“經(jīng)驗型”數(shù)學(xué)活動設(shè)計誤區(qū)分析

在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中，基本活動經(jīng)驗是總目標(biāo)中的重要內(nèi)容，即“通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”，并且要求作為積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗重要載體的“綜合與實踐”教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次[1]。

從教學(xué)實踐來看，筆者以為有部分?jǐn)?shù)學(xué)活動反映了人們認(rèn)識還存在著誤區(qū)。現(xiàn)以部分實驗教材或配套綜合實踐活動教材中內(nèi)容為例，從一線教師設(shè)計與開發(fā)“經(jīng)驗型”數(shù)學(xué)活動的角度做些分析，并盡可能加以改進，以求能夠更好地發(fā)揮“經(jīng)驗型”數(shù)學(xué)活動的作用。

一、 “幼稚化”誤區(qū)

僅僅是量量拼拼這樣的操作活動而不做活動后的理性提升是“幼稚化”的表現(xiàn)：對于學(xué)生的思維能力估計不足，人為降低了應(yīng)該達到的要求。其實，活動是基礎(chǔ)，通過活動會形成初步感性認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上進行提升，上升到理性認(rèn)識的高度，這樣的數(shù)學(xué)活動才能算是真正意義上的“經(jīng)驗型”數(shù)學(xué)活動，也才是有價值的。

案例一：“數(shù)學(xué)實驗室”[2]

如圖1，畫∠AOB=90°，并且畫∠AOB的平分線OC。

（1）將三角尺的直角頂點落在OC的任一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F，并比較PE、PF的長度。

（2）把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)，比較PE、PF的長度，你能得到什么結(jié)論？你的結(jié)論一定成立嗎？與同學(xué)交流。

分析：蘇科版配套教師用書中指出，學(xué)生對本節(jié)數(shù)學(xué)實驗室探索得到的結(jié)論就有如何“說理”的需求，雖然學(xué)生暫時不能解決，但這個懸念促使學(xué)生向往、追求著“說理”，結(jié)論（PE=PF）的證明，安排在九（上）“圖形與證明（二）中”[3]。可見，編者認(rèn)為此處結(jié)論僅僅是通過觀察與測量而獲得的。

此處，操作確實有必要，量一量有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)有助于輔助線的添加，問題是，量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)就結(jié)束的話，將學(xué)生的理解能力估計得偏低了一些。事實上，從蘇科版教材來看，說理所需要的知識（角平分線性質(zhì)與三角形全等的知識）學(xué)生早已具備，而圖形旋轉(zhuǎn)中兩種特殊情況（①PE⊥AO，四邊形PEOF為正方形；②E、O重合，△POF為等腰直角三角形）其中任意一種均提示了要說理所需添加的輔助線，加上之前學(xué)生又多次進行了“用分行的‘因為……所以……理由是……’方式的說理”[3]。如果不進行說理，活動中積累了的感性認(rèn)識便得不到提升，學(xué)生的思維能力便無法得到進一步發(fā)展。容易實施的建議是，教師在活動后增加“說理”的要求：你能夠利用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來說明該結(jié)論是正確的嗎？與同學(xué)交流。

二、 “手工化”誤區(qū)

“經(jīng)驗型”數(shù)學(xué)活動首先是關(guān)于數(shù)學(xué)的活動，其目的是學(xué)生能夠主動建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科的一些核心知識（即對于學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)不可或缺的知識或者經(jīng)常要用到的知識），感受常見的數(shù)學(xué)思想方法，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維方式，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

案例二：制作一個五角星

通過折紙（圖2），你能制作一個五角星嗎？沿不同的角α剪開，得到的五角星形狀相同嗎？哪一種更美觀？變換不同的角α試一試！

分析：這個例子介紹了剪五角星的方法，它關(guān)注的是剪得五角星，關(guān)注的是是否美觀，并沒有從數(shù)學(xué)的角度來進一步分析，稱為手工活動比較合適。

需要指出的是，軸對稱圖形其對稱軸的條數(shù)決定著將平角平分相應(yīng)等份數(shù)的數(shù)目（如果某個軸對稱圖形有n條對稱軸，那么需要將折疊得到的平角n等分），這是設(shè)計具有一定條數(shù)軸對稱圖形的核心，也是能夠遷移的關(guān)鍵。對此，最好能夠讓學(xué)生在活動中自行發(fā)現(xiàn)，如有難度，至少應(yīng)該努力讓他們感受到。建議做如下改進。

1.觀察一個正五角星，如圖3，猜測該圖形有何特征。

（①是軸對稱圖形，有5條對稱軸；②5個角度數(shù)相等，都是36°，其和為180°；③是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為72°；④E、F、G、B在同一直線上。）

2.驗證你的猜測。

（相應(yīng)方法分別是：折疊，度量，旋轉(zhuǎn)，直尺畫直線）

3.試對1.中結(jié)論②、結(jié)論③進行說理。

4.剪五角星

（1）折紙 按照圖4（1）——（2）方法折紙

思考：

①為何要將一個平角五等分？猜一猜：“五等分”中數(shù)字“五”跟圖形對稱軸條數(shù)有何關(guān)系？

②每一等分是多少度？

③如要求剪一個具有六條或者八條對稱軸的圖形，如何折紙？n條呢？

（2）剪紙 沿著圖4（2）中AG剪紙，得五角星（圖4（3））

思考：

①為使得E、F、B、G在同一直線上，∠AGO必須是多少度？ （可以測量。）

②不借助于測量，你能算出∠AGO的大小嗎？

③你能夠由算出的∠AGO度數(shù)來說明E、F、B、G在同一直線上嗎？

（思路：圖3中∠AGF=72°，∠AGO=126°，從而∠OGF=54°，由∠FGB=180°得F、G、B在同一直線上。）

④猜測：當(dāng)∠AGO大小發(fā)生變化時，五角星的形狀會如何變化？做一做，驗證你的猜測。

三、 “競賽化”誤區(qū)

