什么是“探索規(guī)律”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)（2011年版）”）在第一學(xué)段和第二學(xué)段分別列入了“探索規(guī)律”的課程內(nèi)容，其中第一學(xué)段對(duì)這一內(nèi)容給出的解釋為“探索簡(jiǎn)單情境下的變化規(guī)律”，第二學(xué)段的解釋為“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)”。這些說(shuō)法尚顯籠統(tǒng)、寬泛。需要進(jìn)一步搞清楚的問(wèn)題是：這里所說(shuō)的情境具有什么特點(diǎn)？其中的“規(guī)律”是什么意思？“探索規(guī)律”指的是什么樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)？

一、情境及其規(guī)律

為了理解這里所說(shuō)“規(guī)律”的含義，先來(lái)分析“課標(biāo)（2011年版）”中給出的例題。針對(duì)“探索規(guī)律”這一課程內(nèi)容，“課標(biāo)（2011年版）”中一共出現(xiàn)了4道例題，其中第一學(xué)段共有兩道，分別是“課標(biāo)（2011年版）”中的例9和例10。

例9：在下列橫線上填上合適的數(shù)字、字母或圖形，并說(shuō)明理由。

1，1，2；1，1，2；_____，_____ ，_____。

A，A，B；A，A，B；_____，_____ ，_____。

，，；，，；_____，_____ ，_____。

例10：在圖1中，描出橫排和豎排上兩個(gè)數(shù)相加等于10的格子，再分別描出相加等于6、9的格子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

圖1 課標(biāo)例10圖

例9所給出情境的特點(diǎn)是多個(gè)對(duì)象（數(shù)字、字母、圖形）有序排列，并且按照確定的個(gè)數(shù)3重復(fù)出現(xiàn)，構(gòu)成循環(huán)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律后就可以預(yù)見(jiàn)后面相應(yīng)位置的情況了。例10的特點(diǎn)是給相加為10的格子涂色后，恰好構(gòu)成了自左上到右下的“對(duì)角線”圖案（圖1中字母A處）?！罢n標(biāo)（2011年版）”第二學(xué)段課程內(nèi)容中關(guān)于“探索規(guī)律”的兩道例題分別是例30和例31。

例30：聯(lián)歡會(huì)上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)綠氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你知道第16個(gè)氣球是什么顏色嗎？

例31：一個(gè)房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)共60條，那么有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？

例30所描述情境的特點(diǎn)與前面例9是類似的，仍然是多個(gè)對(duì)象有序排列，并且按照固定個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，體現(xiàn)的是循環(huán)的規(guī)律。例31從表面看不具備前面例題中“有序排列”和“圖案”的特征，但可以用下面的圖2將問(wèn)題情境改造為“有序排列”的表述方式：

圖2 例31情境改造圖

圖2第一行表示椅子個(gè)數(shù)依次遞增的有序排列，第二行表示凳子個(gè)數(shù)依次遞減的有序排列，第三行則顯示總腿數(shù)“每個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)多1”的排列規(guī)律。

綜上4道例題可以發(fā)現(xiàn)，這里所說(shuō)的規(guī)律指的是運(yùn)動(dòng)或變化過(guò)程中的不變因素，這樣的不變因素將不同對(duì)象或同一對(duì)象的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而使得這種運(yùn)動(dòng)或變化狀態(tài)和趨勢(shì)可以把握。簡(jiǎn)單地說(shuō)，所謂規(guī)律就是“變中的不變”，比如前面的例31的圖2中，隨著椅子和凳子個(gè)數(shù)的不斷變化，總腿數(shù)從48開(kāi)始也在不斷變化，在這個(gè)變化過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的椅子個(gè)數(shù)和凳子個(gè)數(shù)的和（16）是確定不變的，進(jìn)而導(dǎo)致總腿數(shù)每次增加1也是不變的，正是這樣的規(guī)律使得椅子個(gè)數(shù)、凳子個(gè)數(shù)以及總腿數(shù)之間建立了聯(lián)系，進(jìn)而使得對(duì)這些變化狀態(tài)和趨勢(shì)可以把握了。

與這一含義較為接近的英文單詞應(yīng)該是“Pattern”，這一單詞在英漢詞典中通常譯為“模式”。《麥克米倫高階英語(yǔ)詞典》針對(duì)“Pattern”的第一條釋義為：“一系列行為或事件，共同展示了事物是如何規(guī)范地發(fā)生與發(fā)展的。”與這里所說(shuō)的“規(guī)律”的含義基本一致。因此，所謂探索規(guī)律的一個(gè)重要內(nèi)容就是在運(yùn)動(dòng)與變化過(guò)程中尋找不變因素，在國(guó)外許多教科書(shū)中把這樣的內(nèi)容叫作“發(fā)現(xiàn)規(guī)律（Finding Pattern）”，就是我們通常所說(shuō)的“找規(guī)律”。

