用好格子圖，為發(fā)展學(xué)生空間觀念增效

自課程改革以后，教材提供了大量豐富而有效的素材，用以實(shí)現(xiàn)對學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)，格子圖就是其中的一種素材，縱觀整套人教版教材，發(fā)現(xiàn)格子圖的使用幾乎覆蓋了小學(xué)階段“圖形與幾何”中的所有平面圖形的內(nèi)容。那么格子圖在教材的編排中起到了怎樣的作用？格子圖對學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”以及空間觀念的建立有什么價(jià)值和作用？教師在教學(xué)中如何用好教材中提供的格子圖以及創(chuàng)造性地使用方格圖，使它的價(jià)值最大化？下面，筆者結(jié)合這些問題來談?wù)勛约簩κ褂酶褡訄D的一些看法和感悟。

一、格子圖在“圖形與幾何”教材中的編排情況

在新課程的“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容中大量出現(xiàn)了格子圖，筆者通過統(tǒng)計(jì)和分析，將出現(xiàn)過格子圖的“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容按照圖形的認(rèn)識、測量、圖形的運(yùn)動、圖形與位置進(jìn)行劃分匯總，并制成如下表格：

通過分析以上表格，可以發(fā)現(xiàn)格子圖的使用貫穿于整個(gè)小學(xué)階段的“圖形與幾何”內(nèi)容的學(xué)習(xí)，它是學(xué)生建構(gòu)空間觀念的一種有效的學(xué)習(xí)素材。因此在教學(xué)中教師要關(guān)注和挖掘格子圖的應(yīng)用價(jià)值，用好用透格子圖，更好地發(fā)揮其作用，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的建構(gòu)。

二、格子圖的應(yīng)用價(jià)值

格子圖在小學(xué)階段 “圖形與幾何”的教學(xué)中被廣泛應(yīng)用，無論是例題還是練習(xí)，都能找到它的身影。究其價(jià)值和在教學(xué)中起到的作用，筆者經(jīng)過概括，認(rèn)為有以下幾點(diǎn)。

（一）直觀——格子圖使幾何圖形特征的呈現(xiàn)一目了然

小學(xué)生主要是通過觀察獲得對簡單幾何形體和平面圖形的直觀經(jīng)驗(yàn)，而格子圖的最大特點(diǎn)就是使學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)幾何圖形的特征?？臻g觀念建立在學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)之上，在“圖形與幾何”內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，格子圖在這個(gè)過程中就肩負(fù)了幾何圖形由現(xiàn)象到本質(zhì)的過渡，在這個(gè)過渡的過程中幫助學(xué)生深入理解圖形特征，有效提升學(xué)生空間觀念。

例如：三上“平行四邊形的認(rèn)識”教材編排情況

在三年級上冊學(xué)習(xí)“平行四邊形”時(shí)，學(xué)生還沒有學(xué)過平行概念，學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)識僅僅停留在感受階段。如何讓學(xué)生在沒有學(xué)過平行概念的情況下也可以完成對平行四邊形的初步認(rèn)識，格子圖就很好地?fù)?dān)負(fù)起了認(rèn)識平行四邊形由現(xiàn)象到本質(zhì)的任務(wù)。我們不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)本節(jié)課的起點(diǎn)就是平移，這時(shí)格子圖所呈現(xiàn)出來的“平行”和“相等”關(guān)系就成為學(xué)生判斷平行四邊形的主要依據(jù)，學(xué)生通過在格子圖上數(shù)一數(shù)、移一移、圍一圍等方法對于平行四邊形的特征有了直觀經(jīng)驗(yàn)的積累，為學(xué)生在四年級上冊進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行四邊形打下基礎(chǔ)。

在接下來四上的梯形以及四下的三角形的學(xué)習(xí)過程中，也集中出現(xiàn)了格子圖與點(diǎn)子圖（點(diǎn)子圖是格子圖基礎(chǔ)上的變式），學(xué)生都能通過格子圖更加直觀地理解圖形的特征?？臻g觀念的形成是一個(gè)長期培養(yǎng)、逐步形成的過程。這一過程需要學(xué)生積累大量的直觀經(jīng)驗(yàn)，因此，教材中用格子圖作為基礎(chǔ)圖，能使學(xué)生在獲得“圖形與幾何”的基礎(chǔ)知識的同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

（二）鋪墊——格子圖為幾何圖形知識的探究架設(shè)橋梁

小學(xué)生對于幾何圖像的表象儲備不足，空間觀念和空間想象力弱，對于幾何圖形的重新組合或再造而產(chǎn)生新圖形的過程往往會感到比較困難。格子圖就能有效地在這個(gè)過程中起到了一個(gè)鋪墊的作用，為幾何圖形知識的探究架設(shè)橋梁，減緩學(xué)生的思維坡度。學(xué)生有了格子圖的鋪墊就能夠階梯式地進(jìn)行思考探究，從而有效提升學(xué)生的空間觀念。

