習題巧拓寬，探究促發(fā)展

［摘　　要］　本文詳細闡述了一堂生動的數(shù)學教學課：從一道動手操作題出發(fā)，探討了圓繞著直線、三角形、四邊形、圓等滾動一圈，滾圓自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，并給予了點評.

［關(guān)鍵詞］　習題拓展；教學實錄；教學評析；探究意識；探究能力

北師大數(shù)學九年級下冊第三章《圓》第6節(jié)《圓與圓的位置關(guān)系》問題解決第3題是一道動手操作題.　問題如下：如圖1，取兩枚大小相同的硬幣，將其中一枚固定在桌上，另一枚沿著固定硬幣的邊緣滾動一周，那么滾動的硬幣自身轉(zhuǎn)了多少圈？

■

完成該問題的教學前，四川宣漢縣華景中學蔡利明老師在部分教師中做了調(diào)查：在未動手操作前的直觀猜測中，均認為自身轉(zhuǎn)了一圈，實際操作后對滾動的硬幣自身轉(zhuǎn)了兩圈感到不理解，更不知如何分析該問題.　為此，蔡利明老師制作了課件，設(shè)計從簡單到復雜的相關(guān)問題，用60分鐘的時間對《圓的滾動》做了專題研究，讓學生對該問題有了較為清晰的了解和認識，取得較好的教學效果.　本次教學過程實錄如下.

■　學生猜想

師：同學們，《圓與圓的位置關(guān)系》這節(jié)教材后面有一道練習題，是一個動手操作題.　對這道題進行深入研究可以培養(yǎng)同學們分析問題、解決問題的能力.　本節(jié)課我們以這個問題為契機做《圓的滾動》專題研究.　請翻到課本137頁，閱讀問題解決中的第3題.

（學生仔細閱讀問題）［稍后］

師：憑你的直觀感覺，給問題一個答案，你認為滾圓本身自轉(zhuǎn)了多少圈？

（學生陳萬舉手，教師示意回答）

生陳萬：2圈.

師：（板書：2圈）陳萬同學認為轉(zhuǎn)了兩圈.　好，還有沒有其他答案？

（學生有人小聲嘀咕：錯了）

師：有的同學說錯了.　既然錯了，那你認為是多少圈？

（學生羅小平舉手）

師：羅小平同學，你說.

生羅小平：1圈.

師：（板書：1圈）羅小平同學認為轉(zhuǎn)了1圈，還有其他答案嗎？

（學生無語）

師：認為是1圈的請舉手，看一下贊成量有多大.?。▽W生有很多人舉手）大概有80%的同學認為轉(zhuǎn)了1圈.　好，手放下.　認為是2圈的同學請舉手.　（只有幾人舉手）你們有點勢單力薄.　好，請放下.

師：那么，你能否給你的判斷說個理由呢？請大膽地說出你的想法.

師：1圈的同學請舉手.　（前述部分學生舉手，教師示意其中一位同學）好，這位同學，說說你的想法.

生1：這兩個圓的周長相等，滾圓繞固定圓的周長轉(zhuǎn)一圈，所以自轉(zhuǎn)了1圈.

師：（示意學生坐下，有意強化學生這一認識）想來也是這樣.　兩個圓在這一點接觸（指出接觸點），滾一圈后還是這兩個點接觸，所以滾一圈.　很好，這位同學勇敢地說出了他的想法.　那么，認為轉(zhuǎn)2圈的同學，能不能說出你的理由？你們?nèi)藬?shù)少些，勢單力薄，理由必須要強大才行啰.?。ń處熓疽怅惾f回答）

生陳萬：（未表述清楚）

師：（示意學生坐下）估計是沒有想清楚，請坐下.　那么，究竟是轉(zhuǎn)1圈還是轉(zhuǎn)2圈，我們可以通過實驗來研究.　課前我讓同學們準備了2個大小一樣的瓶蓋來代替硬幣做實驗.?。▽W生躁動，準備動手）同學們先不要忙，實驗之前我們先要明白滾動的要求和圓自轉(zhuǎn)1圈的意義.?。ㄆ溜@圓滾動，如圖2）滾動的要求就是這樣：滾動中不能有滑動，什么意思呢？我這兒再給同學們演示一下.

