幾何畫板5：歐氏幾何與函數(shù)曲線積件制作的最佳工具

說到實(shí)用有效的教學(xué)軟件，不能不談幾何畫板，相信理科老師對(duì)它并不陌生。幾何畫板軟件在我國已被廣泛地應(yīng)用于教學(xué)中，是最出色的數(shù)學(xué)、物理教學(xué)軟件之一。教師利用它可以制作出大多數(shù)需要的課件，但如果使用不當(dāng)，教學(xué)效果反而會(huì)減弱。例如，立體幾何就不是它的長處，雖然有教師研究出了一套自定義的幾何畫板立體幾何工具，但對(duì)比起Cabri 3D來，它的效果還是相差甚遠(yuǎn)，所以用幾何畫板制作立體幾何課件的效果并不好。因此，只有恰當(dāng)?shù)乩煤盟峁┑墓δ埽拍茏屛覀兊慕虒W(xué)獲得事半功倍的效果。本文將主要結(jié)合幾何畫板5的新增功能介紹它在教學(xué)中的應(yīng)用。

● 幾何畫板5的主要功能及特點(diǎn)

幾何畫板5主要具有以下功能：計(jì)算機(jī)上的直尺和圓規(guī)、測量和計(jì)算功能、繪制多種函數(shù)圖像、制作復(fù)雜的動(dòng)畫、保持和突出幾何關(guān)系、自定義工具功能、動(dòng)態(tài)演示功能。

幾何畫板，顧名思義是“畫板”，能構(gòu)造出各種歐幾里德幾何圖形；能構(gòu)造出解析幾何中的所有二次曲線；也能構(gòu)造出任意一個(gè)初等函數(shù)的圖像（并給出函數(shù)表達(dá)式）。幾何畫板還能夠?qū)λ挟嫵龅膱D形、圖像進(jìn)行各種“變換”，如平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等。幾何畫板還提供了“度量”、“計(jì)算”等功能，能夠?qū)λ龀龅膶?duì)象進(jìn)行度量，如線段的長度、兩點(diǎn)間的距離、圓弧的弧長、角度、面積等，并把結(jié)果動(dòng)態(tài)地顯示在屏幕上。

幾何畫板主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

◇動(dòng)態(tài)性──幾何畫板最大的特色是其具有強(qiáng)大的“動(dòng)態(tài)性”。

◇交互性──它是功能強(qiáng)大的反饋工具。

◇探索性──幾何畫板為探索式幾何教學(xué)開辟了道路。

◇簡潔性──幾何畫板功能雖然強(qiáng)大，但使用起來卻非常簡單。它的制作工具少，制作過程簡單，掌握容易。

幾何畫板5版本在許多方面的功能較之以前版本都得到了加強(qiáng)，有的功能更是發(fā)生了質(zhì)的飛躍。例如，幾何畫板5能直接得到方程軌跡的交點(diǎn)，這在以前是無法想象的。幾何畫板還在圖片處理、熱文本、代數(shù)與幾何功能的擴(kuò)展和顯示等方面得到了改進(jìn)。

● 幾何畫板5在教學(xué)中的應(yīng)用

多媒體輔助教學(xué)已成為我們?nèi)粘＝虒W(xué)中必不可少的教學(xué)手段。作為一線教師，在感受到多媒體輔助教學(xué)便捷的同時(shí)，也感受到了若只把投影當(dāng)作電子黑板來使用，會(huì)使得多媒體的運(yùn)用達(dá)不到預(yù)期的效果，造成課堂教學(xué)有效性的缺失。傳統(tǒng)的課件是事先早已確定和制作好的，這導(dǎo)致我們上課只能按部就班，而事實(shí)上課堂并不都是按我們事先設(shè)計(jì)好的去進(jìn)行，畢竟在實(shí)際教學(xué)過程中學(xué)生會(huì)產(chǎn)生與我們不一樣的想法，此時(shí)的課件反而限制了對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