例如：五上“平行四邊形的面積”教材編排情況

在五年級上冊學(xué)習(xí)“平行四邊形"的面積時(shí)，教材的編排意圖是讓學(xué)生先數(shù)格子求面積，進(jìn)而學(xué)習(xí)剪拼轉(zhuǎn)化的方法。剪拼轉(zhuǎn)化的方法是學(xué)生第一次接觸，學(xué)生對于這種方法的探究是有困難的，由此利用格子圖為這個(gè)探究過程作好鋪墊。學(xué)生一開始通過數(shù)格子計(jì)算面積，之后進(jìn)行平行四邊形和長方形的對比，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與等底等高的長方形面積是相等的。

教師可以通過讓學(xué)生討論比較數(shù)格子的方法，發(fā)現(xiàn)其中最為簡便的方法就是沿著高能把左邊的三角形（面積為4平方米）拼到右邊的三角形的空缺部分（面積為4平方米），轉(zhuǎn)化為長方形，來計(jì)算面積。學(xué)生在格子圖中有了這樣的思考和經(jīng)驗(yàn)，在接下來學(xué)習(xí)剪拼轉(zhuǎn)化的方法的時(shí)候，就能順著橋梁前行，水到渠成。

在學(xué)習(xí)三年級上冊“長方形和正方形的周長”以及三年級下冊“長方形和正方形的面積”的過程中，后面有以上這樣的練習(xí)，格子圖都起到很好的鋪墊作用，通過格子圖給學(xué)生簡單的數(shù)據(jù)提示，讓學(xué)生借助格子圖去探究周長的知識以及面積與周長之間的關(guān)系，在計(jì)算的基礎(chǔ)上建立圖形的表象，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在這個(gè)過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（三）輔助——格子圖是學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動的重要工具

圖形的運(yùn)動對于小學(xué)生來說，是相對比較抽象的，有一定難度的。那么，教師如何引導(dǎo)學(xué)生把抽象的空間運(yùn)動轉(zhuǎn)化為具體的、容易操作的教與學(xué)的過程？其實(shí)，格子圖就是這個(gè)過程中的一個(gè)重要工具，借助格子圖可以幫助學(xué)生認(rèn)識和描述空間圖形變換的過程，有效提升學(xué)生的空間觀念。

例如：二下“平移”教材編排情況

在二年級下冊學(xué)習(xí)“平移”前，學(xué)生已經(jīng)有不少生活當(dāng)中平移現(xiàn)象的經(jīng)驗(yàn)，如何把這些生活中平移的現(xiàn)象抽象出來轉(zhuǎn)換到數(shù)學(xué)中的平移？教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助格子圖這個(gè)工具去判斷一個(gè)圖形在方格紙上平移了多少格，同時(shí)在格子圖上選擇幾個(gè)能決定圖形形狀和大小的點(diǎn)，畫出簡單圖形平移幾格后的圖形。學(xué)生利用格子圖這個(gè)工具可以描述平移的運(yùn)動，定量刻畫物體的平移，這樣定量的刻畫又能加深學(xué)生對平移的認(rèn)識和理解。

在二上的“對稱圖形”、五下的“圖形的變換”以及六下的“圖形的放大和縮小”等內(nèi)容學(xué)習(xí)過程中，格子圖都是重要的工具。學(xué)生依靠格子圖的標(biāo)準(zhǔn)，通過格子圖這個(gè)工具，準(zhǔn)確地描述圖形位置、定量刻畫圖形的運(yùn)動，這樣的描述和刻畫又能加深學(xué)生對圖形運(yùn)動的認(rèn)識和理解。格子圖可以帶領(lǐng)學(xué)生從對圖形運(yùn)動的初步感知走向細(xì)致的分析，從現(xiàn)象走向本質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

（四）銜接——格子圖是連接圖形與位置的認(rèn)識紐帶

“圖形與位置”的知識學(xué)習(xí)對學(xué)生日常生活及今后的學(xué)習(xí)都十分有用，學(xué)生在平時(shí)的生活中已經(jīng)獲得了許多對“圖形與位置”的認(rèn)識，然而這些認(rèn)識大都是零散、模糊的。格子圖就是這樣一根紐帶，可以連接學(xué)生對位置的已有認(rèn)識和教材中的有關(guān)知識，讓學(xué)生從用生活經(jīng)驗(yàn)描述位置上升為用數(shù)學(xué)方法描述位置，格子圖上一條條水平和豎直的線，一組組平行與垂直的關(guān)系，將為學(xué)生建立圖形與位置的認(rèn)識提供有力的銜接，從而提升學(xué)生的空間觀念。