師：（教師用準備的大紙版圓演示說明滾動的要求，如圖2）（滾動時）：這就是——（拖長音）

生齊：滾動.

師：很好，這就是滾動.?。ㄓ诌M行滑動）這就是滑動.　滾動當中不能有滑動.　那么滾動1圈又是什么意思呢？（重新屏顯圖2，未滾動）同學們看箭頭方向朝下，這個圓與直線有什么位置關(guān)系？

生齊：垂直.

師：（笑）圓與直線會垂直嗎？

生齊：（也笑）相切.

師：對，圓與直線相切.?。▌赢嬶@示圓滾動）圓由箭頭方向朝下與直線相切滾動到再次箭頭方向朝下與直線相切，為圓本身自轉(zhuǎn)1圈.　明白了滾動的要求和圓自身轉(zhuǎn)動1圈的意義，下面我們就可以動手實驗探索.

■　動手試驗

（學生動手實驗，教師巡視中發(fā)現(xiàn)，學生未做好接觸點的標記，教師提示學生）

師：同學們先不要動手，不要盲目實驗，我們先來分析一下實驗的做法.　轉(zhuǎn)動之前先要做好標記，想一想，先要做好哪些標記呢？

生齊：接觸點.

師：對，只有標記了接觸點，才知道什么時候滾了1圈.　還要標記什么呢？

生齊：箭頭的方向.

師：不是箭頭的方向，而是滾圓哪一點朝上.　只有這樣，你才知道滾圓自身轉(zhuǎn)了多少圈.

下面同學們就可以動手實驗.　注意，同排兩位同學要配合.

？搖（學生動手實驗，教師巡視，不時根據(jù)情況提示學生：可以一個同學固定圓，一個同學轉(zhuǎn)動.　注意換手的時候不要滑動.　教師詢問部分小組情況，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)小組完成實驗后，繼續(xù)）

師：同學們停下了，很多小組成功地完成了實驗，老師這兒的成功是說他們得出了結(jié)果.　下面我們交流一下實驗的結(jié)果.　這位同學（示意），說一說，你們組的實驗結(jié)果.

生2：（看另一位同學一眼，笑說）1圈.?。ㄓ型瑢W喊1圈）

師：還有沒有也是1圈的？注意啊，要成功地做出實驗的.?。ê芏鄬W生舉手，教師示意不同的同學）這位同學，你說.

生3：1圈.

師：你們這一組？

生4：1圈.

師：你們這一組也是1圈？

生5：1圈.?。o回答2圈的）

師：你們這是成功地做出了實驗嗎？

生齊：是！

師：注意，你們這是偽成功，偽，假的意思.？搖（停頓）那么是多少圈呢？同學們看教師的實驗.

（教師課件展示硬幣轉(zhuǎn)動，圖3）

■

師：為了便于觀察，教師圓中畫了3條直徑.　同學們觀察在不同空白位置時，滾圓與硬幣的接觸點，看看滾圓究竟自轉(zhuǎn)了幾圈.

（教師演示完整個過程）

師：同學們觀察，最后轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：2圈.

師：因此，剛才同學們的結(jié)果確實是“偽成功”.　陳萬同學這個集體雖然勢單力薄，但是感覺良好.?。ㄉΓ┪覀兒芏嗤瑢W感覺欠佳.

（課件云圖接連變換以下文字：確實是2圈.　怎么與想的不一樣？這究竟是怎么回事呢？）

師：要解決這個問題，我們要從最基本的問題開始研究.

■　探究分析

環(huán)節(jié)一

師：請同學們翻到課本127頁，解答隨堂練習第2題.

（如圖4，一枚半徑為r的硬幣沿直線滾動一圈，圓心經(jīng)過的距離d是多少？）

（學生稍事思考后）

師：這道題很簡單，可以大膽地說，多少？

生齊：πd.

