深入鉆研教材讓導(dǎo)入課切實有效

摘 要：“平方差公式”的導(dǎo)入除教材的三種基本導(dǎo)入外，教師還可以鉆研教材，用發(fā)現(xiàn)導(dǎo)入法精心設(shè)計其他的導(dǎo)入，如故事導(dǎo)入、游戲?qū)?、操作?dǎo)入和實例導(dǎo)入等，使導(dǎo)入課回歸自然，讓學(xué)生順利實現(xiàn)新知識向舊知識的同化，經(jīng)歷一次探究發(fā)現(xiàn)的活動過程，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高思維能力。

關(guān)鍵詞：鉆研教材；精心設(shè)計；導(dǎo)入課；切實有效

“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心地位。導(dǎo)入時，教師在學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷公式的形成過程，即“觀察——歸納——猜想——驗證——證明——符號化”的發(fā)現(xiàn)過程。通過創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、提出命題等基本能力，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情。

“平方差公式”這部分內(nèi)容人教版是這樣編排的：先設(shè)置一個探究欄目，安排了3個具有特殊形式的兩個多項式相乘的題目，讓學(xué)生運用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識計算多項式的積，并探索其中所蘊涵的規(guī)律。然后再計算（a+b）（a-b），進而得出平方差公式。再后又設(shè)置一個思考欄目，讓學(xué)生利用算兩次原理得出圖形中的面積關(guān)系，通過圖形直觀說明平方差公式的合理性。

一、教材三種基本導(dǎo)入的思考

第一，為什么教材沒有通過讓學(xué)生直接計算（a+b）（a-b）導(dǎo)入，而是設(shè)計了一個探究欄目？

多項式乘以多項式法則和平方差公式是上下位關(guān)系，可以按照運算法則直接結(jié)算即可實現(xiàn)自然輕松地過渡，為什么不讓直接推理，經(jīng)過分析，我覺得其目的是，讓學(xué)生在已有的認知基礎(chǔ)上經(jīng)歷一次從發(fā)現(xiàn)公式到導(dǎo)出公式的全過程，即利用已經(jīng)掌握的多項式乘以多項式法則得出三個算式的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生經(jīng)歷觀察（每個算式及其結(jié)果的特點）、比較（不同算式及其結(jié)果間的異同）、歸納（不同算式及其結(jié)果的共同特征）、猜想（可能具有的規(guī)律）、推理（論證猜想的結(jié)果）的過程.這個過程可以充分體現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認識過程，其中，從多項式乘法到3個特殊算式的運算，是從一般到特殊的認識過程；從3個特殊算式的運算再到平方差公式，是從特殊到一般的認識過程；而從多項式乘法到平方差公式，又是從一般到特殊的認識過程（如圖）.整個過程經(jīng)過多次“一般”與“特殊”的轉(zhuǎn)換，能夠充分體現(xiàn)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的深度和廣度，是一種真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而不只是簡單、機械地模仿與記憶。

第二，為什么教材沒有通過拼圖計算發(fā)現(xiàn)公式直接引入？而是把拼圖計算僅作公式的幾何解釋。

通過拼圖計算導(dǎo)入，起點低、落點高，數(shù)學(xué)活動展示充分，既可以直觀明了說明公式的幾何特征，又可以體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，教材沒有這樣安排我認為有以下兩個原因：一是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對“平方差公式”的目標(biāo)要求是“了解公式的幾何背景”，只要知道此公式可以通過幾何圖形的面積加以說明即可，并不要求達到“理解”或“掌握”的程度。因此，通過拼圖計算說明平方差公式不是本節(jié)課的重點，而數(shù)形結(jié)合思想也不是本節(jié)課的核心思想。二是學(xué)習(xí)公式的關(guān)鍵是理解公式的結(jié)構(gòu)特征，而公式的結(jié)構(gòu)特征僅從幾何圖形的面積關(guān)系是無法充分體現(xiàn)出來的，因為幾何圖形僅局限在正數(shù)范圍內(nèi)，由此得出的公式要擴大其外延還要回到計算推理上來，這樣看來圖形導(dǎo)入有點多此一舉，而目前教材的編寫計算發(fā)現(xiàn)法導(dǎo)入可以避免其不足，要得出規(guī)律，需要對幾個題目進行反復(fù)觀察、比較、歸納、猜想，使得對公式的結(jié)構(gòu)特征有更深刻的認識。