一般來說，制作一個(gè)優(yōu)秀的課件要花很多時(shí)間，讓老師們每天都花很多時(shí)間去做課件是不現(xiàn)實(shí)的。所以說若只用幾何畫板制作傳統(tǒng)的課件，并不能很好地發(fā)揮出它的優(yōu)勢。那又該如何用好幾何畫板呢？實(shí)際上幾何畫板就是一個(gè)教學(xué)輔助工具而已，它簡單易用，能幫助我們在課堂上隨心所欲地制作教學(xué)積件。我們就把它當(dāng)作是課堂的一部分，它就是我們教室里的一件常備工具，想用的時(shí)候就拿出來用，不用的時(shí)候收起來，這樣才能使它真正地融入到課堂中，從而最大化發(fā)揮它的價(jià)值。

在了解幾何畫板軟件的功能及特點(diǎn)后，我發(fā)現(xiàn)它是開展歐氏幾何與函數(shù)曲線教學(xué)的最佳工具。下面將結(jié)合幾何畫板5的新增功能，通過幾個(gè)有代表性的積件例子說明它在這兩個(gè)教學(xué)領(lǐng)域中的簡單應(yīng)用。

1.利用幾何畫板5制作函數(shù)曲線類積件

幾何畫板能繪制中學(xué)所有的函數(shù)圖像。幾何畫板5在繪制函數(shù)曲線方面有了一定的改進(jìn)，如在繪制三角函數(shù)曲線時(shí)，直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)單位會(huì)用π來表示等。其中最重要的改進(jìn)之一是它能實(shí)現(xiàn)直接求出兩曲線的交點(diǎn)。在以前的版本中，我們只能采用人工的方法通過解方程組來求出交點(diǎn)，非常不方便。現(xiàn)在菜單欄中新增了求曲線交點(diǎn)的功能，我們能直接構(gòu)造出曲線交點(diǎn)了。

案例1：函數(shù)y=logax與y=ax圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。

只要是數(shù)學(xué)老師，都曾經(jīng)被這個(gè)問題困擾過。關(guān)于同底的指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a為常數(shù)，a>0且a≠1）圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，到底是1個(gè)、2個(gè)還是3個(gè)？很多文章從不同的角度作了研究。但大多方法都比較復(fù)雜，學(xué)生不好理解。我們現(xiàn)在用幾何畫板5可以直接構(gòu)造出它們的交點(diǎn)，并能度量出交點(diǎn)的坐標(biāo)。如圖1所示，當(dāng)改變a的取值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)曲線相交的各種情形。這會(huì)讓學(xué)生一目了然，輕松掌握交點(diǎn)的變化規(guī)律，這在以前是無法做到的。如果老師們操作軟件熟練的話，兩分鐘左右就能制作出這個(gè)小積件，完全不用做復(fù)雜的課前準(zhǔn)備。

2.利用幾何畫板5制作度量數(shù)據(jù)類積件

幾何畫板5擁有強(qiáng)大的度量和計(jì)算功能，基本上能滿足我們的教學(xué)所需。幾何畫板5的度量菜單中比以前的版本新增了“點(diǎn)的值”功能，它能計(jì)算出點(diǎn)在多邊形上運(yùn)動(dòng)的值（從多邊形的起點(diǎn)到終點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，相應(yīng)所得的點(diǎn)值從0變化到1），利用它可以解決一些以前無法解決的問題，如點(diǎn)在多邊形上運(yùn)動(dòng)時(shí)路程與時(shí)間所形成的軌跡，這在以前是不好制作的，現(xiàn)在就可以很輕松地完成了。

案例2：正方形ABCD上有一點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M沿著正方形的邊從A點(diǎn)出發(fā)移動(dòng)時(shí)，繪制出三角形ABM的面積（y）與點(diǎn)M移動(dòng)的路程（x）之間的函數(shù)圖像。