師：嗯，πd，d是什么？

生齊：直徑.

師：直徑，如果用半徑說呢？

生齊：2πr.

師：（演示滾動）對，2πr.　圓心移動的距離為什么是2πr，你能不能做出解釋？（學生沉默）（圖上出示滾動前后圓心連線O■O■，如圖5）文德美同學，你能不能說一說？

（文德美站立，無語）（教師提示）

師：圖5中，圖形O1ABO2是什么圖形？

生齊：長方形.

師：長方形，對，也叫矩形.　為什么是一個長方形呢？（學生稍事思考）文德美同學，你能不能說明理由？

生文德美：（略作思考）因為圓與直線相切，所以圖形是矩形.

師：很好，不過沒有陳述清楚.

師：兩圓與直線相切，O■A，O■B與AB有什么關(guān)系？

生齊：垂直.

師：因此，O■A，O■B有什么關(guān)系？

生齊：平行.

師：很好，它們除了平行，大小還有什么關(guān)系？

生齊：相等.

師：對，它們都是圓的半徑，因此相等.　它們既相等又平行，所以這個圖形是——

生齊：平行四邊形.

師：對，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.　又由于這個角是直角（指角∠O■AB），因此這個圖形是——

生齊：矩形.

師：矩形的對邊相等，所以，O■　O■等于AB.　AB又等于什么？

生齊：圓的周長.

師：為什么呢？

生齊：因為圓滾了1圈.

師：好，所以說，圓心經(jīng)過的距離d=2πr.　這是基礎(chǔ)，有這個認識，我們就可以解決前面提出的問題.　當然，中間的過程很奇妙.　把這個問題變換一下，看下面的問題：（如圖5），線段AB=2πr，一個半徑為r的圓從A滾動到B，圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？圓心經(jīng)過的距離d是多少？？搖

■

（板書：圈數(shù)、路線長）

（零星聲音：1圈）

師：1圈，同學們回答得不理直氣壯.

下面，我們同樣可以動手探索一下.?。▽W生準備動手）同學們先不要動手，先聽老師分析.

師：先要得到什么？

生齊：直線.

師：得到一條直線？

生齊（自糾）：線段.

師：對，得到一條線段AB，AB多長？

生齊：2πr.

師：那么怎樣得到一條長為2πr的線段呢？（略停頓）當然，這個2πr是針對你的圓而言.

生齊：計算.

師：計算行嗎？（部分學生喊不行）可以，量出直徑，就可以計算出周長.　但，還有更快的方法，怎么辦？（下面一位學生在說方法）好，這位同學在喊（示意），肯定有他的方法.　說一說你的方法.

生6：可以讓圓在直線上滾1圈.

師：很好，讓半徑為r的圓在直線上滾動1圈，就可以得到長為2πr的線段.?。ń處熀诎迳涎菔荆嵝褕A必須與直線相切，提示圓滾動時用三角板與直線相靠，演示完后）同學們按老師的方法操作.

（學生動手畫長為2πr的線段AB，教師巡視，提醒學生圓不要滑動，要畫準確，過一會還要用.?。?/p>

師：畫好后，同學們再研究剛才的問題.

（教師繼續(xù)巡視，觀察學生動手，詢問經(jīng)過，大多數(shù)同學結(jié)束后，繼續(xù)）

師：好，同學們注意了，我們交流一下結(jié)果.　圓滾了幾圈？

生齊：1圈.

師：很好，只轉(zhuǎn)了1圈.　這個問題很簡單，根據(jù)我們剛才畫長為2πr的線段的過程，也可以看出.?。ㄆ溜@滾動過程）那么，圓心經(jīng)過的距離是多少呢？

生齊：2πr.

師：為什么？

生齊：圓心移動的距離與AB一樣長.?。ㄆ溜@圓心移動的軌跡）

師：對的，圓心移動的距離為2πr.

