教學(xué)板塊：學(xué)生智慧生長(zhǎng)的根脈

數(shù)學(xué)的美蘊(yùn)藏著至簡(jiǎn)至和的智慧，數(shù)學(xué)的理性蘊(yùn)藏著至真至通的智慧，數(shù)學(xué)的自由蘊(yùn)藏著創(chuàng)造探索的智慧?！爸腔蹟?shù)學(xué)”基于數(shù)學(xué)是一種智慧的感悟，基于數(shù)學(xué)教育追求學(xué)生智慧的生長(zhǎng)，“智慧數(shù)學(xué)”課堂是以板塊結(jié)構(gòu)、獨(dú)立活動(dòng)、問(wèn)題思索、智慧感悟?yàn)樘刭|(zhì)的教學(xué)實(shí)踐形態(tài)。

板塊結(jié)構(gòu)是“智慧數(shù)學(xué)”課堂的首要特質(zhì)。板塊設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美的自然體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)整體視野的應(yīng)然選擇，是邏輯思維發(fā)展的必然要求。下面筆者從學(xué)生智慧感悟和智慧生長(zhǎng)的角度簡(jiǎn)述“智慧數(shù)學(xué)”課堂“教學(xué)板塊”設(shè)計(jì)的深層思考。

一、在回環(huán)遞升中長(zhǎng)智慧，板塊內(nèi)容呈現(xiàn)為生活—數(shù)學(xué)—生活

數(shù)學(xué)源于生活，我們從生活中提煉出數(shù)學(xué)思路、數(shù)學(xué)策略、數(shù)學(xué)模型，又運(yùn)用數(shù)學(xué)去解決生活中新的問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步提煉數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)智慧，如此不斷地由厚（生活的原始性、復(fù)雜性、豐富性）到?。〝?shù)學(xué)的概括性、抽象性、系統(tǒng)性），再由薄到厚，提煉數(shù)學(xué)思想方法，遞升生活化的應(yīng)用層次，在螺旋遞升中增長(zhǎng)學(xué)生的智慧。

示例：五年級(jí)“數(shù)對(duì)確定位置”。

第一板塊：生活中的位置。

1.生活中的位置。電影院里的位置：幾排幾座；小軍家的位置：幾層幾戶。

2.確定位置的方向不同：有從左往右的，也有從右往左的；有從上往下的，也有從下往上的；有從前往后的，還有從后往前的。

3.引出“方向”規(guī)定的必要。橫向從左往右，豎向從下往上。

4.結(jié)合“方向”和“數(shù)”，引出數(shù)軸。

第二板塊：數(shù)學(xué)中的點(diǎn)。

1.生活中的位置在數(shù)學(xué)中怎樣表示才更簡(jiǎn)潔呢？（用“點(diǎn)”表示。）

2.出示橫豎兩條數(shù)軸，怎樣表示“點(diǎn)”的位置？（引出數(shù)對(duì)。）

3.先出示班級(jí)的座次圖，再抽象變化成點(diǎn)狀圖。

①找到自己的位置，并用數(shù)對(duì)表示自己的位置。

②符合位置的學(xué)生起立：數(shù)對(duì)（x，4），數(shù)對(duì)（5，y），數(shù)對(duì)（x，y），數(shù)對(duì)（a，a）。

第三板塊：數(shù)對(duì)在生活中。

1.公園大門(mén)外的報(bào)亭可以用數(shù)對(duì)表示嗎？

2.介紹經(jīng)緯度。出示地圖，說(shuō)說(shuō)北京的位置。

3.怎樣用數(shù)對(duì)表示正方體頂點(diǎn)A的位置？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：

生活中的位置——顯示生活的豐富，生活中的“方向”和“數(shù)”是數(shù)軸的雛形，并在此基礎(chǔ)上引出數(shù)學(xué)抽象的必要；數(shù)學(xué)中的點(diǎn)——彰顯數(shù)學(xué)的特性，“點(diǎn)”的簡(jiǎn)潔，坐標(biāo)中數(shù)與形的和諧，在生活中提煉出數(shù)學(xué)性；數(shù)對(duì)在生活中——提升學(xué)生的智慧，報(bào)亭、正方體頂點(diǎn)位置的探索意在打開(kāi)學(xué)生的視野。

