新理念下中考數(shù)學(xué)試題的變化

【摘 要】現(xiàn)如今中考題型越來越新穎，在應(yīng)用問題、猜想問題和閱讀理解題這幾類試題中顯得尤為明顯。本文結(jié)合例題闡述如何提高學(xué)生的實(shí)踐能力、增強(qiáng)學(xué)生的分析能力、加強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力，強(qiáng)化學(xué)生的動(dòng)手能力。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用 實(shí)踐 猜想 分析 理解 自學(xué)

近幾年隨著初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，各地中考試題中具有探索性、實(shí)踐性、創(chuàng)新性的越來越多。它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生發(fā)展為本，特別重視發(fā)揮學(xué)生主體性。面對(duì)新的教育理念，如何適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革要求，重視學(xué)生個(gè)性和創(chuàng)新性思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)重要的課題。下面我們就以中考試題為例，一起討論幾類問題，供師生在中考復(fù)習(xí)時(shí)參考。

一、探索應(yīng)用問題，提高學(xué)生的實(shí)踐能力

數(shù)學(xué)是改革客觀世界的重要工具，我們應(yīng)該用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。應(yīng)用數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，所以應(yīng)用題也是中考命題的熱點(diǎn)。據(jù)調(diào)查，初中學(xué)生中大多數(shù)不理解利潤、看不懂股票的走勢(shì)圖，究其原因是在校內(nèi)外學(xué)做家庭理財(cái)和參與社會(huì)服務(wù)的機(jī)會(huì)太少。新課程標(biāo)準(zhǔn)重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)踐的結(jié)合，重視考查學(xué)生在面對(duì)真實(shí)情境下解決問題的能力，從而提高學(xué)生對(duì)應(yīng)用性問題的領(lǐng)悟能力和解決能力。

例1：某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進(jìn)價(jià)為每箱40元，生產(chǎn)廠家要求每箱售價(jià)在40元至70元之間，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元銷售，平均每天可銷售90箱，價(jià)格每降低1元，平均每天多銷售3箱，價(jià)格每升高1元，平均每天少銷售3箱。（1）寫出平均每天銷售Y（箱）與每箱售價(jià)X（元）之間的函數(shù)關(guān)系式（注明范圍）。（2）求出商場平均每天銷售這種牛奶的利潤W（元）與每箱牛奶的售價(jià)X（元）之間的二次函數(shù)關(guān)系式。（每箱的利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）（3）求出問題2中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求當(dāng)X=40，70時(shí)W的值。在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象的草圖。（4）由函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)牛奶售價(jià)為多少時(shí)，平均每天的利潤最大？最大利潤為多少？

這類題型旨在利用與生活實(shí)際有關(guān)的具體情境，關(guān)注學(xué)生的心理發(fā)展，搭起數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，協(xié)助學(xué)生體驗(yàn)由生活情境中抽象出的數(shù)學(xué)問題，這類問題最終歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)模型。新教材帶給學(xué)生廣闊的發(fā)展空間，要求我們?cè)诮虒W(xué)過程中有意識(shí)地教給學(xué)生實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)踐中有用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)關(guān)注身邊的實(shí)際問題，并學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想方法，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來考察周圍的事物，培養(yǎng)和提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力。

二、探索猜想問題，增強(qiáng)學(xué)生的分析能力

猜想是一種高層次的思維活動(dòng)，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中一種創(chuàng)造性思維。當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家波利亞也指出：“要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須是一個(gè)好的猜想家。”近幾年在各地中考試題中出現(xiàn)了各種類型的猜想型試題，并逐漸地由簡單型向復(fù)雜型、單一型向多向型轉(zhuǎn)化，低層次猜想向高層次、高質(zhì)量型猜想問題轉(zhuǎn)移。

例2：如圖1，在邊長為2個(gè)單位長度的正方形ABCD中，點(diǎn)O、E分別是AD、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是以點(diǎn)O為圓心、OE的長為半徑的圓弧與DC的交點(diǎn)，點(diǎn)P是弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，并延長交直線BC于點(diǎn)K。