（教師板書：——？搖1圈，2πr）

環(huán)節(jié)二

師：好，下面我們再把這個圖形做一個變化.?。ㄆ溜@：如圖6，線段AB=2πr，把它折為相等的兩段，并且垂直.　一個半徑為r的圓從A滾動到B，圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？圓心經(jīng)過的路線長是多少？）（師邊讀題邊說明）還是先自己猜一猜，看哪些同學的感覺好一些.

■

（學生私下議論）

師：這位同學（示意），你來說一說.

生7：1圈.

師：好，你說（示意被問同學）

生8：1圈.

師：為什么是1圈呢？（有同學回應(yīng)因為AB還是一樣長）對，AB還是長為2πr.　那么，究竟是不是還是滾1圈呢？同學們還是先動手實驗.

師：（部分學生準備動手，教師提醒）同學們先不要動手，先分析一下怎樣得到折線ACB？（黑板上演示）先量出AB的——

生：長度.

師：對，先量出AB的長度，再找到AB的中點（標上C），然后把這一段擦去（指線段），再畫CB與AC垂直，且與原來的CB相等.　同學們按老師的方法，先畫出折線ACB，再動手實驗.

（學生動手實驗，教師巡視，提醒學生折線的長度不能畫錯，大多數(shù)小組畫完后）

師：同學們停下，滾圓如何滾，老師教同學們一個方法（黑板演示），用三角板的直角對準這個角，兩直角邊與折線重合，滾圓靠在三角板的邊緣滾動.　下面自己動手操作.

（學生兩人配合，用三角板靠線進行滾動實驗，教師巡視，提醒：原箭頭朝下，滾結(jié)束后，箭頭又朝向哪個方向.　學生大致滾完后）

師：還是不是1圈？

生齊：不是.

師：1圈多一點？？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

生齊：對.

師：1圈半？

生齊：不是.

師：那究竟是比1圈多多少？

生齊：多點點.

師：點點是多少？好，請同學們觀察老師的演示.

（實物展示圓的滾動過程，邊滾邊互動，如圖7）

■

師：圓滾到這兒（與AC相切于C點時），滾了幾圈？

生齊：半圈.

師：很好，因為AC等于πr，為半圓長，所以滾了半圈.?。ㄑ菔緢A翻直角）這時接觸點不變，圓自身在轉(zhuǎn)沒有？

生齊：在轉(zhuǎn).

師：轉(zhuǎn)到這兒（與CB相切于C點時），圓自身已經(jīng)轉(zhuǎn)了多少圈？

生齊：■圈.

師：（繼續(xù)演示滾動，當箭頭朝下時）圓滾到這兒，已經(jīng)滾了多少圈？

生齊：1圈.

師：但是折線ACB滾完沒？

生齊：沒有.

師：（繼續(xù)演示滾動到與CB相切于B時）這時箭頭朝哪個方向？

生齊：朝左.

師：圓滾動了多少圈？

生齊：一又四分之一圈.

師：對，1.25圈.　（板書：1.25）那么，圓心經(jīng)過的路線長是多少？注意教師的措辭，不是圓心移動的距離，而是路線長.　圓心移動的路線長是多少？敢不敢猜一猜？

師：（某生喊：我來猜）好，你來猜.

生：2.5圈.

師：路線長會是2.5圈？（生竊語：錯）錯，那你說是多少？（示意剛才竊語者）

生：2πr+2r.

師：2πr是怎樣得來的？

生：AC+BC的長.

師：對，AC和BC的和是2πr.　那么，2r呢？（拖長音，暗示不對）再加2r對不對？（屏顯圖8）要知道圓心移動的路線長，關(guān)鍵要知道圓心移動的路線.　（指屏幕）圓心移動的路線是不是這一條線？

■

生齊：是.

師：它是2πr加多少？是不是這一段圓弧的長？（指向圓?。?/p>

生齊：是.

師：那是多少？（生竊語：■πr）同學們記不記得弧長的計算公式？

生齊：■.

師：對，■，這兒n是多少？

生齊：90.

師：對，這是個直角，n為90.　（板書計算過程：■=■πr）因此，圓心移動的路線長為——

生齊：2.5　πr.

師：2πr加■πr等于2.5πr（教師板書：2.5πr）.

