在比較中感受“標(biāo)準(zhǔn)”的價值

尊重生命，尊重規(guī)律，尊重差異是綠色課堂的基本理念。如何結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在概念教學(xué)中落實(shí)綠色課堂的基本理念，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)“倍概念”知識單元的教學(xué)，筆者進(jìn)行了一些研究與思考。

一、問題的提出

“倍”概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個基本的概念，建立正確的“倍”概念，是解答有關(guān)“倍”的應(yīng)用題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵?！氨丁备拍钔瑫r也是一個起始概念。這一概念的生長點(diǎn)是乘法的意義，下位知識是有關(guān)“倍”數(shù)的三類應(yīng)用題。而除法、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比這些知識分散在不同的年級，這些知識都與“倍”概念有著千絲萬縷的聯(lián)系。

1.教師眼中的“倍”

怎樣建立“倍”概念？有的教師認(rèn)為用“幾個幾”來幫助學(xué)生建立“倍”的概念。也有教師希望在“份”的基礎(chǔ)上建立“倍”概念。還有教師認(rèn)為不管怎樣去講授，一定要讓學(xué)生建立一個正確的“倍”的模型，不要見倍就乘。不同年級的教師對“倍”的認(rèn)識有很大的不同。

2.學(xué)生眼中的“倍”

沒學(xué)“倍”的學(xué)生對“倍”的概念很茫然。學(xué)完“倍”的學(xué)生認(rèn)為倍就是乘。當(dāng)問及二年級學(xué)生“倍”在解題過程中是否有用時，學(xué)生認(rèn)為“有時候有用”。再追問生活中“倍”的問題時，能回答出來的學(xué)生少之又少。這就是學(xué)生眼里的“倍”，從學(xué)生話語中可以看出他們對“倍”概念的認(rèn)識有所欠缺。

基于以上分析，筆者試圖從三個方面對“倍”概念知識教學(xué)進(jìn)行研究：什么是“倍”，學(xué)生對“倍”的認(rèn)知水平以及關(guān)于“倍”概念的教學(xué)對策。

二、什么是“倍”

1.“倍”的定義

“倍”的概念實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了兩個量之間的比較關(guān)系，它是建立在乘法概念基礎(chǔ)上的，是在實(shí)際教學(xué)中從“幾個幾”逐步抽象出來的數(shù)學(xué)概念?！氨丁钡母拍罡嗟貞?yīng)用在解決問題方面，在解決有關(guān)倍、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的實(shí)際問題時強(qiáng)調(diào)的是比較關(guān)系。比較的關(guān)鍵是確定標(biāo)準(zhǔn)，將標(biāo)準(zhǔn)量看作一個單位，通過確定比較量有幾個單位或者是幾分之幾個單位來確定兩者之間的倍比關(guān)系。在比較中“比較量”除以“標(biāo)準(zhǔn)量”等于“比率”，這是比較量和標(biāo)準(zhǔn)量的基本數(shù)量關(guān)系。圍繞著這一關(guān)系還存在著兩個變式，一個是“標(biāo)準(zhǔn)量”乘“比率”等于“比較量”，另一個是“比較量”除以“比率”等于“標(biāo)準(zhǔn)量”。因此，筆者認(rèn)為“倍”表示的是兩個數(shù)的比率，描述的是兩個數(shù)量間一種比的關(guān)系。帶著這樣的一些思考，筆者對人教版教材進(jìn)行了梳理。

2.教材梳理

（1）“倍”的認(rèn)識

“倍”的第一次呈現(xiàn)是在人教版二上第六單元“表內(nèi)乘法（二）”，在學(xué)生學(xué)習(xí)完7的乘法口訣后學(xué)習(xí)“倍”。

“倍”對學(xué)生而言是抽象的、陌生的?！氨丁钡牡谝淮纬尸F(xiàn)實(shí)際上是對乘法結(jié)構(gòu)的一次處理，根據(jù)2個4根、3個4根與1個4根的關(guān)系，引出“一個數(shù)的幾倍”的含義。在這樣的基礎(chǔ)上去認(rèn)識“倍”這個名詞，去理解“倍”的意思，學(xué)生是以乘法為認(rèn)識的載體，是在“幾個幾”的基礎(chǔ)上理解和認(rèn)識“倍”這個概念的。

“倍”的第二次呈現(xiàn)是在人教版二下學(xué)生學(xué)習(xí)了用7、8、9的乘法口訣求商后，安排了“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的除法應(yīng)用題。

