例說函數(shù)思想的數(shù)學(xué)價(jià)值

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是一種重要的思想方法，很多問題包含著這一思想，但常常被忽視。有些問題如能根據(jù)問題的形式，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，然后運(yùn)用函數(shù)的某些性質(zhì)來解答問題，學(xué)生會(huì)感到很新奇。如果我們能夠在教學(xué)中加以恰當(dāng)運(yùn)用，便會(huì)體現(xiàn)出它的教學(xué)價(jià)值——對提高學(xué)生的思維能力很有益處。

一、由結(jié)構(gòu)考慮建立函數(shù)模型，鍛煉思維的深刻性

例1：已知a、b、m∈R+且a

觀察兩邊結(jié)構(gòu)，右邊是左邊當(dāng)m=0時(shí)的情況。因此，我們考察函數(shù)f（x）= = =1+ （x≥0）. m>0時(shí)，有f （m）>f （0），即 > ，這是高二數(shù)學(xué)課本的例題。對比書上給出的證明（作差通分），學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到這是函數(shù)單調(diào)性的問題。

例2：證明 + < + .

這是作為分析法應(yīng)用的典型例子，易于學(xué)生掌握這種方法的特點(diǎn)和步驟。當(dāng)然，我們可以啟發(fā)學(xué)生展開思維，對原式進(jìn)行移項(xiàng)來代替平方變形，只需證： - < - ，分子有理化后得： < ，因?yàn)閮蛇叾际钦龜?shù)，故只需證： + > + ，而此式顯然成立。

上述解法應(yīng)用了分子有理化技巧，這是處理帶有根號問題常用的辦法，也可以作為證明此類不等式的一種模式考慮。但這種證法的思維仍表現(xiàn)為簡單的變形和技巧的應(yīng)用，課本上多次出現(xiàn)這種不等式。

① - < - 、② - < - 、③ - < - . 可以引導(dǎo)學(xué)生，觀察它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)相同且呈現(xiàn)一種單調(diào)遞減性。由例1的啟示，可判斷此類不等式是一種減函數(shù)單調(diào)性的反映。設(shè)f（x）= = - （x>1），將分子有理化，得f（x）= （x>1）. 這顯然是減函數(shù)。至此，發(fā)現(xiàn)了這類不等式的本質(zhì)。它實(shí)際上被函數(shù)f（x）= 的單調(diào)性所決定。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，是對事物進(jìn)行抽象分析，揭示更普遍、更深刻的規(guī)律。經(jīng)常進(jìn)行類似思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性。

二、構(gòu)造常見函數(shù)，培養(yǎng)思維的靈活性

中學(xué)階段常見一次函數(shù)和二次函數(shù)。有些問題在沒有明顯的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，可以考慮這兩種函數(shù)。

例1：試證明：a、b、m∈R，|a|<1 ，|b|<1 ，|c|<1，則ab+ac+bc+1>1.

分析：由于題設(shè)與結(jié)論都是一次式，所以考慮構(gòu)造一次函數(shù)。證明：設(shè)f（x）=b+cx+bc+1，x∈（-1，1）x. 當(dāng)b+c=0時(shí)，原不等式變?yōu)樽?bc+1，∵|b|<1、|c|<1，∴|bc|<1，∴bc+1>0. 當(dāng)b+c≠0時(shí)，由一次函數(shù)的單調(diào)性，考察：f（1）=b+c+bc+1=（1+b）（1+c）>0，f（-1）=-b-c+bc+1=（1-b）（1-c）>0，∴任意a∈（-1，1）有f（a）>0，即ab+ac+bc+1>1. 點(diǎn)評：建立函數(shù)后，要想到與題目有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。

例2：設(shè)A、B、C為三角形內(nèi)角，x，、y，、z為任意實(shí)數(shù)，求證：x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcos+2xycosC.

證明：設(shè)f（x）=x2-2x（zcosB+ycosC）+y2+z2-2yzcosA，△=4（zcosB+

ycosC）2-4（y2+z2-2yzcosA）=4（z2cos2B+y2cos2C+2yzcosBcosC-y2-z2+2yzcosA）=4[-Z2sin2B-y2sin2C+2yzcosBcosC-cos（B+C）]=-4（Z2sin2B+y2sin2C-

2yzsinBsinC）=-4（ZsinB-ysinC）2≤0，∵f（x）的二次項(xiàng)函數(shù)為1，且△≤0，∴f（x）≥0恒成立，故原不等式成立。點(diǎn)評：這道題使學(xué)生能進(jìn)一步體會(huì)到掌握這種思維方法的必要性，同時(shí)也強(qiáng)化了學(xué)生注意知識(shí)間相互聯(lián)系的意識(shí)。

由上述例子可以看出，運(yùn)用函數(shù)思想不僅使問題易于解決，更重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和方法，認(rèn)識(shí)知識(shí)間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)是客觀世界的形式和結(jié)構(gòu)的本質(zhì)反映。