環(huán)節(jié)三

師：（課件出示圖9）同學們再來研究下面這種情況：線段AB=2πr，把它折為相等的四段，圍成一個正方形.　一個半徑為r的圓從A滾動再回到原來的位置，圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？圓心經(jīng)過的路線長是多少？（教師邊讀題邊屏顯線段AB圍成四邊形的過程）同學們先自主分析，可以不通過操作，剛才教師已經(jīng)講過方法.　當然，你不會分析的話，也可以先操作再分析.

■

（學生分析研究，教師巡視，部分小組得出結(jié)論）

師：圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？

生：（自由回答）1圈多，2圈.

師：是2圈的同學舉手.　（有10余位學生舉手）很好，你們很能干.　2圈是正確的（板書：2圈）.　好，我們再觀察一下圓的滾動.

（屏顯圓的滾動過程，如圖10，邊滾邊說明——滾過線段和角時）

■

師：轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：■圈.

師：　又轉(zhuǎn)了幾圈？？搖？搖？搖

生齊：■圈.

師：又轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：■圈.

師：又轉(zhuǎn)過幾圈？

生齊：■圈.

師：合起來幾圈？

生齊：1圈.

師：（屏顯滾完）又轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：1圈.

師：共轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：2圈.

師：好，圓自身轉(zhuǎn)了2圈.　那么，圓心移動的路線長是——多少？（重音）

生齊：4πr.

師：對，4πr.　怎樣計算，關(guān)鍵是找出什么？

生齊：公式.

師：公式？（不認可語氣）

生齊：規(guī)律.

師：規(guī)律.　嗯，這兒要求圓心轉(zhuǎn)過的路線長，就要知道圓心轉(zhuǎn)過的——（拖長音）路線.

（屏顯圓心轉(zhuǎn)過的路線，圖11）

　　　　■

師：圓心轉(zhuǎn)過的路線是不是這一條路線？

生齊：是.

師：直的部分合起來是多少？

生齊：2πr.

師：圓弧部分合起來是多少？

生齊：2πr.

師：因為它們合成了一個——

生齊：圓.

師：一個半徑為多大的圓？

生齊：r.

師：所以說圓心移動的路線長為——

生齊：4πr.

（板書：4πr）

環(huán)節(jié)四

師：離我們最后解決問題只有一步之遙了，為了加深理解，下面我們再變一下.?。ㄕn件出示圖12、圖13，教師讀題）線段AB=2πr，把它折為相等的三段，圍成一個等邊三角形；把它折為相等的六段，圍成一個正六邊形；一個半徑為r的圓從A滾動再回到原來的位置，圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？圓心經(jīng)過的路線長是多少？女同學研究圍成三角形的情況，男同學研究圍成六邊形的情況，過一會我們再交流，看男同學能干還是女同學能干.

■

（學生分析研究，教師巡視，發(fā)現(xiàn)很多同學不會分析）

師：好，很多同學不知道如何分析，教師再引導同學們一下.?。ㄆ溜@繞三角形圓的滾動過程）圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：2圈.

師：（屏顯圓心移動的軌跡）圓心轉(zhuǎn)過的路線長是——

生齊：4πr.

師：我們再來看看滾六邊形的情況.?。ㄆ溜@分析繞六邊形時圓的滾動過程）圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：2圈.

師：（屏顯圓心移動的軌跡）圓心轉(zhuǎn)過的路線長是——

生齊：　4πr.

師：好，再把六邊形變成圓.?。ㄆ溜@問題：如果線段AB=2πr，把它圍成一個圓.　一個半徑為r的圓從A滾動再回到原來的位置，圓自身轉(zhuǎn)了多少圈？如圖14）

■

師：轉(zhuǎn)了幾圈？大聲說.

生齊：2圈.

師：為什么是2圈呢？我們來分析.　前面的問題中，變化中有一個不變性，什么沒有變化？

生齊（遲疑）：AB的長.

師：對，AB圍成的圖形在變，但周長沒有變化.　這兒圓的周長還是——

生齊：2πr.