例如：六上“位置”教材編排情況

本節(jié)課要求學(xué)生用有序數(shù)來表示物體的位置。在六年級上冊學(xué)習(xí)“位置”之前，學(xué)生在一年級下冊已經(jīng)學(xué)習(xí)過用“第幾組第幾個(gè)”的方式來描述實(shí)際情境中物體的位置，并且在生活中也有許多類似的經(jīng)驗(yàn)，但具體如何用數(shù)學(xué)方法描述位置以及其中兩個(gè)要素的意義，學(xué)生的認(rèn)識還是比較零散、模糊的。格子圖則有效地將兩者銜接，讓學(xué)生借助格子圖去感受數(shù)對與具體情境中物體的位置之間一一對應(yīng)的關(guān)系，明確數(shù)對中兩個(gè)數(shù)的不同含義，會用數(shù)學(xué)方法來描述位置，同時(shí)為以后在平面直角坐標(biāo)系中表示一個(gè)點(diǎn)的位置的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

在一年級下冊的“位置”以及四年級下冊的“位置與方向”的教學(xué)前，學(xué)生已有許多生活中的認(rèn)識，格子圖起到了連接學(xué)生認(rèn)識和教材中知識的紐帶作用，學(xué)生依據(jù)格子圖上一條條水平和豎直的線，一組組平行與垂直的關(guān)系，將這些零散的認(rèn)識串成線，連成行，和教材中的知識進(jìn)行銜接，進(jìn)一步提升已有的經(jīng)驗(yàn)，來構(gòu)建位置和方向的感知，從而提升學(xué)生的空間觀念。

三、格子圖的應(yīng)用策略

根據(jù)上述分析，教材中豐富的格子圖在圖形與幾何教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值不可小覷，可以有效地提升學(xué)生的空間觀念。在教學(xué)中，教師要將教材中已有的格子圖用好用透，發(fā)揮它的最大價(jià)值，有些格子圖隱含在教材的事物模型中，教師要從中抽象出格子圖，去建構(gòu)學(xué)生的空間觀念，有時(shí)候圖形與幾何中有的內(nèi)容沒有出現(xiàn)格子圖，當(dāng)有需要的時(shí)候，教師甚至可以創(chuàng)造性地使用格子圖，利用格子圖來發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（一）挖掘格子圖的最大價(jià)值，發(fā)展學(xué)生空間觀念

格子圖對于發(fā)展學(xué)生的空間觀念是很有幫助的，除了用好教材現(xiàn)有的格子圖，教師還可以深入研讀教材，將其中的格子圖用深用透，挖掘格子圖的最大價(jià)值，提升學(xué)生的空間觀念。

例如：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》例33教學(xué)

圖中每個(gè)小正方形的面積為1個(gè)面積單位，試估計(jì)曲線所圍圖形的面積，在教學(xué)中可以運(yùn)用不同的方法估計(jì)圖形的面積，如：

方法1：數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個(gè)整格，再數(shù)一數(shù)有幾個(gè)半格，把不滿整格的進(jìn)行整合，最后累加起來估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。但是這種估算不規(guī)則圖形面積的方法并沒能體現(xiàn)估算的價(jià)值，也就無法提升學(xué)生的空間觀念。

方法2：先數(shù)出圖形內(nèi)包含的完整小正方形數(shù)，估計(jì)這個(gè)圖形的面積，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上，再加上圖形邊緣接觸到的所有小正方形數(shù)，估計(jì)這個(gè)圖形的面積，實(shí)際面積就應(yīng)該在這兩個(gè)估計(jì)值之間。然而此題還可以追求更加豐富和深刻的內(nèi)涵。

在方法2的基礎(chǔ)上，教師還可以挖掘格子圖對于圖形的測量估計(jì)的最大價(jià)值，教師可以追問學(xué)生：那么還有什么方法能使估算的結(jié)果更接近實(shí)際面積的嗎？引導(dǎo)學(xué)生將格子圖中的所有的方格等分成更小的方格，探索出更接近實(shí)際面積的估計(jì)值，在這個(gè)過程中提升學(xué)生的空間觀念，巧妙地滲透極限思想。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確要求學(xué)生會用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。因此，在估測的過程中教師不能滿足于簡單的運(yùn)用方格圖，用數(shù)方格的方法去估測，而要仔細(xì)研讀教材，去用深用透格子圖，挖掘格子圖的最大價(jià)值。

（二）從事物模型中抽象出格子圖，發(fā)展學(xué)生空間觀念

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，教材的有些事物模型的背后隱含著格子圖，而這隱含著的格子圖有助于將學(xué)生的空間感知由具體轉(zhuǎn)為抽象。教師需要仔細(xì)研讀教材，從事物模型中抽象出格子圖，為學(xué)生提供空間想象的機(jī)會，提升學(xué)生的空間觀念。