二、在貫通融合中長(zhǎng)智慧，板塊內(nèi)容呈現(xiàn)為從簡(jiǎn)起步—提升構(gòu)造—融合回歸

從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，從簡(jiǎn)單的內(nèi)容起步，不斷提出新的問(wèn)題，提升思維層次，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，著力數(shù)學(xué)理性精神的培養(yǎng)。在“提升構(gòu)造”的過(guò)程中，注重融合，注重化歸，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧本質(zhì)，在前后知識(shí)的貫通中增長(zhǎng)學(xué)生的智慧。

示例：六年級(jí)“長(zhǎng)方體、正方體的特征”。

第一板塊：尋找點(diǎn)、線、面。

1.學(xué)生尋找長(zhǎng)方體中的點(diǎn)、線、面。

2.教師介紹相關(guān)規(guī)定：頂點(diǎn)、面、棱的意義。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從學(xué)生熟悉的開(kāi)始，直接由教師講解，一是因?yàn)椤绊旤c(diǎn)”“面”“棱”并不難理解，二是因?yàn)椤绊旤c(diǎn)”“面”“棱”本身就是一種規(guī)定，無(wú)須在所謂的動(dòng)手探索上耗費(fèi)時(shí)間。

第二板塊：立體回歸平面。

1.切一刀——把長(zhǎng)方體切一刀，想一想截面是什么圖形？最大的長(zhǎng)方形在哪里？

2.拆開(kāi)來(lái)——把長(zhǎng)方體框架拆開(kāi)來(lái)，想一想棱在哪里？有什么特點(diǎn)？

3.拍照片——如何在紙上畫(huà)出長(zhǎng)方體？先拍照片，再勾勒出來(lái)。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)“切一刀”“拆開(kāi)來(lái)”把對(duì)立體的研究轉(zhuǎn)化成對(duì)平面的研究，學(xué)生感悟的是“立體回歸平面”的思維方式。“先拍照片，再勾勒”，把立體進(jìn)行了意象的轉(zhuǎn)化，甚至是拓?fù)涞臐B透，“立體”非常輕巧地呈現(xiàn)在“平面”中。

第三板塊：立體的構(gòu)成。

1.觀察思考，下面哪些圖片可以折疊成長(zhǎng)方體？

2.平移長(zhǎng)方形構(gòu)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體與長(zhǎng)方形之間有什么聯(lián)系？

3.長(zhǎng)方體縮小成正方體，長(zhǎng)方體與正方體之間有什么聯(lián)系？

4.拼裝長(zhǎng)方體。選用木棒拼裝，有什么要求或規(guī)律？選用相同的小正方體拼裝，有什么要求或規(guī)律？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：“平移長(zhǎng)方形”“縮小長(zhǎng)方體”，一是真正讓圖形“動(dòng)”起來(lái)，二是感悟運(yùn)動(dòng)中量變與質(zhì)變的辯證規(guī)律。折疊長(zhǎng)方體、拼裝長(zhǎng)方體的活動(dòng)設(shè)計(jì)，不是讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)物操作，而是通過(guò)觀察圖片、頭腦想象來(lái)完成，真正培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和思維能力。

從第一板塊“尋找點(diǎn)線面”觀察立體，到第二板塊“立體回歸平面”透視立體，再到第三板塊“立體的構(gòu)成”構(gòu)造立體，經(jīng)歷了“立體—平面—立體”的過(guò)程。觀察立體，為立體起名定義是一項(xiàng)研究的起步工作。透視立體，用平面的視角研究立體，這是一種科學(xué)的思維方式。構(gòu)造立體，感悟立體與立體之間的轉(zhuǎn)化以及平面到立體的跨越式變化。

三、在追問(wèn)拓展中長(zhǎng)智慧，板塊內(nèi)容呈現(xiàn)為是什么—怎么用—為什么

從知其然到知其所以然，是一種超越?！笆鞘裁础眰?cè)重的是知識(shí)的傳播，著力于知識(shí)的高度；“怎么用”側(cè)重的是技能的訓(xùn)練，著力于應(yīng)用的廣度；“為什么”側(cè)重的是智慧的感悟和提升，著力于思想的深度。關(guān)于“為什么”的追問(wèn)是推進(jìn)知識(shí)技能走向智慧的有效路徑，在追問(wèn)中“反省學(xué)習(xí)行為”，在追問(wèn)中認(rèn)識(shí)自我、增長(zhǎng)智慧。

