水準(zhǔn)網(wǎng)線性混合效應(yīng)模型建立與參數(shù)估計研究

陳軍紅，王炳燕

(1.西安建筑科技大學(xué)華清學(xué)院 土工程學(xué)院，陜西 西安 710043；2.海南靈宇地理信息有限公司，海南 571138)

0 引言

隨著各地城市建設(shè)加快發(fā)展，城市規(guī)模不斷擴(kuò)大，中高層建筑越來越多。在這種發(fā)展形勢下，樓層的增加、荷重的增大，引起建筑物發(fā)生沉降變形的可能風(fēng)險也加大。在建造與運營過程中，沉降測量發(fā)揮主要監(jiān)測與保障作用，減少安全隱患發(fā)生[1]。在建筑物沉降監(jiān)測方法中，水準(zhǔn)測量是最常規(guī)，使用最頻繁的方法[2]。文獻(xiàn)[3]～[6]均表明，到目前為止，利用精密電子儀器，采用水準(zhǔn)測量技術(shù)，依據(jù)工程作業(yè)規(guī)范，對建筑物實施沉降監(jiān)測是工程實踐中的普遍做法，被應(yīng)用于不同類型的中高層建筑物的沉降監(jiān)測。但由于受工程施工、外業(yè)觀測保障措施不到位以及數(shù)據(jù)優(yōu)化處理方法欠佳等諸多因素的影響，導(dǎo)致數(shù)據(jù)信息精度與可信度較低。根據(jù)沉降測量高精度監(jiān)測要求，觀測數(shù)據(jù)不能準(zhǔn)確反映建筑物的沉降量實際情況。本文主要對現(xiàn)有水準(zhǔn)測量數(shù)據(jù)平差處理中存在的不足，進(jìn)行改進(jìn)處理，提高沉降觀測數(shù)據(jù)的精度。

在水準(zhǔn)網(wǎng)測量數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)中，針對測量誤差，正確定權(quán)是參數(shù)估計的重要一步。一般做法，依靠水準(zhǔn)路線長度、測站數(shù)以及定權(quán)數(shù)學(xué)模型。實踐中發(fā)現(xiàn)，不同定權(quán)方法對估計結(jié)果影響很大，結(jié)果之間存在較大差異性。文獻(xiàn)[7]以實例說明，水準(zhǔn)控制網(wǎng)的觀測數(shù)據(jù)按照測段距離與按測站數(shù)定權(quán)平差存在差異。且對建筑沉降觀測而言，按照測段距離定權(quán)平差并不合適，而按照測站數(shù)定權(quán)平差計算，既有失權(quán)比之間的準(zhǔn)確性，又嚴(yán)重影響參數(shù)估值的精確性。針對此問題，本文摒棄定權(quán)的常規(guī)思維，另辟蹊徑，從水準(zhǔn)網(wǎng)誤差方程出發(fā)，對路線長度與高程兩變量之間的函數(shù)關(guān)系重新研究。嘗試基于微分思想與中值定理，建立水準(zhǔn)網(wǎng)線性混合效應(yīng)模型，使用最小二乘法統(tǒng)一理論進(jìn)行參數(shù)估計。經(jīng)過模擬試驗以及工程案例分析，結(jié)果表明，水準(zhǔn)網(wǎng)利用線性混合效應(yīng)模型進(jìn)行平差計算較傳統(tǒng)間接平差具有無需定權(quán)、參數(shù)估計精度高、沉降趨勢特征明顯等優(yōu)勢，為其應(yīng)用與推廣奠定理論基礎(chǔ)。

1 模型建立與參數(shù)估計

1.1 模型建立

圖1a 水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖

(1)

依照微分中值定理的幾何意義可知，f′(ζ1)為切線斜率，如圖1b所示，ζ1處切線e′f′與直線mn平行。但若測量數(shù)據(jù)含有誤差，導(dǎo)致切斜e′f′有θ1角偏轉(zhuǎn)，切線e′f′旋轉(zhuǎn)到ef處。記直線ef傾斜角α1，則改正后切線e′f′傾斜角α1-θ1，斜率tan(α1-θ1)。則利用三角函數(shù)和差角公式與泰勒公式，可得(2)式。

圖1b 水準(zhǔn)網(wǎng)測段D-H函數(shù)關(guān)系

(2)

(3)

同理。第二、三測站改正高差

(4)

將第一、二、三個測站高差求和，則測段2-3的改正高差

(5)

(6)