第三，為什么教材沒有從現(xiàn)實情境出發(fā)引入課題？

培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識是新課程強調(diào)的重要目標(biāo)之一，主要表現(xiàn)在：認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中具有廣泛的應(yīng)用；面對實際問題時，能主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數(shù)學(xué)知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應(yīng)用價值。課程標(biāo)準(zhǔn)還要求數(shù)學(xué)教學(xué)要采用“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開。這使部分教師理解上出現(xiàn)偏差，好像每一節(jié)課都必須與實際應(yīng)用建立聯(lián)系，挖空心思地尋找或者“創(chuàng)造”應(yīng)用背景，致使一些應(yīng)用題的設(shè)置或者毫無實際意義，或者超出學(xué)生的閱歷。我們知道，并不是所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都需要從現(xiàn)實情境引入的，這要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點和學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律而定?！捌椒讲罟健笔且环N特殊形式，這節(jié)內(nèi)容相對于學(xué)生已有認知結(jié)構(gòu)中的多項式乘以多項式的知識來說，處于下位關(guān)系.而在下位學(xué)習(xí)中，新內(nèi)容和原有認知結(jié)構(gòu)的作用方式是同化，平方差公式可以直接和原數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中的多項式乘以多項式的知識相聯(lián)系，直接納入原有的認知結(jié)構(gòu)之中，因此，本節(jié)課可以直接從數(shù)學(xué)問題本身引入課題，不需要從現(xiàn)實情境出發(fā)引入課題。

二、精心設(shè)計導(dǎo)入，回歸自然

從數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要求、學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)方向來看，教材安排得最為合適。筆者認為，平方差公式是多項式乘以多項式的特殊形式，屬于下位學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)入法可以順利實現(xiàn)新知識向舊知識的同化，讓學(xué)生經(jīng)歷一次探究發(fā)現(xiàn)的活動過程，可以進一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高學(xué)生的思維能力。

（一）故事導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，快樂啟航

從前，有一個狡猾的莊園主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)道：“好吧.”回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚.你知道張老漢是否吃虧了嗎？學(xué)習(xí)了本節(jié)課的知識，你將能輕松地解決.

2.自主探索，獲取新知

問題1：利用多項式的乘法法則，計算下面各題。再觀察、分析這組題目左邊的算式和右邊的結(jié)果，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（讓學(xué)生進行小組討論）

（1）（a+b）（m+n）=

（2）（x+3）（x+4）=

（3）（y+3）（y-2）=

（4）（a+5）（a-5）=

（5）（p+q）（p-q）=

（6）（2x+1）（2x-1）=

問題2：通過這些題目的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（二）游戲?qū)?/p>

1.創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)主動

教師出示幻燈片：①寫出你最喜歡的個位數(shù)；②計算100與這個數(shù)的和乘以100與這個數(shù)的差的積。

師：同學(xué)們計算得很投入，你們只要告訴我你寫出的個位數(shù)，我就能馬上說出計算結(jié)果，你們信嗎？

生：我最喜歡的個位數(shù)字是4。

師：你算出的答案是9984，（100+4）（100-4）=9984。

生：我最喜歡的數(shù)字是8。

師：你算的答案是9936，（100+8）（100-8）=9936。

師：神奇嗎？想學(xué)這招嗎？學(xué)完這節(jié)課.你肯定會明白其中的奧妙所在。

2.動手操作

（1）現(xiàn)有兩個數(shù)，不知其大小，請你隨意用兩個字母來表示這兩個數(shù)；（2）請把這兩個數(shù)的和與差分別表示出來.這兩個式子是多項式還是單項式？（3）請將所得的和與差相乘并化簡；（4）請思考：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積等于什么？（讓學(xué)生用自己的語言描述出來）

