立足起點 順應(yīng)建模

《長方形與正方形的面積計算》是學(xué)生理解了面積的含義和面積單位，學(xué)會了應(yīng)用面積單位直接度量面積的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)平面圖形的面積計算（由度量演進(jìn)到計算），長方形和正方形面積計算公式又是推導(dǎo)其他平面圖形面積公式的基礎(chǔ)，它提供了度量和計算面積的基本原理和方法。為了讓課堂教學(xué)更具有針對性，教學(xué)前我對學(xué)生進(jìn)行了前測，以便立足起點對學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)行有效的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生建立長方形與正方形面積計算模型。

一、教學(xué)前測

從前測的結(jié)果統(tǒng)計與分析，可以把握學(xué)生相關(guān)的學(xué)習(xí)起點：

經(jīng)驗起點：通過前期面積與面積單位的學(xué)習(xí)，學(xué)生明顯具備“用面積單位來度量圖形的面積”這一學(xué)習(xí)經(jīng)驗，已經(jīng)占到近75%，為本節(jié)課面積的計算公式學(xué)習(xí)打下扎實的經(jīng)驗基礎(chǔ)。

知識起點：絕大多數(shù)同學(xué)已經(jīng)明確面積的意義，知道面積單位的數(shù)量對應(yīng)面積的大小。雖然有近33%的同學(xué)會通過公式來計算長方形的面積，但從后續(xù)的訪談來看，面積為什么可以通過“長×寬”來計算，學(xué)生是不明確的。

心理起點：根據(jù)范·希爾夫婦關(guān)于幾何思維水平的理論，三年級的孩子的幾何思維水平處于“直觀”階段，不具備描述、分析能力，需要教師在提供信息的基礎(chǔ)上加強定向指導(dǎo)。

二、教學(xué)對策

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要建立長方形與正方形面積計算的數(shù)學(xué)模型（長×寬），使學(xué)生由一維空間進(jìn)入二維空間。

1.通過操作、想象，觀察并歸納得出長方形面積=長×寬，長表示一行鋪幾個面積單位，寬表示可以鋪幾行。

2.通過多媒體演示及想象相結(jié)合的方式，讓學(xué)生感受長和寬長度的變化會引起長方形面積變化，注重學(xué)生二維觀念的培養(yǎng)與建構(gòu)。

三、教學(xué)實踐

（一）動手操作，初步感受面積的大小與長、寬的長度有關(guān)

1.出示如圖1長方形，你知道它的面積嗎？

2.學(xué)生獨立思考。

3.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用“1平方厘米”的面積單位去鋪（度量）。

4.學(xué)生動手操作。

5.反饋兩種方案。

6.對兩種方案進(jìn)行溝通，獲得結(jié)論。

（二）動腦想象，感受面積的變化是由于長、寬的變化所引起的

1.寬不變長變，引起長方形面積變化

（1）課件將長方形由原來的5厘米延長到6厘米

師：請大家仔細(xì)觀察：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：寬沒變，長變了，面積也變大了。