例如：一下“位置”教材編排情況

對于一年級下冊“位置”的教學(xué)，教材提出結(jié)合生活實(shí)際，讓學(xué)生從兩個(gè)維度描述一個(gè)物體的位置（不要求用數(shù)對來描述），教材從學(xué)生最熟悉的座位引入。教學(xué)時(shí)，教師讓學(xué)生說出自己的班里有幾組，每組有幾人，再說出自己的座位。根據(jù)學(xué)生的回答，教師指出：要確定自己的位置，既要說出自己在第幾組，又要說出自己在第幾個(gè)（或第幾排）。通過仔細(xì)研讀教材，不難發(fā)現(xiàn)，隱含在學(xué)生熟悉的座位排序這個(gè)事物模型的背后就是格子圖，教師可以從這個(gè)具體情境中抽象出格子圖，讓學(xué)生結(jié)合具體情境在格子圖上指一指、說一說、畫一畫，給學(xué)生提供一個(gè)從具體到抽象的空間想象的機(jī)會，通過格子圖提升學(xué)生對位置的理解和認(rèn)知基礎(chǔ)，建構(gòu)學(xué)生的空間觀念。

從教材中學(xué)生的座位排序的事物模型，可以抽象出隱含在其中的格子圖，結(jié)合具體情境讓學(xué)生在格子圖上加深對位置的認(rèn)知和理解。從一下“位置”后面的練習(xí)中可以發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)直接出現(xiàn)了格子圖，正是有了開始結(jié)合具體情境讓學(xué)生在格子圖上指一指、說一說、畫一畫的經(jīng)驗(yàn)，訓(xùn)練了學(xué)生的空間想象能力，學(xué)生就能更好地去解決這樣的問題，從而建構(gòu)空間觀念。

（三）創(chuàng)造性地使用格子圖，發(fā)展學(xué)生空間觀念

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，有時(shí)候有的內(nèi)容中沒有出現(xiàn)格子圖，當(dāng)有需要的時(shí)候，教師可以創(chuàng)造性地使用格子圖，利用格子圖的一些特性為新知識作一個(gè)延伸拓展，發(fā)散學(xué)生的思維，提升學(xué)生的空間觀念。

例如：“三角形的面積公式推導(dǎo)”教材編排情況

人教版教材把三角形面積公式推導(dǎo)的重點(diǎn)放在將兩個(gè)完全一樣的三角形拼成平行四邊形的擴(kuò)拼法的研究中，學(xué)生學(xué)完后腦海中也就只有這一種轉(zhuǎn)化的方法。在之前學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式推導(dǎo)中，通過格子圖的鋪墊學(xué)習(xí)了剪拼轉(zhuǎn)化的方法，教師完全也可以將剪拼轉(zhuǎn)化的方法遷移到三角形的面積推導(dǎo)上來，作為面積公式推導(dǎo)方法的拓展延伸。三角形的面積公式推導(dǎo)中沒有安排格子圖，教師可以創(chuàng)造性地應(yīng)用格子圖，讓學(xué)生在數(shù)格子的過程中去發(fā)現(xiàn)可以把三角形的相鄰兩邊的中點(diǎn)連接起來，并沿著這條連線把原三角形剪成一個(gè)小三角形和一個(gè)梯形，然后拼成一個(gè)平行四邊形。在這個(gè)過程中去發(fā)散學(xué)生的思維，去擴(kuò)充學(xué)生的空間觀念。

如果沒有格子圖，學(xué)生在三角形面積公式推導(dǎo)過程中是很難想到用剪拼轉(zhuǎn)化的方法的。整個(gè)推導(dǎo)的過程，正是創(chuàng)造性地使用了格子圖，使學(xué)生有了格子圖這一腳手架，才將三角形面積的剪拼轉(zhuǎn)化的方法演繹得淋漓盡致。使學(xué)生在學(xué)習(xí)將兩個(gè)完全一樣的三角形拼成平行四邊形的擴(kuò)拼法的基礎(chǔ)上，有了方法的拓展延伸，從而提升了學(xué)生的思維高度，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

格子圖貫穿于整個(gè)小學(xué)階段“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)過程，每幅格子圖都具有以自身特有的優(yōu)勢來提升學(xué)生空間觀念的作用。教師要用好用透格子圖，挖掘格子圖的最大價(jià)值，能夠從教材的事物模型中抽象出格子圖，甚至能夠創(chuàng)造性地使用格子圖，開發(fā)出它更多的用途，使它的價(jià)值發(fā)揮到最大化，真正有效建構(gòu)和提升學(xué)生的空間觀念。