學(xué)生學(xué)習(xí)到這里時，已經(jīng)開始認(rèn)識到“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的核心結(jié)構(gòu)，是真正的兩個數(shù)量在相互比較，即用其中的一個量作為標(biāo)準(zhǔn)，另一個量包含了幾個標(biāo)準(zhǔn)量就是標(biāo)準(zhǔn)量的幾倍。

通過對前面教材的梳理，筆者有了一種設(shè)想，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中會出現(xiàn)“求一倍量”的教學(xué)。但是人教版教材在二下安排了求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍后，對“倍”的知識就不再研究了，教材上沒有專門設(shè)計(jì)“求一倍量”的例題，只是在三年級下安排了一道練習(xí)。

通過梳理蘇教版、西師版教材，筆者發(fā)現(xiàn)這兩個版本的教材也沒有專門設(shè)計(jì)“求一倍量”的例題。這是編寫者的有意為之。那么編寫者為什么這樣考慮呢，是不是這部分內(nèi)容學(xué)生不用學(xué)就會了？為此筆者對學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況展開了調(diào)查研究。

調(diào)研發(fā)現(xiàn)：單從解決問題的角度看，倍數(shù)關(guān)系和份總關(guān)系在結(jié)構(gòu)上有很多相似之處，都是一乘兩除的模型。教材中對于份總關(guān)系的研究提供的素材很多，學(xué)生在遇到求一倍量的問題時可以借助份總關(guān)系的模型以及除法的意義和倍數(shù)的三量關(guān)系來解決。就解決問題的方法來說，學(xué)生沒有太大的困難。編者可能基于這個角度考慮，沒有將“求一倍量”的例題編入教材。

但筆者認(rèn)為從比較關(guān)系的角度來看，加入“求一倍量”的學(xué)習(xí)很有必要。從高年級學(xué)生的情況來看，學(xué)生進(jìn)入高年級后，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等應(yīng)用問題時就存在一定困難，錯誤較多，主要表現(xiàn)在找不準(zhǔn)比較的“標(biāo)準(zhǔn)”，因?yàn)樗麄儧]有掌握比較的方法。

（2）“倍”與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的關(guān)系

“倍”概念的后續(xù)學(xué)習(xí)還有分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的概念，與“倍”的概念有著密切聯(lián)系。

分?jǐn)?shù)既可以表示一個具體的數(shù)，也可以表示兩個數(shù)之間的關(guān)系。分?jǐn)?shù)可以表示率也可以表示量。百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別就在于，百分?jǐn)?shù)只表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，并且只表示率。在小學(xué)階段，一般當(dāng)商大于1時，習(xí)慣說被除數(shù)是除數(shù)的多少倍，而當(dāng)商小于1時，習(xí)慣說被除數(shù)是除數(shù)的幾分之幾或百分之幾。比也是兩個數(shù)量之間進(jìn)行比較，比的前項(xiàng)與后項(xiàng)之間存在著的關(guān)系就是倍數(shù)關(guān)系。因此，筆者認(rèn)為分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比都是對整數(shù)“倍”的擴(kuò)展，其本質(zhì)是“倍”的概念，所以“倍”概念的建立至關(guān)重要。

（3）不同版本“倍”的出現(xiàn)形式

在梳理教材的過程中筆者發(fā)現(xiàn)，人教、蘇教兩套不同版本教材中的“倍”都有四種外顯的形式，可以將它稱為對“倍”的認(rèn)識的四種表征，即情境表征、圖形表征、語言表征和算式表征。學(xué)生可以從以上四種表征入手，學(xué)習(xí)“倍”的概念。

3.“倍”的核心思想

“倍”概念實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了兩個量之間的比較關(guān)系，所以“比較”就是“倍”概念的核心思想。那么，什么是比較呢？通過收集查看相關(guān)的資料，可得出：比較是確定有關(guān)事物的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法。數(shù)學(xué)中的比較是多方面的，包括量的大小比較、結(jié)構(gòu)和關(guān)系比較、數(shù)學(xué)性質(zhì)比較等。在小學(xué)階段涉及的主要是量的大小比較、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的比較。

比較關(guān)系從知識點(diǎn)的角度說可以分為這樣幾個層次（見圖1）：首先是一年級出現(xiàn)的相差關(guān)系；之后是二年級開始出現(xiàn)的倍比關(guān)系（倍）；再往后是高年級出現(xiàn)的比率關(guān)系（分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比）。