師：所以滾圓還是滾了——

生齊：2圈.

（板書：2圈，4πr）

■　規(guī)律總結(jié)

師：（先出示最初問題：如圖1）通過前面的分析，同學們應(yīng)該很容易解決這個問題了.　轉(zhuǎn)了幾圈？

生齊：2圈.

師：當然，這不是計算解決，而是與前面的問題比較直接得出的結(jié)論.　那么究竟如何計算解決這個問題呢？同學們根據(jù)教師的板書分析一下，前面的例子中，圓自身轉(zhuǎn)的圈數(shù)與圓心經(jīng)過的路線長d有什么關(guān)系？

（學生根據(jù)教師的板書分析，稍后）

師：（教師示意）這位同學，說說你的看法.

生：圓自身轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，圓心經(jīng)過的路線長也就越大.

師：是不是這樣？

生齊：是.

師：很好，那么它們之間有什么明確的數(shù)量關(guān)系呢？

生齊：圓滾動的圈數(shù)等于圓心經(jīng)過的路線長d除以2πr.

師：　2πr是什么？

生齊：滾圓的周長.

師：總結(jié)得很好，也就是說，圓滾動的圈數(shù)等于圓心經(jīng)過的路線長d除以滾圓的周長.　為什么是這個關(guān)系，同學們下來可以繼續(xù)思考.　有了這個認識，我們就可以計算并解決前面的問題了.

■　問題解決

師：同學們觀察，滾圓圓心移動的路線是怎樣一個圖形？？搖

生齊：圓.

師：（圖上添加圓心字母O，半徑r）怎樣一個圓呢？

生齊：以O(shè)為圓心、r為半徑的圓.

師：是以r為半徑的圓嗎？

生齊：是以O(shè)為圓心、2r為半徑的圓.

師：好，同學們，現(xiàn)在怎樣計算圓滾的圈數(shù)，知道了嗎？

（學生計算）

教師課件展示如下計算過程：

因為滾動的硬幣圓心移動的路線是以O(shè)為圓心、2r為半徑的圓，所以滾動硬幣圓心移動的距離d=2π·2r=　4πr.　所以硬幣滾動的圈數(shù)為■=2圈.

■　問題拓展

師：圓滿解決了這個問題，下面我們再看一個拓展問題.（課件展示）如圖15，大圓的半徑為2r，兩個小圓的半徑為r，兩個小圓各在大圓內(nèi)、外沿圓周滾動，內(nèi)外圓滾動的圈數(shù)相等嗎？（學生計算，然后收集學生意見）

■

生：滾動的圈數(shù)不相等，相差2圈.

師：很好，請同學們看下面的解題過程，與自己的比較一下.

（課件展示解題過程）

因為外圓的圓心移動的路線是以O(shè)為圓心、3r為半徑的圓，所以外圓圓心移動的距離d=2π·3r=　6πr.　所以外圓滾動的圈數(shù)為■=3.　因為內(nèi)圓的圓心移動的路線是以O(shè)為圓心、r為半徑的圓，所以內(nèi)圓圓心移動的距離d=2πr.　所以內(nèi)圓滾動的圈數(shù)為■=1.　所以兩圓滾動的圈數(shù)相差2圈.

師：作為練習，同學們再自主研究下面的問題，看有什么想法.

（課件展示問題）

如圖，大圓的半徑為3r，兩個小圓的半徑為r，兩個小圓各在大圓內(nèi)、外沿圓周滾動，內(nèi)、外圓滾動的圈數(shù)各是幾圈？相差多少？你有什么猜想？

■　課后反思

1.　多年前，《數(shù)學通報》雜志刊發(fā)過一篇文章《關(guān)于一道課本錯題的分析》，就是該案例中的拓展問題.　作者認為內(nèi)、外圓滾動的圈數(shù)一樣，并做了分析.　由于該分析與教者當時的觀點一致，所以很關(guān)注.　但后一期該雜志又發(fā)表了商榷文章，認為前文的分析沒有搞清“滾動”與“滑動”的區(qū)別而未分析正確，并指出這是一道好題.　由于商榷文章沒有仔細解答該問題，當時，教者也是云里霧里不明白.　直到本次教者研究前述問題的解答，才明白這一道課本“錯題”確實不錯，安排在此次探究解決初始問題后作為練習.

