綜合測試（3）

一、選擇題：每小題5分，共25分.

1.一個物體的底座是兩個相同的幾何體，它的三視圖及其尺寸（單位：dm）如圖1所示，則這個物體的體積為（ ）？搖

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圖1

A. （120+16π）dm3

B. （120+8π）dm3

C. （120+4π）dm3

D. （60+8π）dm3

2. 已知一個平面α，那么對于空間內(nèi)的任意一條直線a，在平面α內(nèi)一定存在一條直線b，使得a與b（ ）？搖

A. 平行 B. 相交

C. 異面 D. 垂直

3. 設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列命題：

①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；

③若m∥α，n∥α，則m∥n；

④若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ.

其中正確命題的個數(shù)是（ ）？搖

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 如圖2，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=Ot0JOzSwjq9Xr9byP9jUtA==1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（ ）？搖

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圖2

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

5. 已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為（ ）

A. 7π B. 9π

C. 11π D. 13π

二、填空題：每小題5分，共15分.

6. 兩個相同的正四棱錐組成如圖3所示的幾何體，可放入棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體的體積的可能值有_______個.

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圖3

7. 如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為_________.

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圖4

8. 某種游戲中，黑、黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”；黑“電子狗”爬行的路線是AA1→A1D1→…，黃“電子狗”爬行的路線是AB→BB1→…. 它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）. 設(shè)黑“電子狗”爬完2006段，黃“電子狗”爬完2007段后各自停止在正方體的某個頂點(diǎn)處，這時黑、黃“電子狗”間的距離是_______.

三、解答題：每小題15分，共60分.

9. 如圖5，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

（1）證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

（2）設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值.

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圖5

10. 如圖6，已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，G是EF上的一點(diǎn)，將△GAB，△GCD分別沿AB，CD翻折成△G1AB，△G2CD，并連結(jié)G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2

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圖6

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圖7

（1）證明：平面G1AB⊥平面G1ADG2；

（2）當(dāng)AB=12，BC=25，EG=8時，求直線BG2和平面G1ADG2所成角的余弦值.

11. 已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖8所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形.

（1）證明：BN⊥平面C1B1N.

（2）設(shè)直線C1N與平面CNB1所成的角為θ，求sinθ的值.

（3）M為AB的中點(diǎn)，在CB上是否存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由.

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圖8

12. 如圖9，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E為BB1延長線上的一點(diǎn)，D1E⊥平面D1AC.

（1）求二面角E-AC-D1的大?。?/p>

（2）在D1E上是否存在一點(diǎn)P，使A1P∥平面EAC？若存在，求D1P ∶PE的值；若不存在，說明理由.

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圖9