師：大了多少，大在哪里？

生2：大了3平方厘米，因為增加了右邊的一列。

師：現(xiàn)在的面積是多少？

生3：6×3=18平方厘米。

師：你這里的6、3分別表示什么？為什么每行有6個，有3行？

生3：因為長是6厘米說明可以每行鋪6個1平方厘米的面積單位，可以鋪這樣的3行。（見圖3）

師：大家真會學(xué)習(xí)，我們沒有動手鋪，但我們可以在腦海里鋪也能解決這個問題。

（2）師：想象一下，如果寬不變，長縮短1厘米，面積變大還是變小了呢？

生4：變小了，小了1列，也就是3平方厘米。

生5：現(xiàn)在的面積是4×3=12平方厘米。（見圖4）

2.長不變寬變，引起長方形面積變化

（1）課件出示原圖

剛才我們研究了在寬不變的情況下，長的變化引起了長方形面積的變化?，F(xiàn)在我們再來研究長不變，寬的變化會不會引起長方形面積的變化，想一想？

①長不變，寬延長1厘米，面積會怎么變化，為什么？

②長不變，寬縮短1厘米，面積會怎么變化，為什么？

根據(jù)學(xué)生的回答出示相關(guān)的圖示來檢驗。（見圖5、圖6）

四、總結(jié)歸納，構(gòu)建模型

師：剛才我們通過操作和想象，驗證了長方形的面積與長、寬有關(guān)。

師：看到長想到什么？看到寬想到什么？

生1：長就代表一行可以鋪幾個小正方形，寬就代表可以鋪幾行，也就是幾個幾的問題。

生2：在寬不變時，長越長，面積就越大；長越短，面積就越小。

生3：在長不變時，寬越大，面積就越大；寬越短，面積就越小。

師：長方形的面積大小是由長與寬的長度來決定的，且長方形的面積等長×寬。

五、應(yīng)用模型，解決問題

1.求右圖長方形的面積。

師：怎么計算？

生1：5×4=20（平方厘米）

師：為什么可以這樣算？

生2：因為長方形的面積計算公式就是長×寬。

師：如果我要將長方形的面積減少8平方厘米，可以怎樣操作？

生3：寬不變，將長縮短2厘米，就能減少兩列，也就是8平方厘米。

師：如果我要將長方形的面積增加5平方厘米，可以怎樣操作？

生4：長不變，將寬增加1厘米，就能增加5平方厘米，也就一行。

師：這時候，長方形已經(jīng)變化成為正方形了，那么正方形的面積怎么計算呢？

……

2.在方格紙上畫面積為6平方厘米的小長方形。你能畫幾個？

（結(jié)合學(xué)生作品）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：面積相等，大小不一樣。

師：在你所畫圖形的基礎(chǔ)上畫面積為24平方厘米的長方形，你打算怎么畫？

結(jié)合學(xué)生回答，分別反饋：長不變，寬變；寬不變，長變；和長、寬都變?nèi)N情況。

六、教學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須把握好學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，在學(xué)生原有認(rèn)知水平上組織開展學(xué)習(xí)活動。本節(jié)課我通過前測的方式，把握了學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，并基于起點設(shè)計了一系列的教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，發(fā)展空間觀念。

1.由操作到想象，建立數(shù)學(xué)模型

從前測的結(jié)果來看，學(xué)生通過對面積與面積單位的學(xué)習(xí)及練習(xí)，已經(jīng)具備了用面積單位去度量圖形面積的意識和操作經(jīng)驗。因此，要讓學(xué)生從實際問題中跳出來，形成一定的抽象概括能力。教學(xué)中，對于長方形面積公式的推導(dǎo)，筆者先是以“鋪”的操作為基礎(chǔ)，通過鋪的過程，讓學(xué)生明確長就表示一行有幾個格子（面積單位），寬表示有這樣的幾行，初步感受長方形的面積與長、寬的長度有關(guān)。因為學(xué)生課前已經(jīng)有了相關(guān)的經(jīng)驗基礎(chǔ)，所以本節(jié)課筆者又安排了想象的設(shè)計。通過對“寬不變，長增加，引起長方形面積增加”環(huán)節(jié)的直觀演示，進(jìn)而讓學(xué)生想象寬不變，長縮短及長不變、寬變，長方形面積相應(yīng)變化的情形。借助學(xué)生的想象與表達(dá)，讓學(xué)生感受到長、寬的變化會引起長方形面積的變化，從而獲得長方形面積計算的模型：長×寬。

2.由靜態(tài)到動態(tài)，建立二維觀念

圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)，時刻都不能忽略對學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。在學(xué)習(xí)了線段、周長等相關(guān)知識之后，學(xué)生的一維觀念已經(jīng)建立。而面積的學(xué)習(xí)，將一維的觀念拓展到了二維，那么如何幫助學(xué)生建立這種二維觀念？針對學(xué)生的幾何思維水平，筆者設(shè)計兩個環(huán)節(jié)來輔助。在新授的環(huán)節(jié)中，借助媒體直觀地演示，依次改變長方形的長、寬，將長方形面積相應(yīng)的變化過程動態(tài)地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生直觀地感受并理清長方形橫向與縱向的變化過程，從運動的角度幫助學(xué)生初步建構(gòu)二維觀念；在練習(xí)鞏固的環(huán)節(jié)中，筆者先通過讓學(xué)生思考要將長方形面積增大或減少該如何操作，讓學(xué)生自己判斷并選擇變化長或?qū)?，從而在分析、選擇的過程中建立橫向與縱向兩個維度。后又以“方格”為依托，讓學(xué)生嘗試增加長、增加寬、或者長、寬同時增加的方法將原圖面積擴大4倍。從操作的角度幫助學(xué)生感悟到由于長、寬長度的變化，引起的長方形面積的變化，幫助學(xué)生建立二維觀念。令人欣慰的是，在課堂小結(jié)當(dāng)中，果真有學(xué)生提到“要改變長方形的面積，可能通過改變長、改變寬甚至同時改變長與寬的方式來實現(xiàn)”，這節(jié)課的空間觀念培養(yǎng)可見一斑。

小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)如何讓學(xué)生的學(xué)習(xí)富有挑戰(zhàn)性，在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上體現(xiàn)出更多的生機與活力，必須立足學(xué)生的起點，要準(zhǔn)確把握學(xué)生的起點，教學(xué)前測是行之有效的方法之一。依據(jù)前測，發(fā)現(xiàn)起點；立足起點，創(chuàng)新設(shè)計，可以使我們的課堂教學(xué)達(dá)到畫龍點睛的效果。

（作者單位 浙江省余姚市東風(fēng)小學(xué)教育集團）

編輯 謝尾合