2.　動手操作題是初中數(shù)學教學的薄弱環(huán)節(jié)，很多教師認為簡單所以忽略了.　解決初始問題，也是操作得到結(jié)果便了事，但學生肯定也是云里霧里不明所以，更無法解決類似問題.　教者以解決此問題為契機組織材料引導學生動手實驗、動腦探索，既解決了問題，又讓學生明白了道理，更培養(yǎng)了學生探究問題的習慣和能力，激發(fā)了學生研究數(shù)學的興趣.

3.　新的數(shù)學課程理念要求：數(shù)學教學活動應(yīng)是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.　學生是學習的主體，教師只是學習的組織者、引導者與合作者.　本節(jié)課的教者力圖體現(xiàn)這一新要求.

4.　本節(jié)課的不足：整個教學過程中，由于學生動手能力、分析能力較差，學生自主動手探究、自主分析不充分，教師引導的成分偏多.

■　教研組評析

這節(jié)課，是北師大版九年級（下）第五章《圓和圓的位置關(guān)系》的一節(jié)習題探究課，是執(zhí)教者從小處著眼，尋找探究契機，設(shè)計引發(fā)學生探究，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題能力的一堂拓展課.　這節(jié)課是執(zhí)教者反復推敲教材，根據(jù)學生實際情況而設(shè)計的，執(zhí)教者采用了學生自主探索發(fā)現(xiàn)、理性分析與教師演示轉(zhuǎn)動過程、引導學生并與分析相結(jié)合的方式進行教學，是一堂較好的探究課，教學價值較高，值得一線教師借鑒.

1.　在一次教材培訓會上，教材編者說過這樣一句話：教材只是一個藍本，它為教學搭建平臺，教師不能只教教材.　本堂探究課為這一觀點提供了又一佐證.　這是對教材習題的拓展與延伸，做到了既依靠教材又超越教材，起到了促進學生動手能力、分析解決問題能力等提高的作用，這就遠非單純解一道題所能比擬的.

2.　教學環(huán)節(jié)設(shè)計符合學生認知規(guī)律，較為新穎、巧妙，具有較強的探究性.

教者設(shè)計了如下教學流程：

（1）學生猜想.　出示課題后，教者沒有讓學生直接動手實驗，而是讓學生直觀猜想，并鼓勵學生大膽交流自己的猜想.　正如教者預料的，絕大多數(shù)學生認為自轉(zhuǎn)了1圈，教師又有意強化“1圈”這個錯誤結(jié)論，為后續(xù)教學作足了鋪墊.

（2）實驗驗證.　學生得出猜想后，先安排學生兩人一組動手實驗，由于學生操作（滾動外圓）不是很規(guī)范，又受前面猜想的影響，得出仍是“1圈”的錯誤結(jié)果.　在學生基本認同自轉(zhuǎn)1圈這一錯誤結(jié)果的情況下，教師演示，明白無誤地顯示出外圓自轉(zhuǎn)了2圈.　猜想與實際不符，大大地激發(fā)了學生的探究欲望，“這究竟是怎么回事呢？”這也正是學生心中的疑問.　課堂順理成章進入下一環(huán)節(jié).

（3）探究分析.　這是本節(jié)課的主要環(huán)節(jié)，教者設(shè)計了從簡單到復雜的一系列探索問題，引導學生探索研究，既有學生的動手實際操作，也有理性分析，最終分析得出解決問題的基本結(jié)論.

首先，教者利用課本另一習題讓學生認識到：圓滾直線一周圓心移動的路線長為2πr，然后轉(zhuǎn)入對問題的探索研究.　圓滾過的路線由“直”到“折”再到“曲”，而“折”又由二折到多折，折角由直角到銳角、鈍角，圖形由開放到封閉不斷變換條件.　每一次變換，解決一個層面的問題，都將問題向深層次推進一步，層層遞進，步步深入，猶如剝竹筍，為學生實驗探究搭建了很好的平臺.