寫出水準(zhǔn)網(wǎng)所有測段A-2、2-3、B-1、1-3、3-C的改正高差

(7)

寫成矩陣形式：

(8)

從而，概括水準(zhǔn)網(wǎng)線性混合效應(yīng)模型，可用(9)表示：

y=Ax+Bk+Cε

(9)

其中，y為觀測量Y與待定高程近似值的差值，x為固定效應(yīng)，k、ε為隨機效應(yīng)，假定滿足正態(tài)分布，均值E(k)=0，E(ξ)=E(k2)≈σ2[1,1,…,1]T，σ2一般是10-6左右(參照模擬算例)，可近似看成0，E(y)=Ax.k、ε具有相關(guān)性，聯(lián)合方差

(10)

即

(11)

1.2 待定點高程估值與w權(quán)重的確定

(12)

(13)

1.3 參數(shù)估計

1.3.1 固定效應(yīng)的最小二乘估計 對于水準(zhǔn)網(wǎng)線性混合模型y=Ax+Bk+Cξ，令V=y-Ax=Bk+Cξ，V～N(0,∑),則

(14)

一般情況下，M是正定矩陣[9]，即

(15)

依據(jù)最小二乘法統(tǒng)一理論，可構(gòu)造Q(x,σ)函數(shù)，

(16)

進(jìn)行如下線性變換

(17)

(18)

根據(jù)普通最小二乘法原理，得到LS解

(19)

所以

(20)

圖估計算法流程圖

2 模擬試驗

為檢驗水準(zhǔn)網(wǎng)混合效應(yīng)模型的平差計算有效性與優(yōu)勢，本文模擬實際施工現(xiàn)場，在室內(nèi)進(jìn)行試驗，將試驗結(jié)果與傳統(tǒng)算法進(jìn)行比較。試驗設(shè)計過程如下：

1)采用某沉降監(jiān)測工程中某條單一閉合水準(zhǔn)路線，除觀測高差h以外其他數(shù)據(jù)不變，包括起算數(shù)據(jù)HA、測站數(shù)ni與測站視距Di(i=1,2,…,50)，具體數(shù)據(jù)如表1.

表1 模擬試驗起算數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)

2)利用函數(shù)H=HA+A*sin(2π*Di/D總)，A=0.003(D總為水準(zhǔn)路線總長)插入50個高程點，計算出每個點的高程真值Hi，包括模擬沉降觀測點HB=37.4979m、HC=37.6849m、HD=33.7414m、HE=32.0109m.利用相鄰兩點高程真值求得每測站高差真值hij=Hj-Hi(i≠j).

4)采用模擬觀測數(shù)據(jù)，建立線性混合效應(yīng)數(shù)學(xué)模型，按照最小二乘算法對模型參數(shù)進(jìn)行估計，結(jié)合參數(shù)值，計算出B、C、D、E四個點高程估計值。

5)B、C、D、E四個點高程估計值與真值比較，算出之間的不符值VB、VC、VD、VE，

表2 試驗結(jié)果比較(間接平差)

從表2與表3、圖3(為突出數(shù)據(jù)差異性與數(shù)字表示清晰，圖3a數(shù)據(jù)擴(kuò)大1 000倍，取一位小數(shù))對比可看出，水準(zhǔn)網(wǎng)采用線性混合效應(yīng)模型平差計算，結(jié)果更優(yōu)。第一，殘差方差估計值更小。傳統(tǒng)算法的方差估值處于1.41～4.73 mm2之間,而線性混合效應(yīng)模型則在0.05(10-6)～7.45(10-6) mm2之間。第二，在同一種觀測條件下，線性混合效應(yīng)模型平差結(jié)果相比較真值，誤差更小，估值精度高，即沉降觀測點的高程估值更接近真實值。比如在編號6的觀測條件下，線性混合效應(yīng)模型估計精度為2.22 mm2，而傳統(tǒng)算法為115.12 mm2.第三，在非相同觀測條件下，觀測精度越高，線性混合效應(yīng)模型的估計精度越高，優(yōu)勢越明顯。比如，編號4比編號5的估計精度多了6.66 mm2.第四、傳統(tǒng)平差方法平差結(jié)果受距離或測站定權(quán)的因素影響，估計精度表現(xiàn)出差異性。而線性混合效應(yīng)模型無需定權(quán)，完全避免這種因素影響，估值只與外業(yè)觀測條件有關(guān)?？傊?，對于精密水準(zhǔn)測量(尤其沉降觀測工作)來說，采用線性混合效應(yīng)模型進(jìn)行平差計算更為合適。