示例：六年級(jí)“認(rèn)識(shí)比”。

第一板塊：什么是比？

1.出示例1主題圖，這兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系怎樣表示？

生1：牛奶和果汁共5杯。

生2：牛奶比果汁多1杯，果汁比牛奶少1杯。

生3：果汁的杯數(shù)是牛奶的，牛奶的杯數(shù)是果汁的。

師：我們可以從和、差、商的角度來(lái)表達(dá)果汁和牛奶之間的關(guān)系，它們之間的關(guān)系還可以怎樣表示？

2.學(xué)生自學(xué)教材第68、69頁(yè)，圍繞“閱讀與思考”進(jìn)行討論。

（1）你認(rèn)為果汁和牛奶之間的關(guān)系還可以怎樣表示？

（2）你知道“比”各部分的名稱嗎？

3.比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。

第二板塊：怎樣用比？

1.下圖表示配制溶液時(shí)洗潔精和水的比。（陰影部分表示洗潔精，白色部分表示加進(jìn)去的水）

（1）圖？譹？訛中洗潔精和水的比是1：8，比值是（ ），這里的比值表示（ ）。

（2）圖？譺？訛中的1：3表示什么意思？

（3）圖中每個(gè)比的前項(xiàng)都是1，如果配制同樣多的溶液，那么所需要的洗潔精都相等嗎？為什么？

2.判斷練習(xí)。（略）

3.小明配制糖水，他用3克糖、80克水配制了一杯糖水，如果想要再配一些同樣甜度的糖水，應(yīng)該怎么辦呢？

第三板塊：為什么學(xué)比？

1.既然比與除法、分?jǐn)?shù)之間是相通的，那為什么還要學(xué)習(xí)比呢？

（1）在3克糖、80克水中，再加入11克咖啡粉，就成了一杯咖啡?，F(xiàn)在你能很簡(jiǎn)明地表達(dá)這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系嗎？（糖∶咖啡粉∶水是3∶11∶80）

（2）某幢樓房長(zhǎng)25米、寬12米、高18米。大樓長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系怎樣表示？（長(zhǎng)∶寬∶高是25∶12∶18）

此時(shí)你想用分?jǐn)?shù)或除法表示嗎？

（3）工地需配制一種混凝土，王師傅用2噸水泥、3噸黃沙、5噸石子很快就配制好了，怎樣表示混凝土中三種量之間的關(guān)系呢？（水泥∶黃沙∶石子是2∶3∶5）

現(xiàn)在你能說(shuō)說(shuō)為什么要學(xué)習(xí)“比”嗎？

2.開(kāi)始我們說(shuō)的“比”都表示的是兩個(gè)數(shù)相除，這里的“比”怎么出現(xiàn)了三個(gè)數(shù)呢？這里面也存在兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系嗎？

生：有，水泥和黃沙的比是2∶3，水泥和石子的比是2∶5……

師：看來(lái)，這里的“比”不但可以表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，而且還可以表示更多數(shù)之間的關(guān)系。用“比”來(lái)表示關(guān)系確實(shí)是更簡(jiǎn)明、更方便。

3.介紹黃金比等。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：我們知道，什么是“比”、“比”的各部分名稱等知識(shí)，而“比”的創(chuàng)造，為什么要引進(jìn)“比”、學(xué)習(xí)“比”才是激發(fā)學(xué)生智慧生長(zhǎng)的教學(xué)重點(diǎn)?！盀槭裁匆J(rèn)識(shí)‘比’？”——這會(huì)引起學(xué)生對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)的思索：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)一個(gè)新知識(shí)？它和過(guò)去的知識(shí)有什么聯(lián)系？又有什么發(fā)展和超越？我們還能創(chuàng)造出什么？在不斷地追問(wèn)中，學(xué)生的智慧在生長(zhǎng)。

