解析幾何與函數(shù)知識的融合

■

函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用多年來一直是高考命題的熱點，通常以最值和相關(guān)量的取值范圍問題為主要題型，如面積、弦長的最值問題，面積比、弦長比的取值范圍問題等在近幾年的高考試題中頻頻亮相.

■

解決這類問題的基本方法是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，但在此之前，必須先確定某個量（參數(shù)）作為函數(shù)的自變量，并求其范圍. 函數(shù)的自變量可以在設(shè)點的坐標(biāo)、直線的方程過程中獲得，通常將點的坐標(biāo)（橫或縱）、直線的斜率或截距等確定為函數(shù)的自變量.

■

■ 如圖1，已知橢圓C：■+y2=1.

（1）點A，B是橢圓C上的兩點，且AB=■，求△AOB面積的最大值；

（2）點A，B是橢圓C上的兩點，且AB=L，求當(dāng)△AOB的面積取到上述最大值時弦長L的取值范圍.

■

圖1

破解思路 圓錐曲線中，求三角形面積的通法是：先用弦長公式求三角形的底邊長AB，然后用點到直線的距離公式求得頂點到底邊上的高d，代入S=■AB·d，構(gòu)造面積函數(shù).

經(jīng)典答案 （1）先考慮直線AB斜率不存在的情況. 設(shè)AB的方程為x=x0，A（x0，y0），則AB=2y■=■，即y■=■. 又■+y■■=1，所以S△AOB=■x02y■=y■■=■.

當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)其方程為y=kx+m，代入橢圓方程并消去y得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0. 由弦長公式得AB=■·■=■. 即m=■.

又原點到直線AB的距離d=■，故S△AOB=■·■·■=■■. 令t=1+k2≥1，所以S△AOB=■■=■■. 易知■∈（0，1]，所以此時S△AOB≤■（當(dāng)t=2時取到等號）. 又■<■，故S△AOB的最大值為■.

（2）由題得S△AOB=■·L·■=■ ①，又由（1）可知L=AB=■■②. 將②代入①得■=1，令p=1+3k2，則由上式得m2=■，代入②即可得L=■=■·■. 易知p∈[1，+∞），且L是關(guān)于p的減函數(shù)，所以L∈（■，■].

■ 如圖2，已知橢圓C1：■+■=1，拋物線C2：y2=4x，過橢圓C1右頂點的直線l交拋物線C2于A，B兩點，射線OA，OB分別交橢圓于D，E兩點，點O為原點.

■

圖2

（1）求證：點O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部；

（2）記△ODE，△OAB的面積分別為S1，S2，問是否存在直線l，使S2=3S1，若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.

破解思路 （1）欲證點O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部，只要證明∠DOE為鈍角，即證■·■<0，即證■·■<0（此為最容易實現(xiàn)坐標(biāo)化的“幾何本質(zhì)”）.

（2）將■表示成目標(biāo)函數(shù)，求其值域，若值域范圍內(nèi)有3，則直線l存在，否則便不存在.

經(jīng)典答案 （1）設(shè)l：x=my+2（m∈R），設(shè)點A，B，D，E的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），聯(lián)立直線l與拋物線C2的方程并消去x得y2-4my-8=0. 由判別式Δ=16m2+32>0對任意m∈R恒成立，故y■+y■=4m，y■y■=-8. 所以■·■=x1x2+y■y■=■·■+y1y2=■+y■y■=-4<0，所以∠AOB為鈍角，即∠DOE為鈍角，所以點O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部.

（2）設(shè)∠AOB=∠DOE=α，則■=■=■. 設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，由弦長公式可得OA=■y■，OD=■y■，OB=■·y■，OE=■y■，所以■=■，即■■=■ ①.

又由O，D，A三點共線得■=■，且x1=■，x■■=41-■，所以y■■=■，同理y■■=■，代入①得■■=■，再由韋達定理代入并整理得■■=■≥■，即■≥■>3，所以不存在直線l使S2=3S1.

■

如圖3，若已知橢圓C過定點M-1，■，兩個焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過點M作傾斜角互補的兩條直線MA，MB分別交橢圓于A，B.

（1）求證：直線AB的斜率為定值.

（2）求△MAB的面積S的最大值.

■

圖3