二、怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律

“發(fā)現(xiàn)”作為人類的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，要基于客觀存在和主觀意愿的共同作用。這種主觀意愿主要包括兩方面，第一是相信規(guī)律的存在，第二是有把握事物及其變化的意愿或動(dòng)機(jī)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)個(gè)別、具體對(duì)象及其關(guān)系的觀察和比較，找到能夠制約這些對(duì)象及其關(guān)系的確定性因素，進(jìn)而通過(guò)歸納和解釋確定具有普遍性的規(guī)律，之后根據(jù)情況對(duì)這樣的規(guī)律進(jìn)行推廣和應(yīng)用。

如果把“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”看作是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，那么這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)一般來(lái)說(shuō)起碼應(yīng)當(dāng)包括六個(gè)環(huán)節(jié)。一是建立“目標(biāo)和動(dòng)機(jī)”，這一環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)習(xí)者明確“我想要做什么”或者“我需要做什么”，為后面的活動(dòng)明確目標(biāo)，形成動(dòng)機(jī)；二是明確“情境與對(duì)象”，這個(gè)環(huán)節(jié)具有承上啟下的作用，一方面可以幫助學(xué)生回憶已有的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，另一方面建立后面活動(dòng)的觀察對(duì)象；三是針對(duì)相關(guān)情境或研究對(duì)象的“觀察與比較”，這是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的核心環(huán)節(jié)，不僅需要觀察對(duì)象本身，更需要把注意力放在對(duì)象之間的關(guān)系方面；四是對(duì)初步結(jié)論的“歸納與解釋”，通過(guò)觀察與比較，可能會(huì)得到一些相對(duì)零散的結(jié)論或者猜想，這時(shí)就需要找到它們的共性，歸納出具有一定普遍性的結(jié)論或者猜想，而后對(duì)這樣的結(jié)論或者猜想的正確性進(jìn)行解釋和驗(yàn)證；五是對(duì)所得結(jié)論的“推廣或應(yīng)用”，任何一個(gè)規(guī)律往往會(huì)孕育著更具普遍性的規(guī)律，同時(shí)，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律往往意味著很多相關(guān)問(wèn)題可以得到解釋，因此這個(gè)環(huán)節(jié)目的在于培養(yǎng)學(xué)生推廣與應(yīng)用的意識(shí)；六是對(duì)發(fā)現(xiàn)過(guò)程和結(jié)論的“反思和總結(jié)”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程中會(huì)生成很多想法，把這些想法及時(shí)總結(jié)并固化為文字，這樣的過(guò)程可以培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)反思和總結(jié)的習(xí)慣，同時(shí)逐步培養(yǎng)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)自己想法的能力。下面用一個(gè)實(shí)際例子說(shuō)明這樣的過(guò)程。

20世紀(jì)末期曾經(jīng)出現(xiàn)了一個(gè)世界范圍的困惑與爭(zhēng)論：即將來(lái)臨的21世紀(jì)的第一年應(yīng)當(dāng)是2000年，還是2001年？[1]要想回答這個(gè)問(wèn)題，自然應(yīng)當(dāng)把公元紀(jì)年的規(guī)律搞清楚。首先需要明確兩個(gè)前提。第一，公元紀(jì)年起始年為公元1年或元年，也就是沒(méi)有公元0年；第二，一個(gè)世紀(jì)規(guī)定為100年。為了便于觀察和比較，可以把從公元元年開(kāi)始的紀(jì)年方式有序地排列出來(lái)：

圖3 公元紀(jì)年圖示

觀察圖3，縱向看公元1世紀(jì)最后一年是公元100年，公元2世紀(jì)最后一年是公元200年，依此類推可以得到初步結(jié)論：“公元幾世紀(jì)最后一年的年數(shù)是n×100”。據(jù)此就可以初步得到結(jié)論，21世紀(jì)最后一年是2100年，因此倒推100年得到21世紀(jì)第一年是2001年。

橫向看相鄰兩個(gè)世紀(jì)對(duì)應(yīng)年數(shù)相差100，比如公元3世紀(jì)第一年201年比公元2世紀(jì)第一年101年多100。由此推斷出21世紀(jì)第一年應(yīng)當(dāng)比1多20個(gè)100，因此21世紀(jì)第一年應(yīng)當(dāng)是2001年。也可以先求出20世紀(jì)最后一年是2000年，進(jìn)而得到21世紀(jì)第一年是2001年。這樣就進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論的正確。運(yùn)用同樣的規(guī)律可以知道公元22世紀(jì)的第一年是2101年，等等。如果把以上內(nèi)容設(shè)計(jì)成一節(jié)課的教學(xué)方案（簡(jiǎn)稱“教案”），則可以用如下表格的方式呈現(xiàn)。

