

概念的引入方式很多，這些方式要靈活選取，有時(shí)還可以交叉使用。但不管采用什么方式，必須注意以下幾個(gè)原則：一是材料的選取要確切，要突出概念的本質(zhì)特征；二是緊扣學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；三是盡可能聯(lián)系學(xué)生熟悉的生活實(shí)際；四是能夠引起學(xué)生思考、探索的興趣；五是不要故意繞圈子。

二、透析概念的形成，發(fā)展學(xué)生的思維

引入階段提供的生活實(shí)例或觀察材料是形成概念的毛坯，接下來(lái)便是去粗存精、由表及里的思維加工階段，其主要任務(wù)是通過(guò)抽象化、形式化來(lái)掌握概念的內(nèi)涵，廓清概念的外延。這一步是形成概念思維活動(dòng)過(guò)程中關(guān)鍵的一步。數(shù)學(xué)教學(xué)通常經(jīng)過(guò)下列環(huán)節(jié)達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。

1.加強(qiáng)概念的理解，明確概念的內(nèi)涵。

引入概念僅是概念教學(xué)的第一步，概念的理解才是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。因此，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性，教學(xué)中可采用以下具有針對(duì)性的方法。

（1）抓要點(diǎn)，明本質(zhì)。

挖掘概念的內(nèi)涵與外延，抓住其本質(zhì)，使學(xué)生不僅知其然，更知其所以然。以直角三角形中正弦函數(shù)為例進(jìn)行剖析，正弦函數(shù)涉及比的定義、角的大小、點(diǎn)的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識(shí)，其中“比”是這一概念的本質(zhì)特征。為了突出這個(gè)比值，引導(dǎo)學(xué)生思考：①正弦函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)“比”，這個(gè)比是∠α的對(duì)邊與斜邊的比值；②在角α的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），那么這個(gè)比就是

③這個(gè)比值隨的∠α大小確定而確定，與∠α的對(duì)邊與斜邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)；④由于對(duì)邊小于斜邊，因此這個(gè)比值不超過(guò)1。經(jīng)過(guò)對(duì)正弦概念的本質(zhì)屬性分析后應(yīng)指出：直角三角函數(shù)有六個(gè)，這便是三角函數(shù)的外延，而在初中我們僅學(xué)習(xí)其中的三個(gè)（正弦、余弦、正切）。

在幾何中，很多概念的詞語(yǔ)表述比較長(zhǎng)，這時(shí)可以對(duì)其加工分解，明確要點(diǎn)；還有些概念只需望“名”就能生“義”，就能明確要點(diǎn)，這樣操作也便于記憶。例如，學(xué)習(xí)“線段的垂直平分線”概念時(shí)，在原來(lái)知識(shí)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生分開理解“垂直”、“平分”的含義，就能抓住它的三個(gè)要點(diǎn)：（1）它是一條直線；（2）這條直線過(guò)線段的中點(diǎn)；（3）這條直線垂直于這條線段。

（2）恰當(dāng)運(yùn)用反例。

概念教學(xué)中，除了從正面去揭示概念的內(nèi)涵外，還應(yīng)考慮運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|(zhì)屬性，尤其是讓學(xué)生通過(guò)比較正例與反例的差異，對(duì)自己出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，更利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。

用反例去突出概念的本質(zhì)屬性，實(shí)質(zhì)是使學(xué)生明確概念的外延，從而加深對(duì)概念內(nèi)涵的理解。凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象必屬于該概念的外延集，而反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對(duì)象，顯然，這是概念教學(xué)中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)，防止過(guò)難、過(guò)偏，造成學(xué)生注意力分散，而達(dá)不到突出概念本質(zhì)屬性的目的。

（3）合理運(yùn)用變式。

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意運(yùn)用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質(zhì)屬性。一般來(lái)說(shuō)，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

如，學(xué)習(xí)了“對(duì)頂角”概念后，為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“對(duì)頂角”的本質(zhì)特征，教師可以出示一些圖形，讓學(xué)生判斷一下它們是否是對(duì)頂角。