（三）實例導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

小明去商店買了單價是9.8元/千克的糖果10.2千克，售貨員剛拿起計算器.小明就說出應(yīng)付99.96元。這與售貨員計算出的結(jié)果一樣。售貨員很驚訝地說：“你真是個神童，怎么算得這么快？”小明說：“過獎了，我用了剛學(xué)過的一個數(shù)學(xué)公式?！?/p>

你想知道小明用的是一個什么樣的公式嗎？下面我們一起來學(xué)習(xí)研究。

2.自主探究，歸納發(fā)現(xiàn)

師：我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的乘法，兩個二項式相乘。在合并同類項前有幾項？

生：4項。

師：合并同類項后，積可能是3項嗎？積可能是2項嗎？

生：可能。

教師出示下列習(xí)題：

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

（4）（x+5y）（x-5y）=

（四）操作導(dǎo)入

問題1：你能計算下面圖形（如圖1）的面積嗎？你能用圖示法展示上述計算過程嗎？

（101×99=1002-12）

問題2：將長為（a+b）、寬為（a-b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形（如圖2），并請用等式表示你拼成圖形的面積關(guān)系.

（（a+b）（a-b）=a2-b2）

問題3：此等式中的a、b應(yīng)滿足什么條件？對于任意的a、b，此等式成立嗎？

（①a>b>0；②此式可作為公式，計算過程可?。?/p>

提供足夠數(shù)量、可供歸納的素材，并具有一定的“原生態(tài)”的特征，讓學(xué)生經(jīng)歷自然的篩選、歸納過程。

只有提供足夠數(shù)量、目標(biāo)明確的素材，學(xué)生才容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生歸納的心理需求，自發(fā)地進行歸納。人教版數(shù)學(xué)課本僅提供三個題目，素材明顯不足，而且僅有正例沒有反例，缺乏“襯托”，有失自然，需要增加反例重新布局。探究欄目可修改如下：

計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）（a+b）（m+n）

（2）（x+p）（x+q）

（3）（a+b）（a+b）

（4）（x+1）（x-1）

（5）（m+2）（m-2）

（6）（2x+1）（2x-1）

（7）（a+3b）（a-3b）

（8）（3x+2y）（3x-2y）

問題（1）是基本格式，以復(fù)習(xí)多項式乘法法則；問題（2）是一個重要的典型結(jié)構(gòu)，映射后續(xù)的一元二次方程和一元二次函數(shù)；問題（3）一來與平方差公式作陪襯，二來為完全平方公式打基礎(chǔ)，通過計算繁簡比較，（4）到（8）這5個正例特征足以從前三個反例中顯現(xiàn)出來。由于可供歸納的素材較多，學(xué)生很容易歸納出平方差公式，并自覺驗證、運用平方差公式。學(xué)生先經(jīng)過“炳雜”的計算，后享受“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，經(jīng)歷了一個擬真的“觀察比較——歸納概括——猜想驗證——推理應(yīng)用”的“再創(chuàng)造”過程。

平方差公式是多項式乘以多項式的特殊形式，教師通過鉆研教材，用發(fā)現(xiàn)導(dǎo)入法精心設(shè)計，使導(dǎo)入課更切實有效，就是讓學(xué)生順利實現(xiàn)新知識向舊知識的同化，經(jīng)歷一次探究發(fā)現(xiàn)的活動過程，進一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高學(xué)生的思維能力。

[參 考 文 獻]

[1]鄔云德.初中數(shù)學(xué)導(dǎo)入性教學(xué)的理論與實踐[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究.2012（12）.

[2]何昆生.初中數(shù)學(xué)導(dǎo)入技巧與藝術(shù)案例[J].中學(xué)教學(xué)參考.2012（19）.

（責(zé)任編輯：張華偉）