過點(diǎn)P作弧EF所在圓的切線，當(dāng)該切線不與BC平行時(shí)，設(shè)它與射線AB、直線BC分別交于點(diǎn)M、G。

（1）當(dāng)K與B重合時(shí)，BG∶BM的值是多少？

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在BG∶BM=3的情況？你若認(rèn)為存在，請(qǐng)求出BK的值；你若認(rèn)為不存在，試說明其中的理由。一般地，是否存在BG∶BM=n（n為正整數(shù)）的情況？試提出你的猜想（不要求證明）。

分析：

（1）如圖2，當(dāng)K與B重合時(shí)，因?yàn)镸G與弧EF所在的圓相切于點(diǎn)P，所以O(shè)B⊥MG，所以∠ABO+∠BMG=90°。因?yàn)椤螧GM+∠BMG=90°，所以∠ABO=∠BGM。

所以Rt△BAO∽R(shí)t△GBM。

（2）如圖3，假定存在這樣的點(diǎn)P，使得BG∶BM=3，過點(diǎn)K做KH⊥OA于H，那么，四邊形ABKH為矩形，即有KH=AB=2。

因?yàn)镸G與弧EF所在的圓相切于點(diǎn)P，所以O(shè)K⊥MG于P。所以∠HKO+∠KIG=90°，又因?yàn)椤螱+∠KIG=90°，所以∠HKO=∠G。又因?yàn)椤螼HK=∠GBM=90°，所以△OHK∽△MBG，所以存在這樣的點(diǎn)K，使得BG∶BM=3。同理，可以證明：在線段BC、CD及CB的延長線上。由此可猜想：存在BG∶BM=n（n為正整數(shù)）的情況。

三、閱讀性理解題，加強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)重視培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，重視發(fā)現(xiàn)、形成知識(shí)的過程。這就要求在學(xué)生獲取知識(shí)的過程中，教師不要灌輸式地把知識(shí)教給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生通過自己思考或自學(xué)來獲取，將課本知識(shí)轉(zhuǎn)化為個(gè)人能力。因此，在教學(xué)中要借助閱讀理解題的訓(xùn)練，以考查學(xué)生基礎(chǔ)概念、思維能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)語言能力等。

例3：對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋。對(duì)于平面圖形A，如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被多個(gè)圓所覆蓋。如圖4中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋。

回答下列問題：（1）邊長1㎝的正方形被一個(gè)半徑為r的圓覆蓋，r的最小值是 cm；

（2）邊長1㎝的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓覆蓋，r的最小值是 cm；

（3）長2㎝，寬1㎝的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm，這兩個(gè)圓心距是 cm。

這類題型主要通過分析、比較、抽象和概括等數(shù)學(xué)手段，運(yùn)用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)、遷移應(yīng)用，要善于聯(lián)想猜想、借鑒創(chuàng)新，它能很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

四、探索操作問題，強(qiáng)化學(xué)生的動(dòng)手能力

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！睂W(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)是在主動(dòng)探索知識(shí)的過程中得到培養(yǎng)的，學(xué)生的實(shí)踐能力是在運(yùn)用知識(shí)解決問題的實(shí)踐活動(dòng)中得到發(fā)展的。近幾年各地中考中這種動(dòng)手型考題逐漸出現(xiàn)，所以有必要引起學(xué)生的重視。

例4： 如圖5，已知，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5㎝，CD=6㎝，∠DCB=60°，∠ABC=90°。等邊三角形MPN（N為不動(dòng)點(diǎn)）的邊長為acm，MN和直角梯形ABCD的底邊BC在一條直線上，NC=8cm。

（1）將直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得圖形1，翻折二次得圖形2，如此翻折下去，將直角梯形ABCD向左翻折兩次，如果此時(shí)等邊三角形的邊長a≥2㎝，這時(shí)兩圖形重疊部分的面積是多少？

（2）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，這時(shí)等邊三角形的邊長a至少應(yīng)為多少？

（3）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積的一半，這時(shí)等邊三角形的邊長a至少應(yīng)為多少？

這類題主要以學(xué)生熟悉的、感興趣的圖形為背景提供觀察和操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，親自發(fā)現(xiàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，在思想上和行為上逐步消除理論和實(shí)踐之間的阻隔，所以，我們平時(shí)在教學(xué)中要向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，積極引導(dǎo)學(xué)生從事實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生樂于動(dòng)手的意識(shí)。

（作者單位：江蘇省宜興市張澤中學(xué)）