凸顯數(shù)學(xué)思維 追求教育本真

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象對稱性的過程，了解函數(shù)奇偶性的概念和圖象特征。

2.讓學(xué)生會(huì)根據(jù)圖象特征和奇偶性定義來判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性。

【教學(xué)重點(diǎn)】

用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性。

【教學(xué)難點(diǎn)】

如何引導(dǎo)學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)對稱點(diǎn)之間坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系過渡到用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性。

【教學(xué)過程】

一、直觀感知函數(shù)圖象對稱特性

師：同學(xué)們，函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)圖象在某一個(gè)區(qū)間上的變化趨勢，即是“上升”還是“下降”的，今天我們從研究函數(shù)圖象的對稱性開始。

（回顧單調(diào)性——從圖形特征和數(shù)量刻畫兩個(gè)方面表示圖象“上升”還是“下降”，為通過圖形特征和數(shù)量刻畫來研究函數(shù)圖象的對稱性做一些思想方法上的準(zhǔn)備。）

師：你能舉出1至2個(gè)例子嗎？

師：你判斷軸對稱圖形和中心對稱圖形的依據(jù)是什么？

生：軸對稱圖形或中心對稱圖形，可以通過折疊或旋轉(zhuǎn)看它是否重合來判斷。

（說明圖象的對稱性是圖象的整體特征，它不同于單調(diào)性，單調(diào)性是研究圖象在某一個(gè)區(qū)間上的變化趨勢。）

學(xué)生邊說邊畫二次函數(shù)y=x2的圖象，圖象畫好后，借助圖形演示圖象是關(guān)于y軸對稱的。

師：在演示中，我們注意到x∈R，如果把x∈R改為x∈[-1，3]，圖象還關(guān)于y軸對稱嗎？

生：橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)在圖象上，而橫坐標(biāo)為-3的點(diǎn)不在圖象上，所以不對稱。

師：綜上所述，我們可以用“折”的辦法判斷圖象是否是對稱圖形，用特殊點(diǎn)來說明圖象不是對稱圖形。可見，函數(shù)圖象的對稱性是函數(shù)圖象的整體特性。

剛才，我們從函數(shù)圖象的角度直觀感知圖形的對稱性，其實(shí)，在日常生活中，我們也觀察到許多對稱現(xiàn)象。比如美麗的蝴蝶、盛開的花朵、六角形的雪花等等（投影顯示圖片）。

你還能舉幾個(gè)日常生活中的例子嗎？

（讓學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)知識(shí)回到現(xiàn)實(shí)生活中，感受現(xiàn)實(shí)生活中充滿著對稱現(xiàn)象。讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)生活，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象的自然學(xué)科，體會(huì)數(shù)學(xué)不是“憑空想象”產(chǎn)生的。）

生：摩天輪、楓樹葉、鐘的表面等。

師：由此可見，研究對稱性具有實(shí)際意義。

已知函數(shù)y=f（x）的圖象是關(guān)于y軸對稱的，如圖，是y=f（x）在y軸右邊的圖象，請同學(xué)們畫出它在y軸左邊的圖象。（生畫圖，師巡視）

師：你是怎樣畫出來的？

生：在y軸右邊的圖象上取幾個(gè)特殊點(diǎn)，作出它們關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再用光滑的曲線把它們連起來。

師：事實(shí)上，圖象是滿足一定條件的點(diǎn)的集合！你能通過1個(gè)、2個(gè)甚至于若干個(gè)點(diǎn)來說明圖象是關(guān)于y軸對稱的嗎？

生：不能！

師：怎么辦？

思考后，有學(xué)生回答：只要把“若干個(gè)點(diǎn)”改為“任意個(gè)點(diǎn)”就可以了。也就是說，如果函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)也在圖象上，那么函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱。（此時(shí)教室里一片掌聲。）

師：這樣的思考方式我們有過嗎？

生：在用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)單調(diào)性時(shí)，我們通過“任意的兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1nvz5yzmNJuft42Y14VbOeNBdjAQG/RHkr4f3+B4/z1M=x1）

二、用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性

師：函數(shù)y=x3+x的圖象是對稱圖形嗎？

生：我取了7個(gè)點(diǎn)：（0，0），（1，2），（-1，-2），（2，10），（-2，-10），（3，30），（-3，-30），觀察發(fā)現(xiàn)它們關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱。所以，我認(rèn)為它的圖象是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的。

