凸顯幾何直觀的數(shù)學(xué)價(jià)值

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出的數(shù)學(xué)課程十大核心概念之一，主要是指“利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題?！薄敖柚鷰缀沃庇^可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。”從過程而言，它與文字、數(shù)字、符號、表格等相區(qū)別，主要體現(xiàn)在“利用圖形”；從結(jié)果來說，“不同的學(xué)生具有不同的幾何直觀水平”，是一種靜態(tài)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的反應(yīng)。幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長期、動態(tài)的過程，學(xué)生直接感知到的圖形并不一定就能產(chǎn)生“直觀”的效果，只有在學(xué)生主體認(rèn)知水平和既有經(jīng)驗(yàn)積累達(dá)到一定程度而產(chǎn)生的“直觀”，才是具有教學(xué)價(jià)值的直觀。幾何直觀在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有不可替代的作用：一方面，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，借助圖形，使得抽象的概念、算理、法則、公式變得形象、簡明；另一方面，也能培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、簡化思路，尋求個(gè)性化數(shù)學(xué)思考的能力。幾何直觀不僅僅在“圖形與幾何”教學(xué)中具有重要的教學(xué)價(jià)值，在非幾何與圖形領(lǐng)域中，更能彰顯出它的教學(xué)價(jià)值來，因?yàn)?，只有在非幾何與圖形領(lǐng)域的教學(xué)中，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識與能力，最終達(dá)到提升幾何直觀素養(yǎng)的目的。

一、 依托直觀支持，深化概念理解

對小學(xué)生而言，抽象的概念往往是學(xué)生理解、掌握知識的攔路虎。有的學(xué)生能把一些概念背得滾瓜爛熟，但一到應(yīng)用時(shí)就漏洞百出。因此，教學(xué)中應(yīng)摒棄讓學(xué)生死記硬背抽象概念的做法，采取概念、定理、性質(zhì)等與幾何直觀圖相結(jié)合的方法，展示概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡單，輕松突破學(xué)生在概念理解上的難點(diǎn)。

蘇教版四年級下冊P54“乘法分配律”的教學(xué)，教材設(shè)計(jì)通常讓學(xué)生分別計(jì)算一組形如（65+45）×5，65×5+45×5的計(jì)算題，由結(jié)果相等得出（65+45）×5=65×5+45×5，進(jìn)而得出 “乘法分配律”，用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c。但反饋中發(fā)現(xiàn)，在這樣的教學(xué)中，學(xué)生理解不深，頻頻出錯(cuò)。為此，我引入學(xué)生較為熟悉的直觀圖形，在實(shí)物直觀、圖形直觀與乘法分配律之間建立有效的聯(lián)系，深化概念理解。

1.建立實(shí)物直觀與乘法分配律之間的關(guān)系

課前，我在校園貼磁磚的一個(gè)墻角劃出了形如上圖的一塊，然后帶領(lǐng)學(xué)生實(shí)地觀察，為建立概念與實(shí)物間的聯(lián)系作準(zhǔn)備。當(dāng)課上出示上圖時(shí)，由于學(xué)生對它的實(shí)際空間情況有了直觀理解，所以讓他們嘗試求出“一共貼了多少塊磁磚？”時(shí)，思維上沒有絲毫障礙，得出兩種不同的方法4×9+6×9和（4+6）×9。

學(xué)生分別說出每種方法的每一步求的是什么，找出兩個(gè)算式之間的關(guān)系，再回答：為什么有兩種不同的方法？

課件動態(tài)出示圖2：

通過動態(tài)演示，學(xué)生對乘法分配律有了初步的直觀認(rèn)識。教師提問：如果假設(shè)瓷磚邊長為1，不計(jì)算，你能知道4×9+6×9和（4+6）×9的結(jié)果誰大誰小嗎？得出4×9+6×9=（4+6）×9。