四、在具象抽象中長(zhǎng)智慧，板塊內(nèi)容呈現(xiàn)為具體—表象—抽象

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要遵循思維發(fā)展的規(guī)律，經(jīng)歷具體—表象—抽象的過(guò)程。教學(xué)時(shí)在直觀物體和抽象概念之間構(gòu)建橋梁，但不能停留在“橋梁”上，從具體入手，走向表象，最終一定要適度抽象。在抽象提升中把握事物最主要、最本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性，從而增長(zhǎng)學(xué)生的智慧。

示例：一年級(jí)“認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)”。

第一板塊：捆小棒——從一根到一捆。

師：（出示兩幅圖：一幅是沒(méi)有捆的很多小棒，另一幅是捆好的小棒。）請(qǐng)同學(xué)們數(shù)一數(shù)，你有什么感覺(jué)？

師：（出示四幅圖：2根、2根捆起來(lái)的小棒；5根、5根捆起來(lái)的小棒；7根、7根捆起來(lái)的小棒；10根、10根捆起來(lái)的小棒。）同學(xué)們，數(shù)一數(shù)每一幅圖中有多少根小棒？

師：哪一幅圖中的小棒最好數(shù)？

師：（出示生活中的場(chǎng)景圖，10個(gè)10個(gè)裝好的水果、書(shū)本、鉛筆、食品等）同學(xué)們想一想，10個(gè)一捆或一包，好在哪里？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從一根到一捆——從具體的一根、一捆入手，引導(dǎo)學(xué)生感悟“十”。結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，精心設(shè)計(jì)“捆”的多樣方法，通過(guò)不同的捆法感受10個(gè)一捆的優(yōu)越，從而內(nèi)化十進(jìn)制的知識(shí)，使學(xué)生的智慧在一個(gè)較為寬廣的基礎(chǔ)上萌生開(kāi)來(lái)。

第二板塊：數(shù)小棒——從“十”到“百”。

師：請(qǐng)同學(xué)們數(shù)出28根小棒。

師：28根再加1根是多少？29根再加1根呢？

師：緊跟89后面的是70，還是80，還是90？同桌相互討論一下。

師：請(qǐng)你從90數(shù)到100。

師：請(qǐng)你從50數(shù)到100，同桌交流數(shù)的方法。（有四種可能：50，51，52，

53，…，100；50，52，54，56，…，100；55，60，65，70，…，100；50，100。）

師：數(shù)出110根小棒、101根小棒、11根小棒，說(shuō)說(shuō)它們有什么不同？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從“十”到“百”——建立“十”“百”的表象，在數(shù)110、101、11的體驗(yàn)中，領(lǐng)會(huì)“捆”與“一”“十”“百”的關(guān)系；在規(guī)律的發(fā)現(xiàn)中，發(fā)展學(xué)生“以此類推”的智慧；在從50數(shù)到100的開(kāi)放性活動(dòng)中，引發(fā)學(xué)生智慧的碰撞。

第三板塊：畫(huà)小棒——從有形到無(wú)形。

師：同學(xué)們，你可以畫(huà)圖，或者用別人可以看懂的方式，在作業(yè)紙上表示出24根小棒。

師：這幅圖是一根一根畫(huà)的，我們數(shù)一數(shù)：1，2，3，4，…，24，一共畫(huà)了24根，對(duì)的。

師：這幅圖畫(huà)了2捆和4根，是不是24根？

師：這位同學(xué)畫(huà)的是什么？（計(jì)數(shù)器）一共畫(huà)了6顆珠子，是24嗎？你們知道他是怎么想的嗎？

師：還有一名同學(xué)直接在紙上寫(xiě)的是“24”，同學(xué)們覺(jué)得可以嗎？

師：現(xiàn)在老師請(qǐng)你們?cè)诩埳媳硎境?24根小棒，你打算怎么辦？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從有形到無(wú)形——進(jìn)行符號(hào)化的抽象。畫(huà)小棒是從實(shí)物到圖形（符號(hào)）的提升，小棒是一種實(shí)物，數(shù)學(xué)是要逐步抽象的，最終我們要離開(kāi)小棒。小棒不見(jiàn)了，超越有形小棒的是十進(jìn)制，位值原則。此外，采用“畫(huà)”的方法，兼顧不同學(xué)生直觀到抽象的狀態(tài)，是一種開(kāi)放性活動(dòng)，在探索中實(shí)現(xiàn)智慧的超越。？筻