（回顧“描點(diǎn)法”作圖，更重要的是想說明“特殊”與“一般”及“存在”與“任意”的關(guān)系，為“若干個(gè)點(diǎn)”到“任意一個(gè)點(diǎn)”做鋪墊。）

師：由特殊到一般是基本的數(shù)學(xué)思想方法，得到的結(jié)論是否正確，還需要驗(yàn)證或證明?，F(xiàn)在，我們借助幾何畫板畫出函數(shù)y=x3+x的圖象，觀察它的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。

（學(xué)習(xí)上遇到困難時(shí)，想想可否借助于現(xiàn)代教育技術(shù)？同時(shí)，也是從“圖形直觀感知”到“數(shù)量刻畫”的銜接，是本節(jié)課思想方法上的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。）

我們還需要“跳出”幾何圖形，從代數(shù)方法上去尋找，即用代數(shù)方法來研究幾何圖形！

請寫出點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)R的坐標(biāo)。

生：點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q（-x0，-y0），點(diǎn)R的坐標(biāo)是R（-x0，y0）。當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）在函數(shù)y=f（x）的圖象上時(shí)，有y0=f（x0），如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么點(diǎn)Q（-x0，-y0）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，得-y0=f（-x0），所以f（-x0）=-f（x0）。反之，由f（x0）=-f（-x0）也能得到函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。

師：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的代數(shù)特征：f（-x0）=-f（x0），其中x0是函數(shù)f（x）定義域中的任意一個(gè)值。如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，類比可得：f（-x0）=f（x0）。

從一個(gè)特殊點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于原點(diǎn)、y軸對稱時(shí)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，類比得到函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)、y軸對稱的“代數(shù)特征”，就形成了函數(shù)奇偶性的概念。

三、構(gòu)建函數(shù)奇偶性的概念

師：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳。如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)。如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f（x）具有奇偶性。奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。

四、深化函數(shù)奇偶性的認(rèn)識(shí)

1.判斷下列函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)。

（1）f（x）=x2-1；（2）f（x）=2x；（3）f（x）=（x-1）2。

生：可以用函數(shù)圖象的對稱特征或函數(shù)奇偶性定義來判斷函數(shù)是否具有奇偶性。（1）是偶函數(shù)；（2）是奇函數(shù)；（3）圖象關(guān)于直線x=1對稱，不關(guān)于y軸對稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以它不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

生：可以用特殊值來說明，因?yàn)閒（1）=0，f（-1）=4，所以（3）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

2.試判斷函數(shù)f（x）=x2+x（其中x∈[-1，2]）是否具有奇偶性。

生：同上題， f（2）=6，而-2不在定義域內(nèi)，所以它不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

師：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有什么特征？

生：由第2題我發(fā)現(xiàn)，2和-2都必須在定義域內(nèi)時(shí)，才有奇偶性。所以，我認(rèn)為a是定義域內(nèi)任意一個(gè)值，-a也應(yīng)該是定義域內(nèi)一個(gè)值。具有奇偶性的函數(shù)，其定義域A關(guān)于數(shù)“0”對稱。定義域關(guān)于數(shù)“0”對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。

師：能給出判斷函數(shù)f（x）是否具有奇偶性的一般步驟嗎？

生：第1步，求出定義域。如果定義域不關(guān)于數(shù)“0”對稱，則函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；如果定義域是關(guān)于數(shù)“0”對稱的，則進(jìn)行第2步；第2步，觀察f（-x）與f（x）的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷出奇偶性。

3.已知函數(shù)f（x）=x2-2x-1，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并畫出函數(shù)的圖象。

生：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又f（-x）=（-x）2-2-x-1=x2-2x-1=f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)。先畫出x>0時(shí)函數(shù)f（x）的圖象，再利用圖象關(guān)于y軸對稱，得到x<0時(shí)函數(shù)f（x）的圖象，進(jìn)而得到整個(gè)函數(shù)f（x）的圖象。

4.課堂鞏固練習(xí)。

五、課時(shí)小結(jié)

函數(shù)還有哪些簡單性質(zhì)呢？以后再學(xué)習(xí)討論，從某種程度上說，其實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)知識(shí)建構(gòu)的過程。我們不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要學(xué)會(huì)如何去建構(gòu)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

