三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點，涉及的內(nèi)容包括三角函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性和周期性，這些都是三角函數(shù)的核心內(nèi)容. 同學(xué)們重點要掌握的有關(guān)三角函數(shù)的知識有：y=sinx，y=cosx，y=tanx的定義域、值域（最值）、周期性、奇偶性、對稱性及單調(diào)性；y=Asin（ωx+φ）+k模型（圖象變換、性質(zhì)）及應(yīng)用.

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（1）求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，可借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.

（2）求解涉及三角函數(shù)的值域（最值）的方法：①利用有界性；②轉(zhuǎn)化為Asin（ωx+φ）+k的形式，再根據(jù)單調(diào)性求解；③運用換元法：令sinx=t（或cosx=t），根據(jù)角度的范圍來確定t的范圍.

（3）求形如Asin（ωx+φ）+k的單調(diào)區(qū)間、對稱中心（軸），通常運用整體的思想，將ωx+φ整體代換.

（4）確定y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的解析式的步驟：A，k取決于函數(shù)的最大（?。┲担沪厝Q于周期；求φ可用特殊點代入法.

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■ 已知函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ）ω>0，φ<■，y=f（x）的部分圖象如圖1所示，則f■等于（ ）

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圖1

A. 2+■B. ■

C. ■ D. 2-■

破解思路 根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的周期，再求出ω；由圖象過點■，0，（0，1）確定φ，A的值，求出函數(shù)解析式，代入求得f■.

經(jīng)典答案 由圖和已知可得，T=2■-■=■，所以ω=2. 又圖象過點■，0，所以Atan■+φ=0，結(jié)合φ<■，得φ=■. 由圖象過點（0，1），得Atan■=1，所以A=1. 所以 f■=tan■+■=■. 選B.

■ 若將函數(shù)f（x）=2sin■x的圖象向左平移1個單位，然后向上平移2個單位后得到的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則函數(shù)g（x）=______________.

破解思路 先寫出f（x）平移變換后的解析式h（x）=2sin■（x+1）+2，再根據(jù)條件得到g（x）=h（2-x）.

經(jīng)典答案 圖象平移變化后得到h（x）=2sin■（x+1）+2的圖象，因為h（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以g（x）=2sin■（2-x+1）+2=2sin■（3-x）+2=2sin■x+2.

■ 如果已知函數(shù)f（x）=3sinωx-■（ω>0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對稱軸完全相同，且x∈0，■，那么f（x）的取值范圍是_____.

破解思路 由兩個函數(shù)的圖象的對稱軸完全相同，可以得到它們的周期相同，得ω=2，再由x∈0，■，求得f（x）的取值范圍.

經(jīng)典答案 由題意知，因為x∈0，■，所以2x-■∈-■，■，所以-■≤sin2x-■≤1，即f（x）的取值范圍是-■，3.

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1. 已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）ω>0，φ<■的部分圖象如圖2所示，則ω=________.

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圖2

2. 函數(shù)f（x）=acos（ax+θ）（a>0）圖象上兩相鄰的最低點與最高點之間距離的最小值是________.

3. 已知函數(shù)f（x）=Acos2（ωx+φ）+1A>0，ω>0，0<φ<■的最大值為3，f（x）的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為2，在y軸上的截距為2.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.