又如，在學(xué)三角形的高這一概念時(shí)，可以向?qū)W生呈現(xiàn)一些在形狀、位置等方面有差異的不同三角形（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形）的例子，讓他們通過(guò)對(duì)這幾種典型變式的思維加工、抽象概括出“三角形的高”的定義。

（4）抓對(duì)比，促鑒別。

“有比較才有鑒別”，數(shù)學(xué)的各種知識(shí)要讓學(xué)生在比較中去思考、去認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)的一些概念和規(guī)律，理論性較強(qiáng)而且比較抽象，如果把它與學(xué)生熟悉的（已知的）相關(guān)實(shí)體（事物）進(jìn)行比較，從中理解概念、掌握規(guī)律，學(xué)生就會(huì)對(duì)它產(chǎn)生極大興趣，就會(huì)主動(dòng)思考。如關(guān)于“軸對(duì)稱圖形”和“軸對(duì)稱”這兩個(gè)概念學(xué)生較難理解，但通過(guò)讓學(xué)生觀察常見的汽車標(biāo)志，如奔馳、大眾、桑塔納，商標(biāo)如工行、農(nóng)行等，看到它們共同的性質(zhì)：沿某條直線翻折，左右兩邊能夠完全重合，這樣就容易理解軸對(duì)稱概念。同樣讓學(xué)生們觀察天上的月亮和水中的月亮，每人的兩只手，中國(guó)民間的窗紙、剪紙，發(fā)現(xiàn)：一個(gè)圖形沿某條直線翻折，與另一個(gè)圖形完全重合，得到“兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”。于是有：

反過(guò)來(lái)如果把一個(gè)圖形直線兩旁部分看成兩個(gè)圖形，那么它們成軸對(duì)稱，把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么它就成了軸對(duì)稱圖形，這樣就使學(xué)生對(duì)這兩個(gè)難懂的概念有了透徹的理解。

用對(duì)比或類比理解新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內(nèi)涵，防止舊概念對(duì)學(xué)習(xí)新概念產(chǎn)生的負(fù)遷移的影響。

（5）究錯(cuò)因，促理解。

嘗試錯(cuò)誤即學(xué)生從正面接觸概念后，教師從概念的反面有針對(duì)性地創(chuàng)設(shè)一種錯(cuò)誤的情境，引導(dǎo)學(xué)生深入到這種特定的情景中，運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去分析錯(cuò)因，去嘗試矯正。如，學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的概念后學(xué)生經(jīng)常把，0.1010010001，0.1010101010，……當(dāng)作無(wú)理數(shù)。究其錯(cuò)誤原因，主要是由于學(xué)生沒(méi)有弄清楚無(wú)理數(shù)的“無(wú)限不循環(huán)”的本質(zhì)屬性，要求教師引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)所設(shè)計(jì)的圈套，然后引導(dǎo)學(xué)生去找錯(cuò)、糾錯(cuò)，這樣更有利于學(xué)生對(duì)概念的理解，讓學(xué)生在反思提高對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解能力。

2.正確使用符號(hào)，減少概念的謬誤。

用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示數(shù)學(xué)概念，既是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念本身就十分抽象，加上用符號(hào)表示，從而使概念更抽象化，因而在概念教學(xué)中真正使學(xué)生掌握概念符號(hào)的意義，顯得尤為重要。在實(shí)際教學(xué)中要防止兩種脫節(jié)：一是概念與實(shí)際對(duì)象脫節(jié)；二是概念與符號(hào)脫節(jié)。后一種脫節(jié)很容易使概念與所反映的對(duì)象的內(nèi)容脫節(jié)而產(chǎn)生錯(cuò)誤。例如，學(xué)生不理解根號(hào)及運(yùn)算次序，從而得出如下的錯(cuò)誤等式：=5+12=17。

因此，為了避免概念和符號(hào)脫節(jié)，在教學(xué)中必須解決好“語(yǔ)言文字”與“數(shù)學(xué)符號(hào)、式子”之間的互譯問(wèn)題，讓學(xué)生把代表某一概念的數(shù)學(xué)符號(hào)與概念內(nèi)涵直接掛鉤。