實(shí)際上課過(guò)程中，可以將表中的“學(xué)習(xí)活動(dòng)”和“學(xué)習(xí)內(nèi)容”單獨(dú)打印成“學(xué)習(xí)活動(dòng)記錄單”，印發(fā)給學(xué)生人手一份。學(xué)生可以自己閱讀學(xué)習(xí)任務(wù)和活動(dòng)。以上活動(dòng)的核心環(huán)節(jié)是“觀察”，觀察的重點(diǎn)特別要關(guān)注對(duì)象之間的關(guān)系，這種關(guān)系往往體現(xiàn)為“變化過(guò)程中的不變因素”。這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)說(shuō)突出了規(guī)律的本質(zhì)。除此之外，學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)中還應(yīng)當(dāng)重視滲透文化和關(guān)聯(lián)思考[2]。比如表中關(guān)于牛頓生卒時(shí)間問(wèn)題以及直尺刻度問(wèn)題的設(shè)計(jì)，都是出于這種考慮。

三、廣義的規(guī)律

廣義的規(guī)律指的是事物之間必然的聯(lián)系，這樣的聯(lián)系大致有兩種類型。一種是前面所說(shuō)的“運(yùn)動(dòng)與變化過(guò)程中的不變因素”，需要通過(guò)觀察和比較去發(fā)現(xiàn)，不妨叫作“顯性的規(guī)律”。還有一種事物之間的聯(lián)系體現(xiàn)為“原因和結(jié)果”或“本質(zhì)與現(xiàn)象”之間依賴與制約的關(guān)系。通過(guò)觀察與比較往往發(fā)現(xiàn)的是“結(jié)果”或“現(xiàn)象”這樣顯性的內(nèi)容，探索規(guī)律還應(yīng)當(dāng)包括揭示產(chǎn)生結(jié)果的“原因”，或?qū)е卢F(xiàn)象發(fā)生的“本質(zhì)”。這樣的規(guī)律可以稱之為“隱性的規(guī)律”。下面用小學(xué)數(shù)學(xué)課程中“數(shù)的整除特征”為例進(jìn)行說(shuō)明。

“2，3，5的整除特征”通常是小學(xué)五年級(jí)的課程內(nèi)容。其教學(xué)過(guò)程可以是通過(guò)觀察和比較一些具體特例，找到“變化中的不變因素”，而后歸納出結(jié)論。以“5的整除特征”為例，人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)-數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)》關(guān)于這一內(nèi)容的安排，是先在1～100的數(shù)表中找到5的倍數(shù)，然后發(fā)現(xiàn)其個(gè)位數(shù)字都是5或0，因此得到“個(gè)位數(shù)字為5或0的數(shù)是5的倍數(shù)”的結(jié)論。（見(jiàn)圖4）

圖4 “5的整除特征”教科書(shū)掃描圖

這樣的設(shè)計(jì)存在兩個(gè)問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是從特例中歸納（實(shí)際上是“不完全歸納”）出的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是“如果一個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)，那么其個(gè)位數(shù)字是5或0”，而不是其逆命題“如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5或0，那么這個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)”。[3]第二個(gè)問(wèn)題是沒(méi)有引發(fā)學(xué)生去進(jìn)一步探索隱性的規(guī)律，也就是5的倍數(shù)具有這種特征的原因是什么？為什么5和2具有相同的整除特征？

事實(shí)上，任何一個(gè)正整數(shù)都可以寫成一個(gè)10的倍數(shù)與其個(gè)位數(shù)字之和的形式，比如84可以寫成“8×10+4”，2015可以寫成“201×10+5”等等。而10是5的倍數(shù)，因此這個(gè)數(shù)是否為5的倍數(shù)就由個(gè)位數(shù)字決定了。同樣道理，10同時(shí)也是2的倍數(shù)，所以2和5的整除特征是一樣的。這樣的內(nèi)容還能為學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)和物理中的“科學(xué)記數(shù)法”作鋪墊，所謂“科學(xué)記數(shù)法”就是把一個(gè)多位數(shù)，比如n+1位數(shù)“”可以寫成如下的形式：。[4]

基于以上分析，為了引導(dǎo)學(xué)生用“探索規(guī)律”的過(guò)程學(xué)習(xí)“數(shù)的整除特征”這一內(nèi)容，可以將2和5的整除特征放在一起同時(shí)學(xué)習(xí)，為此可以設(shè)計(jì)如下的教學(xué)方案。（見(jiàn)表2）

這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)與前面“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的設(shè)計(jì)框架是一樣的，其中對(duì)隱性規(guī)律的探索體現(xiàn)于“歸納與解釋”這個(gè)環(huán)節(jié)中了。

“課標(biāo)（2011年版）”以及教科書(shū)是將“探索規(guī)律”與諸如數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算以及常見(jiàn)的量并列為課程內(nèi)容，這可能是想突出這一內(nèi)容的重要性。事實(shí)上，應(yīng)當(dāng)把探索規(guī)律看作人的認(rèn)識(shí)活動(dòng)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，應(yīng)當(dāng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中。

注釋與參考文獻(xiàn)：

[1]裘明. 21世紀(jì)第一年為何年[J]. 科技術(shù)語(yǔ)研究，1999（1）.

[2]郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪兒做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（9）.

[3]郜舒竹. 歸納的風(fēng)險(xiǎn)[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2011（11）.

[4] 注釋：還可以寫成更簡(jiǎn)單的形式“”.