教師現(xiàn)場操作，演示給學(xué)生看。主要步驟如下：

（1）利用多邊形工具繪制一個(gè)正方形ABCD。

（2）在選中正方形ABCD的內(nèi)部，執(zhí)行“構(gòu)造/邊界上的點(diǎn)”命令，構(gòu)造出點(diǎn)M。選中點(diǎn)M，執(zhí)行“度量/點(diǎn)的值”命令，度量出點(diǎn)M在正方形ABCD上的值，把標(biāo)簽改為x。其中M點(diǎn)從A點(diǎn)按A→B→C→D移動(dòng)時(shí)，所得的x值從0→1。

（3）依次選中點(diǎn)C、A和B，執(zhí)行“構(gòu)造/三角形的內(nèi)部”命令，繪制出三角形ABM。

（4）選中三角形ABM的內(nèi)部，執(zhí)行“度量/面積”命令，度量出三角形的面積，把標(biāo)簽改為y。

（5）依次選中x的值和y的值，執(zhí)行“繪圖/繪制點(diǎn)（x，y）”命令，此時(shí)就在直角坐標(biāo)系中繪制出點(diǎn)M’（x，y）。

（6）依次選中點(diǎn)M’和點(diǎn)M，執(zhí)行“構(gòu)造/軌跡”命令，這時(shí)候就得到了點(diǎn)M在正方形邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)相應(yīng)的三角形ABM的面積曲線圖了（如圖2）。

即使整個(gè)過程很慢，幾分鐘也能完成了，并不會(huì)占用太多的課堂時(shí)間?，F(xiàn)場的操作過程也能幫助學(xué)生明白圖像產(chǎn)生的原理，從而對(duì)函數(shù)圖像有了更加深刻的認(rèn)識(shí)。

3.利用幾何畫板5制作動(dòng)畫演示類積件

利用幾何畫板可以制作出幾乎所有想制作的動(dòng)畫，所制作出的點(diǎn)、線、面、體都可以在各自的路徑上以不同的速度和方向進(jìn)行動(dòng)畫或移動(dòng)，可以產(chǎn)生良好的動(dòng)態(tài)效果。

幾何畫板5增加了“標(biāo)記工具”，它可以實(shí)現(xiàn)類似PowerPoint的手寫功能，可以手繪符號(hào)、圖線。新版幾何畫板直接內(nèi)置了一些原本是通過擴(kuò)展工具來實(shí)現(xiàn)的圖形標(biāo)記功能，如角、多邊形或箭頭等標(biāo)記的功能。下面我將通過制作一個(gè)動(dòng)畫來說說它的使用方法。

案例3：制作一個(gè)跳動(dòng)的足球，使足球沿著用“標(biāo)記工具”所繪制出的曲線運(yùn)動(dòng)。就像在Flash軟件里，讓物體沿自定義路徑實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的效果一樣。主要步驟如下：

（1）利用工具箱中的“標(biāo)記工具”繪制一條曲線。選中曲線，利用“數(shù)據(jù)”菜單中的“創(chuàng)建繪圖函數(shù)”命令繪制出函數(shù)并把圖像畫出來（如圖3）。

（2）在曲線上取一點(diǎn)A，在網(wǎng)上找一張足球的圖片，把圖片粘貼到點(diǎn)A上。

（3）利用“編輯”菜單構(gòu)造點(diǎn)A的動(dòng)畫操作類按鈕，把不必要的對(duì)象隱藏。最終效果如圖4所示，單擊動(dòng)畫點(diǎn)按鈕觀看動(dòng)畫，足球會(huì)沿所繪制的曲線運(yùn)動(dòng)。

以上幾例只是幾何畫板5在教學(xué)中的簡單應(yīng)用，更多的應(yīng)用有待大家自己去挖掘、探究?？偟膩碚f，幾何畫板是歐氏幾何與函數(shù)曲線的最佳教學(xué)工具，簡單易用的特點(diǎn)讓它成為了積件制作最優(yōu)秀的工具之一。