2.建立圖形直觀與乘法分配律之間的關(guān)系。

（1）直觀感知乘法分配律

課件隱去圖中格子，形成直觀的長方形圖（如圖3）。

學(xué)生通過長方形圖，很清楚地看出：長方形的面積圖上就蘊(yùn)藏著乘法分配律。

（2）借助直觀圖，深化乘法分配律

教師提問：如果已知長方形的長是10，寬是9，面積為10×9，除了可以將它分拆為：4×9+6×9外，還可以有其他的拆法嗎？

通過思考討論，學(xué)生得出了很多種拆法：

如把長邊分拆：10×9=1×9+9×9，10×9=2×9+8×9，10×9=3×9+7×9等；也有把寬邊分拆：10×9=10×1+10×8，10×9=10×2+10×7，10×9=10×3+10×6等。

通過對同一幅直觀圖的實(shí)際分拆，學(xué)生對乘法分配律的認(rèn)識更加深刻。

（3）創(chuàng)造直觀圖，拓展乘法分配律

為了使學(xué)生完成乘法分配律的知識系統(tǒng)建構(gòu)，我為學(xué)生提供不同形狀（如3×3，3×7，3×2，2×4，2×5，2×1……）的長方形，讓學(xué)生選擇其中的兩個(gè)或三個(gè)長方形“拼”成一個(gè)大長方形，并列出算式。

學(xué)生先找出相應(yīng)的小長方形拼成稍大的長方形，再列出兩個(gè)不同的算式，寫出它們的關(guān)系。答案很多：如3×3+3×7=3×（3+7），2×4+2×5+2×1=2×（4+5+1）等。

此時(shí)，再讓學(xué)生進(jìn)一步觀察等式兩邊的特點(diǎn)，通過計(jì)算或與對應(yīng)圖形結(jié)合，說說乘法分配律的意思，學(xué)生都能用自己的話進(jìn)行正確表述。

（4）憑借幾何直觀，抽象字母公式

提問：為了具有一般性，我們可以把具體的數(shù)字換成字母表示（屏幕出示圖4），你能用字母表示它們的關(guān)系嗎？

得出：（a+b） ×c=a×c+b×c

此教學(xué)過程中，教師借助墻面瓷磚與研究對象間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷形象的思考，使學(xué)生獲得深刻、有序的數(shù)學(xué)思考；接著，憑借直觀的長方形圖，通過操作、探究、推理，輕松自如地理解了原本比較抽象的乘法分配律。

二、 把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化思維表達(dá)

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上；數(shù)學(xué)的直觀是對概念、證明的本質(zhì)把握。”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，形式上的邏輯表達(dá)是一個(gè)基本要求，但是如果只局限于形式化的表達(dá)，往往會失去對數(shù)學(xué)本質(zhì)的正確認(rèn)識。而善于從問題的幾何直觀特征來研究，往往能得出數(shù)學(xué)的最簡表達(dá)路徑，較為容易地建立起人對自身體驗(yàn)與事物體驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系。

蘇教版四年級下冊P89“解決問題的策略——畫圖”中的“試一試”第一題：

小營村原來有一個(gè)寬20米的長方形魚池。后來因擴(kuò)建公路，魚池的寬減少了5米，這樣魚池的面積就減少了150平方米?，F(xiàn)在魚池的面積是多少平方米？（在圖5中畫出減少的部分，再解答）

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生受例題教學(xué)中 “要求長方形的面積，必須知道長方形的長和寬”的影響，先求出面積減少部分的長方形的長，再求出面積減少后的長方形的寬，從而求出現(xiàn)在魚池的面積，即150÷5=30（米），30×（20-5）=450（平方米）；也有學(xué)生通過先求面積減少部分的長方形的長，求出原來長方形魚池的面積，再用原來魚池的面積減去減少部分的面積，得到現(xiàn)在魚池的面積，即150÷5=30（米），30×20-150=450（平方米）。一位學(xué)生卻語出驚人：“老師，他們的方法都太麻煩了，我只要用150×3=450（平方米）就可以了?！蓖瑢W(xué)們都很驚訝，那位學(xué)生解釋：“我們可以不用通過長方形面積公式進(jìn)行中間轉(zhuǎn)換。從圖上可以很容易就看出來：現(xiàn)在魚池的寬20-5=15（米），是5米的3倍，長不變，那么現(xiàn)在魚池的面積肯定也是減少部分面積的3倍，而減少部分的面積是150平方米。以150平方米為1份，現(xiàn)在魚池的面積就是這樣的3份，即450平方米?！?/p>