“經(jīng)驗型”數(shù)學(xué)活動中獲得的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)該是活動時根據(jù)學(xué)生的實際情況“生長”出來的，即是由學(xué)生主動建構(gòu)出來的，而不是憑空出現(xiàn)、給人感覺是從天上掉下來的，同時，需要解決的問題其綜合性也不宜過強，應(yīng)以大多數(shù)學(xué)生能夠理解接受為宜，否則，活動就“變味”了，變成了數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)活動。

案例三： “棋盤上馬的行蹤”（節(jié)選）

1.活動1：如圖5，棋子“馬”（6，4）跳幾步可從現(xiàn)在的位置跳到點M（3，2）的位置？描述你的走法，并與同學(xué)交流。

思考1：最少幾步可以走到？還可以幾步走到？

思考2：你發(fā)現(xiàn)了“可以跳到”的步數(shù)有什么特點嗎？能解釋其中的原因嗎？

2.活動創(chuàng)新2：如果棋盤足夠大，一匹“步伐”為1×n的“馬”能否從任意位置出發(fā)，不重復(fù)不遺漏地走遍整個棋盤（即每一點都走到并且只走一次）？請寫出你的結(jié)論。

分析：對于“活動1”，書中卡通人指出，“不妨將‘馬’目前的位置涂成黑點，與黑點相鄰位置涂成白點，依次將半張棋盤全部標(biāo)記，這將有助于尋找規(guī)律”[5]。卡通人的指導(dǎo)對于學(xué)生解答該問題固然有一定的幫助，然而“為什么要染色，為什么要這么染色”呢？方法從天而降，學(xué)生被牽著鼻子走，在后面活動中也不容易想到利用染色圖來解決問題。

筆者猜測，可能是設(shè)計者對于學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平不夠熟悉，沒有從該角度進行審視與修改，相關(guān)內(nèi)容于是便以“空降”的形式出現(xiàn)了。修改建議是從方法的適當(dāng)鋪墊角度做改進，增加一個探索性活動，使得方法是“生長”出的。

（增加）“馬”跳的特征

1.圖5中，如果棋子“馬”的最初位置為點（6，4），只跳一步，可以跳到哪些點？（請用坐標(biāo)來表示。）

2.從奇偶性角度考慮。

（1）這八個點坐標(biāo)和都是什么數(shù)？與最初位置（6，4）坐標(biāo)和相比，奇偶性如何變化？

（2）如果最初位置為點（6，3），跳一步，所到點的坐標(biāo)和都是什么數(shù)？與最初位置（6，3）相比，奇偶性如何變化？

3.現(xiàn)用紅色和黑色來區(qū)分坐標(biāo)和為奇偶數(shù)的點。點（6，4）涂成黑色。

（1）你覺得圖5中點（6，3）涂成什么顏色為好？點（0，0）呢？

（2）按照這樣的涂色方法來對圖5中的點涂色。這時所涂顏色有何規(guī)律？

4.在涂色后的棋盤上，馬從點（6，4）出發(fā)，跳一次，跳到的點與點（6，4）顏色相同嗎？

跳兩次，最后跳到的點與點（6，4）顏色相同嗎？跳奇數(shù)次呢？偶數(shù)次呢？

至于“活動創(chuàng)新2”，通過前面的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生僅僅知道棋子“馬”從圖5位置出發(fā)，按照走“日”字的走法能夠不重復(fù)不遺漏地走遍棋盤，欠缺對于任意一個位置不重復(fù)不遺漏地走遍棋盤情形的探討，直接跳到“1×n”的情形可謂跨度太大，同時書中提供的答案并不能令人信服。修改建議是根據(jù)學(xué)生的接受能力適當(dāng)降低問題難度，比如：如果棋盤足夠大，一匹“步伐”為1×4的“馬”能否從任意位置出發(fā)，走遍整個棋盤？請寫出你的結(jié)論。

綜上所述，“經(jīng)驗型”數(shù)學(xué)活動是關(guān)于數(shù)學(xué)的活動，它以學(xué)生動手實踐活動中獲得的感性認(rèn)識為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知水平、可能的接受能力從數(shù)學(xué)的角度進行分析、歸納與提升，形成基本活動經(jīng)驗。這樣數(shù)學(xué)活動方向才不會發(fā)生偏差，效果才會更好，因而也才是很有價值的。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制定.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 楊裕前，董林偉主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書.數(shù)學(xué)八年級（下冊）.南京：江蘇科技出版社，2006.

[3] 楊裕前，董林偉主編.數(shù)學(xué)教師教學(xué)參考資料八年級（下冊）.南京：江蘇科技出版社，2007.

[4] 林群主編，李海東分冊主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書.數(shù)學(xué)七年級（上冊）.北京：人民教育出版社，2007.

[5] 楊裕前，董林偉主編.孫朝仁分冊主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書.數(shù)學(xué)綜合實踐活動.八年級（上冊）.南京：江蘇科技出版社，2010.

（責(zé)任編輯 郭振玲）