3.明確概念間的聯(lián)系，深化概念的理解。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)單元，概念之間的聯(lián)系則形成了教學(xué)內(nèi)容體系的框架結(jié)構(gòu)。它們之間有著密切的內(nèi)部聯(lián)系，把個(gè)別概念放在概念的相互聯(lián)系中來(lái)教學(xué)，有助于揭示概念的本質(zhì)。

在既定的課程中，概念之間的各種關(guān)系是課程設(shè)計(jì)者計(jì)劃安排好的，而對(duì)教材的分析者（教師和學(xué)生）來(lái)說(shuō)，概念體系隱沒(méi)在知識(shí)內(nèi)容之中，分析者要通過(guò)自己的整理使之明朗化。

概括起來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中概念間的聯(lián)系有以下幾種：

（1）具有屬種關(guān)系的概念群。

具有屬種關(guān)系的概念，可用一種邏輯鏈將它們連接起來(lái)，這樣便于學(xué)生理解和記憶。比如，四邊形→平行四邊形→矩形→正方形；算術(shù)數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)……

（2）具有并列關(guān)系的概念群。

有些概念之間存在某種潛在的聯(lián)系，并從屬于某個(gè)概念程度更高的概念，我們稱這類概念具有并列關(guān)系。比如，正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式；直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形……這些概念學(xué)習(xí)可以相互類比，應(yīng)用時(shí)有時(shí)還可相互轉(zhuǎn)換。

（3）成群組關(guān)系的概念群。

成群組關(guān)系的概念群，其中有一個(gè)是核心概念，其他是從不同角度解釋和烘托這個(gè)核心概念的附屬概念。如，圍繞“圓”的附屬概念有“圓心”、“半徑”、“直徑”、“弧”、“弦”；與“乘方”有關(guān)的概念有“冪”、“底數(shù)”、“指數(shù)”等。

明確概念間的各種聯(lián)系，我們就可以用“網(wǎng)絡(luò)圖”將教材中隱性概念體系結(jié)構(gòu)顯性化，這樣直觀地展示概念間的相互聯(lián)系，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、重視概念的鞏固，拓展學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)概念多而抽象，容易混淆或遺忘。學(xué)生對(duì)概念的掌握也不是一次就能完成的，需要由具體到抽象，再由抽象到具體的多次反復(fù)。所以理解概念后還要幫助學(xué)生及時(shí)地鞏固概念，熟記概念，需要教給他們一些鞏固的方法。

1.學(xué)習(xí)記憶的方法，提高記憶的效率。

（1）理解記憶法?！叭粢涀?，必先理解”，也被教學(xué)實(shí)踐所證明了的。凡是學(xué)生囫圇吞棗地記住的概念，不久就會(huì)忘記；而凡是理解的概念，則往往記得比較牢固。在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生一定要理解所學(xué)概念的內(nèi)涵，使所學(xué)的概念與自己頭腦的原有概念體系建立多方面的聯(lián)系，使其達(dá)到理解記憶的水平。在概念學(xué)習(xí)時(shí)，不僅要使概念成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的直接對(duì)象，而且要使形成這些概念的思想和方法也成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的對(duì)象。

（2）系統(tǒng)記憶法。數(shù)學(xué)概念間有一定的系統(tǒng)性，內(nèi)在聯(lián)系非常緊密。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中能有計(jì)劃地將這些概念進(jìn)行及時(shí)整理，使其組織化、結(jié)構(gòu)化、邏輯化，形成一個(gè)系統(tǒng)，就便于記憶。上面已經(jīng)談到了概念間的聯(lián)系，讓學(xué)生明確它們之間的聯(lián)系，并通過(guò)分析后納入自己概念體系中，可以大大減少記憶量，也容易長(zhǎng)久記憶。

（3）形象記憶法。在概念學(xué)習(xí)中，有些抽象的概念和圖形能夠直接聯(lián)系。由于圖形直觀形象在記憶中一般比較清晰穩(wěn)定，便于記憶。如數(shù)學(xué)中的幾何概念基本上都可以畫出圖形，用圖形進(jìn)行記憶效果非常好，這已為實(shí)踐所證實(shí)。