表3 試驗結(jié)果(線性混合效應(yīng)模型)

圖3a 參數(shù)估計真誤差對比

圖3b 殘差方差估計與參數(shù)估計精度對比

3 建筑物沉降觀測數(shù)據(jù)處理與分析

3.1 工程概況與施測工作

該建筑物位于新疆地區(qū)某路人群密集地段，占地5萬平方米，建筑面積8 453平方米，為地上6層、鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)。因管線跑水造成地基下沉，建筑物中部以及西部墻體多處出現(xiàn)裂縫?，F(xiàn)需通過監(jiān)測建筑物底部各結(jié)構(gòu)點的沉降量、沉降差值及沉降速度，預(yù)測沉降發(fā)展趨勢。根據(jù)現(xiàn)場實際情況與規(guī)范要求，5個基準(zhǔn)點均布設(shè)在建筑物的沉降區(qū)域之外的安全地點。監(jiān)測點的埋設(shè)采用深埋加基礎(chǔ)底盤現(xiàn)澆的方法，深度約為15～20 cm.根據(jù)建筑物特點，在其上共布設(shè)18個觀測點(編號從J1～J18)，均布設(shè)在距離地面0.5 m高左右的墻柱上?；鶞?zhǔn)點與觀測點分布情況詳見圖4.

圖4 基準(zhǔn)點及沉降觀測點布置圖

監(jiān)測網(wǎng)按照一等水準(zhǔn)規(guī)范要求施測，5個監(jiān)測點組成一條閉合的環(huán)形線路，基準(zhǔn)0點為起始高程點，H0=835.3705 m.沉降觀測點的施測組成環(huán)形線路，按規(guī)范二等水準(zhǔn)技術(shù)要求進(jìn)行施測。15天一周期，共測40 個周期，測量成果各項限差均符合技術(shù)要求。

3.2 數(shù)據(jù)處理方法與結(jié)果對比分析

每期數(shù)據(jù)都采用間接平差與線性混合效應(yīng)模型進(jìn)行平差處理，求得每期J1～J18沉降觀測點的高程估值。根據(jù)相鄰兩期高程估值的變化，計算沉降量、累計沉降量、沉降速率等數(shù)值，依據(jù)數(shù)據(jù)繪出累計沉降量圖(圖5a)、沉降累積量與時間關(guān)系圖(圖5b)、沉降觀測點速率變化圖(圖6)。通過對圖5b觀察，發(fā)現(xiàn)沉降觀測點表現(xiàn)出明顯直線下降趨勢，于是對沉降累積量最大的J11點，通過一元線性回歸方程進(jìn)行擬合，求出沉降預(yù)測方程。

間接平差模型

線性混合效應(yīng)模型

圖6 沉降點速率變化(間接平差模型(左)/線性混合效應(yīng)模型(右))

從圖5、圖6、圖7比較可以看出，采用上述兩種方法平差計算，1)沉降觀測點高程估計存在一定的差異性，而且這種差異會引起沉降量、沉降累積量、沉降速率等計算量的不同。2)與傳統(tǒng)算法相比較，通過線性混合效應(yīng)模型計算的沉降觀測點高程估值以及用估值計算的沉降量、累計沉降量與沉降速率，受誤差影響較小，沉降趨勢特征明顯。3)通過兩種方法計算的觀測高程估值，雖然存在一定程度的差異，但不影響建筑物下降趨勢特征的判斷。但是會影響到預(yù)測方程以及預(yù)測結(jié)果，比如，預(yù)計J11點在615天的累計沉降量，傳統(tǒng)算法結(jié)果為31.18 mm，新算法為28.87 mm，之間有2.31 mm的差別。這點差別不容小覷，因為時間越長，這種差別更大，最終會影響建筑物倒塌臨界點的判斷，應(yīng)予重視。

圖7 兩種方法沉降預(yù)測差異對比

4 結(jié)束語

本文提出的線性混合效應(yīng)模型以及參數(shù)的確定方法為水準(zhǔn)網(wǎng)平差計算增加了一條新的途徑。本文通過模擬試驗以及沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與分析表明，水準(zhǔn)網(wǎng)線性混合效應(yīng)模型較傳統(tǒng)間接平差模型具有無需定權(quán)、參數(shù)估計精度高、沉降趨勢特征明顯等優(yōu)勢。另外，二維、三維空間是否也存在線性混合效應(yīng)模型，有待進(jìn)一步探討與研究[11,12]。