【教學(xué)反思】

在教學(xué)“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，我從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生熟悉的生活的現(xiàn)象兩個(gè)角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，按“直觀感知函數(shù)圖象的對稱特性”、“用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性”、“構(gòu)建函數(shù)奇偶性的概念”和“深化對函數(shù)奇偶性概念的認(rèn)識(shí)”四個(gè)環(huán)節(jié)循序漸進(jìn)地組織教學(xué)，并且借助幾何畫板幫助學(xué)生正確理解函數(shù)奇偶性的概念。

教育的本真在于促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。高中數(shù)學(xué)除了它的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性外，在幫助學(xué)生形成理性思維、發(fā)展智力和創(chuàng)新意識(shí)等方面也具有積極作用。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)不等同于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，而是通過揭示、探究數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值。“教”的關(guān)鍵在于立足學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和認(rèn)知能力，促進(jìn)學(xué)生的“學(xué)”，更重要的是通過教師的啟迪、引導(dǎo)、促進(jìn)和幫扶，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

筆者基于對教材內(nèi)容的把握和對學(xué)情的了解，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，精編數(shù)學(xué)問題，以數(shù)學(xué)問題串激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考和探索，師生思維互動(dòng)，情感交流，為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教育價(jià)值打下扎實(shí)基礎(chǔ)。

1.突出學(xué)生主體地位，激發(fā)學(xué)生探索精神。

在一節(jié)課中，學(xué)生的發(fā)展水平來自于其自身的積極思考與主動(dòng)探索，取決于知識(shí)生成、發(fā)展進(jìn)程中參與的深度與廣度。本節(jié)課中，設(shè)置的問題鏈符合“最近發(fā)展區(qū)”理念，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性，在四個(gè)主要教學(xué)環(huán)節(jié)都能積極思考、踴躍回答。在問題的不斷解決且深化過程中形成了熱烈的師生互動(dòng)氛圍，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，感受到愉悅，體驗(yàn)著探究。同時(shí)，學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為自己的學(xué)識(shí)，學(xué)會(huì)構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.重視知識(shí)生成過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。

本節(jié)課以“直觀感知函數(shù)圖象的對稱特性”為開篇，回顧“用‘折’過去看它是否重合”來判斷二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的對稱性，結(jié)合“學(xué)生熟悉的生活中的現(xiàn)象”，從“若干個(gè)點(diǎn)對稱”到“任意個(gè)點(diǎn)對稱”，經(jīng)歷“用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性”的過程，形成了“函數(shù)奇偶性”的概念，概念的形成經(jīng)歷了歸納、辨析、概括、類比的過程。教學(xué)中每個(gè)問題的解決都是在學(xué)生積極思考、分析的情境下，經(jīng)師生進(jìn)一步完善形成的結(jié)論，所以，本節(jié)課中學(xué)生思維量大、采用方法多，突出了數(shù)學(xué)思維。學(xué)生的思維能力在遞進(jìn)問題的探索中得到發(fā)展，情感在互動(dòng)交流中得以升華，知識(shí)在一步步思考中得以豐富。

3.尊重教材，但不囿于教材，重視教材的再處理，拓寬學(xué)生知識(shí)視野。

《標(biāo)準(zhǔn)》是綱要，講什么，講到什么程度，要在課標(biāo)中尋找答案；教材是藍(lán)本，學(xué)生的具體內(nèi)容就在其中。但教材沒有考慮到具體學(xué)情，沒有指出具體的教學(xué)方法，其選例與習(xí)題配備也并非盡善盡美。因而，備課時(shí)教師要根據(jù)學(xué)情、自身教學(xué)風(fēng)格和擬使用的教法，對教材內(nèi)容進(jìn)行必要的加工，以使預(yù)設(shè)的問題和教學(xué)思路更加符合實(shí)際，使學(xué)生能夠得到最大程度的發(fā)展。本節(jié)課沒有完全采用教材中的例題和習(xí)題，也沒有采用教材中的知識(shí)形成過程，而是對其進(jìn)行了一定的增刪和變化，使學(xué)生概念的形成更加自然，對知識(shí)的認(rèn)知更加深刻，思維更加流暢。

（作者單位：江蘇省張家港市沙洲中學(xué)）