基于廣義梁理論的薄壁圓柱殼穩(wěn)定性分析

譚福穎 喬 玲 韓曉林

(東南大學土木工程學院,南京 210096)(東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室,南京 210096)

殼體結(jié)構(gòu)在航空航天工程和土木工程中得到了廣泛應用,而圓柱殼屈曲問題一直是殼體研究中最為關(guān)注的課題之一,這類結(jié)構(gòu)在承受荷載時大多在強度破壞前就已發(fā)生失穩(wěn)破壞,因此研究影響薄壁殼體穩(wěn)定性的因素一直受到研究者們的重視.

對于廣義梁理論,國內(nèi)外學者進行了大量研究.1989年德國學者Schardt[1]首次提出廣義梁理論,此理論是在經(jīng)典的Vlasov梁理論的基礎上進行拓展,通過研究局部坐標系下平面彎曲截面下變形,從而分析全局域和局部域下薄壁棱柱形矩形結(jié)構(gòu)構(gòu)件的屈曲行為.由于Schardt的研究成果主要以德文的形式發(fā)表,在一定程度上影響了該理論的傳播和應用.Davies等[2]最先以英文的方式將廣義梁理論進行闡述,并應用該理論對冷彎薄壁型鋼(主要是C形和Z形截面)的相關(guān)屈曲進行了系統(tǒng)的理論分析和試驗驗證.文獻[3-7]將廣義梁理論擴展到多種材料形式、考慮剪切扭轉(zhuǎn)變形、幾何非線性、一階靜力和二階穩(wěn)定以及任意分支開口截面下的薄壁桿件分析中,并給出了廣義梁有限元模型以及利用數(shù)值計算方法求解出了廣義梁方程.我國學者李開禧[8]1990年提出過類似的理論,研究在中線為直線的假定條件下,利用圖解法求解薄壁桿件的截面變形問題.與國外相比,國內(nèi)對于廣義梁理論這種充分考慮截面變形梁理論的研究仍然滯后,國內(nèi)相關(guān)的研究鮮有報道.

本文將廣義梁理論引入并推廣到薄壁圓形截面柱殼的穩(wěn)定性分析中,開展了對中空薄壁圓柱殼屈曲的研究,從一階線性分析拓展到各階屈曲分析,通過獲得屈曲應力和與之對應的臨界軸長表達式,研究了不同長細比下臨界應力隨軸長、厚度的變化關(guān)系,為薄壁圓柱殼穩(wěn)定性分析提供了一個新方法.

1 薄壁圓柱殼穩(wěn)定性理論分析

1.1 幾何方程

如圖1所示,全局坐標系XYZ中,圓柱殼半徑為r,厚度為t,軸長為L.在中性面上建立一個局部坐標系x,θ和z.其中軸向x∈[0，L],圓周向θ∈[0，2π],徑向z∈[-t/2，+t/2].分別用u,v,w表示局部坐標系下點的各向位移.

圖1 全局坐標系及局部坐標系下圓柱殼參數(shù)示意圖

基于Love-Kirchhoff 假設和薄殼理論,應變位移關(guān)系為[9]

(1)

由經(jīng)典梁理論可知,中性橫截面上任一點位移可表示為截面位移與截面翹曲的組合,因此u,v,w可表示成

(2)

式中,x,θ為獨立的自變量和位移振幅函數(shù);φk(x)表示截面翹曲程度;位移函數(shù)uk(θ)表示在同一截面上的截面軸向位移.將式(2)代入式(1),根據(jù)線性應變和非線性應變的定義,將應變劃分為與截面位移u,v,w成線性關(guān)系的線性應變,以及與截面位移u,v,w成非線性關(guān)系的非線性應變2部分.整理得

(3)

(4)

1.2 能量變分方程

薄膜應變能U可通過由薄膜內(nèi)力在中面薄膜變形中所做內(nèi)功計算而得.取微分單元體,由其薄膜力的元功可得能量變分方程為

(5)

(6)

其中,Q11=Q22=E/(1-ν2),Q12=νQ11,Q33=G，E為彈性模量,v為泊松比.

(7)

(8)

殼體穩(wěn)定性分析的首要問題是臨界荷載問題,而該問題是由前屈曲平衡性態(tài)來決定的.當殼體進入屈曲狀態(tài),會出現(xiàn)非線性薄膜應力,使之偏離到屈曲后附加狀態(tài),即非線性狀態(tài),但附加狀態(tài)偏離屈曲狀態(tài)的位移無限小,因此,非線性項應變可以忽略不計.故而,在忽略非線性應變前提下,將上述各式代入到能量變分方程(5)中，可得

(9)

由以上分析可知,能量泛函δU是一個只與軸向u(x,θ)有關(guān)的函數(shù),求解u(x,θ)的表達式即可得到各未知參量.由于u(x,θ)可以分解為2個正交函數(shù)uk(θ)和φk(x)的乘積,因此問題歸結(jié)為求解uk(θ)和φk(x)的表達式.

1.3 各階屈曲模態(tài)

根據(jù)uk(θ)和φk(x)的正交性可知,位移函數(shù)中u(x,θ)中位移振幅函數(shù)φk(x)表示截面翹曲程度,uk(θ)表示在同一截面上的截面位移,因此獲得uk(θ)即可得到殼體橫截面屈曲模態(tài).