這位學(xué)生完全沒有根據(jù)長方形面積公式的邏輯轉(zhuǎn)換來思考，而是借助長方形的幾何直觀，把150÷5=30（米）的計(jì)算直接跳了過去，直擊問題的本質(zhì)——倍數(shù)關(guān)系，較為充分地體現(xiàn)出直觀幾何是一種未經(jīng)充分邏輯推理，直接洞察事物本質(zhì)的數(shù)學(xué)方法。

三、 完善數(shù)學(xué)建構(gòu)，引領(lǐng)顯性建模

幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀領(lǐng)悟能力，因而，尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀的重要環(huán)節(jié)之一。較為經(jīng)典的例子，莫過于統(tǒng)計(jì)與概率部分的“認(rèn)識平均數(shù)”（蘇教版三年級下冊P92）的教學(xué)，利用條形統(tǒng)計(jì)圖，直觀理解移多補(bǔ)少的方法，理解平均數(shù)的意義，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)分析觀念，感悟隨機(jī)意識。

1.展示直觀統(tǒng)計(jì)圖，達(dá)成評判共識

課件出示4名男生、5名女生套圈結(jié)果的條形統(tǒng)計(jì)圖。

提問：

①如果4名男生、5名女生分別組成代表隊(duì)，你認(rèn)為哪一隊(duì)能贏？

②要確定哪一隊(duì)贏，我們首先必須要確定一個(gè)公平、公正的評判標(biāo)準(zhǔn)，你能設(shè)計(jì)一個(gè)評判標(biāo)準(zhǔn)嗎？

學(xué)生經(jīng)過交流、討論，認(rèn)為如果用套中的總數(shù)進(jìn)行比較，對男生不公平；如果根據(jù)套中個(gè)數(shù)最多和最少的個(gè)人情況進(jìn)行比較，也不適合。所以用每組中平均每人套中的個(gè)數(shù)，即平均數(shù)來比較，才是相對公平合理的。

2.直觀圖形操作，建構(gòu)“移多補(bǔ)少”模型

怎樣表示每組中平均每個(gè)人套中的個(gè)數(shù)最方便呢？讓學(xué)生通過拖動條形統(tǒng)計(jì)圖上的方框進(jìn)行移多補(bǔ)少操作，把多的補(bǔ)到少的上面去，得出男隊(duì)平均每人都套中7個(gè)，女隊(duì)平均每人套中6個(gè)。從而得出是男生贏。

教師追問：這里的7個(gè)（6個(gè)），是男（女）隊(duì)中某位（每一位）隊(duì)員實(shí)際投中的成績嗎？它代表了什么含義？

借助對條形統(tǒng)計(jì)圖的直觀操作，學(xué)生很快理解了“在人數(shù)不同的情況下，用平均數(shù)比較是相對公平的比較方法”，明確了平均數(shù)的本質(zhì)意義在于“移多補(bǔ)少”，同時(shí)直觀建立了用“移多補(bǔ)少”這種數(shù)學(xué)模型可以解決平均數(shù)這一類問題的觀念。以后遇到如“小紅前三次數(shù)學(xué)測試的平均分是94分，第四次數(shù)學(xué)測試成績比四次數(shù)學(xué)測試的平均成績高1分，小紅第四次數(shù)學(xué)測試成績是多少分？”的問題時(shí)，就可以順理成章地用“移多補(bǔ)少”的策略去思考。這樣富有數(shù)學(xué)味的認(rèn)知過程，使學(xué)生較為充分地建立起抽象的數(shù)和形的直觀模型，奠定了邏輯判斷與推理的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1] 葉曉宏.幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2012（6）.

[2] 孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式.課程·教材·教法，2012（7）.