函數(shù)圖象與性質(zhì)

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由于函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，函數(shù)圖象是函數(shù)形的體現(xiàn)，所以在近幾年各地的高考數(shù)學(xué)試題中都有與函數(shù)圖象相關(guān)的試題，有的是“顯性”考查函數(shù)與圖象問題，即直接考查相關(guān)函數(shù)的圖象；有的是“隱性”考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即在題干中雖然沒有明確提到函數(shù)的圖象，但在解決問題的過程中又必然要用到相關(guān)函數(shù)的圖象. 從近幾年的試題來看，一般以中等難度、題型新穎的綜合試題出現(xiàn).

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（1）在復(fù)習(xí)和應(yīng)試中，要努力提高利用函數(shù)的圖象解決問題的意識.

（2）熟悉基本函數(shù)的圖象，掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換、伸縮變換是迅速準(zhǔn)確地作出函數(shù)圖象的基礎(chǔ).

（3）注意圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征之間的關(guān)系（如函數(shù)的定義域、值域、零點、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)在對應(yīng)圖象中的體現(xiàn)）.

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■ 設(shè)函數(shù)集合P={f（x）=log■（x+a）+ba=-■，0，■，1；b=-1， 0，1}，平面上的點集Q={（x，y）x=-■，0，■，1；y=-1，0，1}，則在同一直角坐標(biāo)系中，P中的函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

破解思路 由于Q是由12個確定的點組成的集合，而集合P是由12個確定的函數(shù)組成的集合，所以可對這12個函數(shù)逐個進行驗證，確定滿足條件的函數(shù)的個數(shù)，在操作時以分類討論的思想為指導(dǎo)，可簡化驗算的過程.

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圖1

經(jīng)典答案 如圖1，集合Q共有12個元qWEQ4idnBEbLLvmIUwy5pw==素（點），集合P中的元素均可通過把函數(shù)y=log■x的圖象進行平移而得到. 其中只通過左右平移就能得到的函數(shù)有：①y=log■（x+1）；②y=log■x+■；③y=log■x；④y=log■x-■.滿足條件的函數(shù)可通過對函數(shù)圖象①、②、③、④再作上下平移就可得到，其中①、②、③依次可分別得到兩個滿足條件的函數(shù)，而對④作上下平移后的函數(shù)至多經(jīng)過Q中的一個點.故滿足條件的函數(shù)的個數(shù)為6個.

評注 這是一道有關(guān)函數(shù)圖象的計數(shù)問題，而分類討論思想是解決較復(fù)雜的計數(shù)問題最常用的手段，因此在解決本題時，在明確集合P中的任意一個元素（函數(shù)）的圖象均與函數(shù)y=log■x的圖象全等的基礎(chǔ)上，還需注意分類討論思想的運用.

■ 若設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2-x）=f（2+x），當(dāng)x∈[-2，0]時， f（x）=■■-1，記g（x）=f（x）-loga（x+2）（其中a>0，a≠1），試討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，6）上零點的個數(shù).

破解思路 注意到g（x）的零點個數(shù)即為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=loga（x+2）的圖象公共點的個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）唯一確定，因此可先作出其圖象，再利用a的值的大小與函數(shù)y=loga（x+2）圖象之間的關(guān)系討論它們公共點的個數(shù).

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圖2

經(jīng)典答案 由f（2-x）=f（2+x）可知f（4+x）=f（-x），又因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），由此可得f（4+x）=f（x）. 當(dāng)x∈[-2，0]時， f（x）=■■-1，作出函數(shù)y=f（x）的圖象（如圖2），其中A（2，1），B（6，1）. 當(dāng)a=4時，y=loga（x+2）的圖象過點A（2，1），當(dāng)a=8時，y=loga（x+2）的圖象過點B（6，1）.

由圖象可知：①當(dāng)08時，g（x）在區(qū)間（-2，6）上有且僅有4個零點.

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1. 已知y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且當(dāng)x∈[-1，1]時f（x）=x2，y=f（x）與y=log■x的圖象的交點的個數(shù)為_______個.

2. 定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，有下列一些關(guān)于f（x）的判斷：①f（x）是周期函數(shù)；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；④f（x）在[-2，-1]上是減函數(shù). 其中正確的判斷是__________（把你認為正確判斷的番號都填上）.