2.靈活地運(yùn)用概念，發(fā)揮概念的作用。

學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。教學(xué)中主要是通過(guò)練習(xí)達(dá)到運(yùn)用概念的目的，在練習(xí)中可以加深理解和鞏固概念，并利于啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。練習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）練習(xí)的目的要明確。在練習(xí)時(shí)必須明確每項(xiàng)練習(xí)的目的，使每項(xiàng)練習(xí)都突出重點(diǎn)，充分體現(xiàn)練習(xí)的意圖，做到有的放矢，使練習(xí)真正有助于學(xué)生理解新學(xué)概念，有利于發(fā)展學(xué)生的思維。根據(jù)練習(xí)目的不同有如下幾種類型：

①對(duì)比練習(xí)。對(duì)于一些容易混淆的概念等，可以用對(duì)比的方法進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生弄清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。如，學(xué)好“軸對(duì)稱”概念后，可以讓學(xué)生比較一下軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系。

②判別性練習(xí)。學(xué)生學(xué)了某些概念后，可出一些題讓學(xué)生判斷正誤，既有助于概念的鞏固，同時(shí)又能發(fā)展學(xué)生的鑒別能力。如學(xué)了“圓周角”的概念后，讓學(xué)生判斷下圖中的哪些角是圓周角。

③改錯(cuò)練習(xí)。選擇學(xué)生容易出錯(cuò)的實(shí)例，讓學(xué)生改正，可使學(xué)生更準(zhǔn)確地掌握概念，提高學(xué)生的鑒別能力。如學(xué)習(xí)“平方根”概念后，讓學(xué)生判斷正誤，④實(shí)際應(yīng)用的練習(xí)。如學(xué)習(xí)了“線段”概念后，同學(xué)們已掌握了數(shù)線段的規(guī)律，并明白在直線上有n個(gè)點(diǎn)，可得到條線段。然后提出：若我們每組4名同學(xué)，每?jī)扇硕嘉找淮问?，共握幾次手？?名同學(xué)呢？n名呢？在此基礎(chǔ)上，你還能聯(lián)想到什么？大家通過(guò)討論交流，聯(lián)想到了實(shí)際生活中的循環(huán)比賽，平面上n個(gè)點(diǎn)可確定線段、射線的條數(shù)，平面上n條直線兩兩相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，還聯(lián)想到角的數(shù)法。

（2）練習(xí)的層次要清楚。鑒于初中生的年齡特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)事物往往不能一次完成，需要一個(gè)逐步深化和提高的過(guò)程。因此練習(xí)時(shí)要按照由簡(jiǎn)到繁、由易到難、由淺入深的原則，逐步增加練習(xí)的難度。

①基本練習(xí)，在剛學(xué)完新課之后的單項(xiàng)的、帶有模仿性的練習(xí)，它可以幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

②發(fā)展練習(xí)，在學(xué)生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的練習(xí)，它可以幫助學(xué)生形成熟練的技能技巧。

③綜合練習(xí)，可以使學(xué)生進(jìn)一步深化概念，提高解題的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，實(shí)現(xiàn)由技能到能力的轉(zhuǎn)化。

3.注重概念的分類，體現(xiàn)概念的價(jià)值。

人類的思維反映和把握客觀世界是通過(guò)概念體系來(lái)進(jìn)行的。概念體系是人類的思維之網(wǎng)，各個(gè)概念是這張思維之網(wǎng)的各個(gè)“紐結(jié)”。教學(xué)時(shí)，應(yīng)闡明概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確概念的從屬關(guān)系，科學(xué)地、系統(tǒng)地分析概念的相互關(guān)系，有助于提高學(xué)生的思維能力。如四邊形認(rèn)知圖式的構(gòu)建，把四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等）的知識(shí)有機(jī)地融合在一起。因?yàn)楣铝⒌亟虒W(xué)概念，將限制概念學(xué)習(xí)的價(jià)值。

通過(guò)以上的研究，我們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是智能發(fā)展的重要因素。加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，既是深化教學(xué)改革的需要，更是培養(yǎng)“智能型”人才和提高全民族數(shù)學(xué)素質(zhì)的需要。

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