從比較的方法上來看，相差關(guān)系是兩個量之間在“比多比少”；倍比關(guān)系是兩個量之間用其中一個量作為標(biāo)準(zhǔn)，另一個量包含了幾個它就是它的幾倍。比較中的關(guān)鍵是要確定標(biāo)準(zhǔn)，其次就要把“比較量”按照“標(biāo)準(zhǔn)”去分。在高年級的比率關(guān)系中出現(xiàn)了比較量小于標(biāo)準(zhǔn)量的情況，這時也就出現(xiàn)了分率。只有當(dāng)學(xué)生清楚地了解了比較的核心、比較的方法、比較的步驟時才能真正理解“倍”的概念，真正體會到比較中“標(biāo)準(zhǔn)”的價值。

三、學(xué)生認(rèn)知情況研究

為了了解學(xué)生對“倍”概念的理解掌握情況，依據(jù)四種表征方式（情境表征、圖形表征、語言表征、算式表征），筆者對學(xué)生進(jìn)行了前期的調(diào)研與分析。

通過對三年級學(xué)生的前測發(fā)現(xiàn)：

首先，學(xué)生對于“倍”這一概念的認(rèn)識，在四種表征形式中對算式表征的使用的正確率最高，而用圖形表征的正確率最低。圖形本應(yīng)是最具體生動的，最能夠直觀體現(xiàn)“倍”概念的形式，那為什么這種表征的正確率卻最低呢？這表明教師在平時的教學(xué)中把教學(xué)重點(diǎn)放在了解決問題的方法上，注重了對算式的訓(xùn)練，而忽視了對“倍”的本質(zhì)概念的教學(xué)。

其次，從情境表征向其他表征轉(zhuǎn)換的正確率比較高，而從其他表征返回到情境表征就比較困難了，學(xué)生的正確率較低。因此，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生對多種表征方式之間的聯(lián)系的理解，從多種角度認(rèn)識“倍概念”，達(dá)成對“倍”的深度認(rèn)知。

最后，從學(xué)生的錯誤中不難發(fā)現(xiàn)，多數(shù)出錯的學(xué)生對于一倍數(shù)、倍數(shù)和幾倍數(shù)三量的關(guān)系不是很清楚，他們不能夠用正確的比較方法找出標(biāo)準(zhǔn)量和比較量，更別提用圖來表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系。

綜上所述，“倍”的概念對于學(xué)生來說，是一個數(shù)學(xué)中的概念、抽象的概念，“倍”概念建立的過程缺乏與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系。調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，在建立“倍”的概念過程中，數(shù)量及其他客觀因素影響了學(xué)生對“倍”概念的建立與理解；在現(xiàn)有教材的編排下建立“倍”的概念，容易使學(xué)生形成見“倍”就乘的思維定勢。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對“倍”的概念的掌握不夠牢固。學(xué)生建立和理解“倍”的概念，需要一個反復(fù)、持續(xù)的過程，因此對“倍”的再認(rèn)識以及整個知識單元概念的建立需要常抓不懈。

四、思考與建議

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，我們該如何結(jié)合綠色課堂理念設(shè)計(jì)“倍的再認(rèn)識”的課堂教學(xué)呢？

（1）通過對學(xué)生的前期調(diào)研與教材梳理，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的“會”其實(shí)不是真的“會”。學(xué)生并不是真正的對三量關(guān)系有感受，也不能正確地用圖示表示三量關(guān)系。所以，從比較關(guān)系的角度對“倍”這一抽象概念進(jìn)行再認(rèn)識是很有必要的。

（2）數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明，在教學(xué)設(shè)計(jì)時，應(yīng)該充分利用多種表征之間的轉(zhuǎn)化，從多個角度幫助學(xué)生去認(rèn)識“倍”，以達(dá)成他們對“倍”的深度理解。教師應(yīng)該讓學(xué)生理解確定“標(biāo)準(zhǔn)”的重要性，并感受到“標(biāo)準(zhǔn)”就像一把尺子，用這把尺子去衡量“比較量”，從而深刻地理解三量關(guān)系，為今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等問題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

（3）結(jié)合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)鞏固他們對“倍”的概念的理解。通過“倍”的再認(rèn)識的教學(xué)，使學(xué)生能夠掌握一定的比較方法，在解決與“倍”有關(guān)的實(shí)際問題時能夠主動運(yùn)用這種方法，在應(yīng)用中真正感受“標(biāo)準(zhǔn)”的價值。

（作者單位：北京市石景山區(qū)銀河小學(xué)）

（責(zé)任編輯：馬贊 龔道娣）