（4）總結(jié)結(jié)論.　教者把每種情況下圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)和圓心移動的路線長板書在一起，學生很容易看出其中的關(guān)系，結(jié)論的總結(jié)就是手到擒來的事情了.

（5）解決問題.　運用前面總結(jié)出的結(jié)論計算并解決初始問題，達成本節(jié)課的表面目的.

（6）延伸拓展.　在解決初始問題的基礎(chǔ)上，教者又提出新問題.　運用相同的方法解決問題，檢查了學生對結(jié)論的運用情況.　在學生解決問題后再變，并提示得出新的猜想，讓學生體會數(shù)學問題的趣味性，激發(fā)學生研究數(shù)學的興趣.

3.　注重學生參與，基本體現(xiàn)了“學生是學習的主體，教師起引導作用”這一新教學理念.

整個教學過程，都沒有教師的“包辦代替”，教師提供學生動手實驗探索、分析研究的材料，讓學生動手實驗探索、動腦分析研究，然后讓學生課堂交流.

在學生“卡殼”的情況下，教師不是直接給出答案，而是積極鋪墊，降低難度，引導學生分析，得出正確認識.　如，圓在直線上滾動一圈，圓心移動的距離為什么是2πr？學生易直觀得出但不能正確解釋，教師抓住這一有利機會，引導學生一步一步進行分析，既得出正確結(jié)論，又鞏固了相關(guān)數(shù)學知識.

4.　重視“數(shù)學意識”的培養(yǎng).

在“探究分析”環(huán)節(jié)，探究各種情況下滾圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)與圓心移動的路線長，教者的設(shè)計蘊涵匠心：先是在動手實驗的基礎(chǔ)上進行理性分析，然后做理性分析，再動手驗證，最后純粹理性分析.　這一點小小的變化，充分反映了教者對學生“數(shù)學意識”的重視和培養(yǎng).　純粹動手得到結(jié)果，那不是數(shù)學，理性分析才是數(shù)學.　當然，由于學生的實際情況，并沒有達到教師的預期目的.

在分析圓滾封閉圖形時圓心自轉(zhuǎn)的圈數(shù)時，讓學生分析變化中的不變性（封閉圖形的周長沒有變化），這些也起到培養(yǎng)學生“數(shù)學意識”的作用.

5.　注重“數(shù)學思維”過程的展示.

通過啟發(fā)提問，引發(fā)深入思考，為學生的思維發(fā)展提供了廣闊空間.　本節(jié)課的提問具有較強的啟發(fā)性和探究性.　例如，在探究“圓在直線上滾動一圈，圓心移動的距離為什么是2πr”時，教師層層設(shè)問，充分展示了解決這一問題的數(shù)學思維過程；在分析各種情況下圓心移動的路線長時，教師也通過一系列富有啟發(fā)性的提問，引發(fā)學生對問題進行深入思考.　這些過程不僅啟迪了學生的思維，而且也大大發(fā)展了學生的思維能力.

對本堂課的建議：（1）學生動手實踐和自主探索要留予充足的時間，也要注意各個環(huán)節(jié)探究時間的把握，在直線上滾動，比較簡單，學生也已經(jīng)做過，可以簡化一些.?。?）規(guī)律“滾圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)等于滾圓圓心移動的路線長與滾圓周長的比”是通過前面的各種情況總結(jié)出來的，可引導學生再作理性分析，讓學生明白為什么有這樣一個關(guān)系.?。?）轉(zhuǎn)折處滾圓圓心運動的路線是一段弧，應(yīng)向?qū)W生說明理由，當然這個理由是很簡單直觀的，但應(yīng)該說明.?。?）多注意學生數(shù)學語言的訓練，這也是數(shù)學課應(yīng)該培養(yǎng)的學生素質(zhì)之一.?。?）學生合作交流意識需進一步培養(yǎng).