由廣義梁理論可知,若要求解能量泛函δU,矩陣Cik,Bik必須對角化.矩陣Cik,Bik對角化，即為uk,uk,θθ,uk,θθθθ滿足獨立正交[11]條件,可表示為

(10)

由正交條件可知，uk(θ)可用三角周期函數(shù)表示為

uk(θ)=rsinkθ,uk(θ)=rcoskθ

(11)

對應于一個給定的k值,uk有正弦和余弦函數(shù)2種表達形式,且兩者相互正交.由工程實際可知,相同的屈曲載荷下由于位移分叉存在2種形態(tài)類似的屈曲模態(tài).引入同一屈曲波數(shù)m可對應于不同的階數(shù)k值,得到2種相似的屈曲模態(tài).因此,當表達式設為正弦函數(shù)時,k=2m;設為余弦函數(shù)時,k=2m+1.因此,筒殼各階截面位移表達式為

(12a)

(12b)

圖2為薄壁圓柱殼2階～13階模態(tài).由圖可知,在同一屈曲載荷下由于位移分叉存在2種形態(tài)類似的屈曲模態(tài),如2階、3階同為屈曲模態(tài),4階、5階同為扭轉(zhuǎn)模態(tài)等,也再次證明所假設的正交對稱位移函數(shù)是可取的.

此外,在實際工程中需要考慮軸向變形和前屈曲問題時,必須要得到其軸向變形模態(tài).對比軸向壓縮模態(tài)的力學性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn),在發(fā)生壓縮模態(tài)時,只存在軸向位移.因此有

ue=1,ve=0,we=0

(13)

式中,下標e表示軸向伸縮模態(tài)下的位移分量.結(jié)合式(12)可以得到,當m=0時，第1階軸壓模態(tài)為

m=0,k=1,u1=1,v1=0,w1=0

(14)

圖2 薄壁圓柱殼各階屈曲模態(tài)

柱殼屈曲時會產(chǎn)生此模態(tài).因此,各階模態(tài)還必須包含一個軸對稱模態(tài)(用下標a表示),其各位移分量為

ua=0,va=0,wa=1

(15)

ut=0,vt=r,wt=0

(16)

變形圖如圖3(c)所示.至此,通過分析獲得了所有可能的屈曲模態(tài)和相應的位移函數(shù)uk(θ)的表達式.因此,下面的研究目標是位移振幅函數(shù)φk(x)的表達式.

圖3 變形圖

1.4 特征值函數(shù)

在廣義梁理論中,通過特征值求臨界屈曲應力[10]有Galerkin法和有限元法.本文為了求解薄壁圓柱殼的能量變分方程,采取Galerkin方法[11],由邊界條件決定位移振幅函數(shù)φk(x)的表達式,從而獲得能量變分方程的特征值函數(shù),進而求得臨界屈曲應力.

1) 邊界條件為簡支、特征值函數(shù)為三角函數(shù)形式.其位移振幅函數(shù)可以設成

(17)

式中,dk為第k階模態(tài)的振幅(可由具體問題給出);n為縱向半波數(shù);L為結(jié)構(gòu)的軸向長度.

2) 邊界條件為非簡支.位移振幅函數(shù)可以設成[12]

(18)

本文主要研究均勻壓縮下的簡支薄壁圓柱殼的穩(wěn)定性問題,因此,變分方程(9)變形為

(19)

整理后,特征值方程為

式中,λb為分叉屈曲下的特征值,并且只與軸向坐標L有關(guān).將位移振幅函數(shù)代入式(20),分叉屈曲特征值λb為

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

2 薄壁圓柱殼穩(wěn)定性數(shù)值仿真

通過理論推導已得到臨界應力的表達式,因此,為了驗證此方法的適用性和正確性,下文將針對具體算例,采用理論方法與數(shù)值解法進行對比,研究軸長和厚度對屈曲應力的影響.

2.1 構(gòu)件尺寸比

當構(gòu)件半徑和厚度為定量,隨著軸長的不斷增長,構(gòu)件可劃分為極短柱殼、中短柱殼和細長柱殼3類.本文以均勻壓縮圓柱殼為研究對象,已知圓柱殼中心截面半徑r=100 mm,厚度t=1 mm.采用鋁合金材料,彈性模量E=68 GPa,泊松比ν=0.33,柱頂受到1 600 N的均勻軸向荷載,兩端簡支.

由文獻[14]可知,當L≤17.37 mm時,構(gòu)件屬于極短柱殼;當L>17.37 mm時,構(gòu)件屬于中短柱殼；當L>1 004.30 mm時,構(gòu)件屬于細長柱殼.

2.2 圓柱殼軸長與屈曲應力的關(guān)系

基于以上理論分析,簡支邊界條件下的正弦振幅函數(shù)為φk(x),分別令縱向半屈曲波數(shù)n=1,2,得到屈曲應力σb和軸長L的關(guān)系如圖4所示.

分析圖4中n=1的情況可知:

1) 當軸長L<17.37 mm時,主要的屈服模態(tài)以軸對稱模態(tài)的形式出現(xiàn),此時只有徑向位移,屈曲模態(tài)如圖3(b)所示.由構(gòu)件細長比可知,構(gòu)件為極短圓柱殼.極短圓柱殼下臨界屈曲應力值和對應的臨界軸長為[15-16]

圖4 屈曲應力σb和軸長L關(guān)系圖

2) 當軸長17.37

3) 當軸長L>1 000 mm,構(gòu)件為細長圓柱殼,屈曲應力σb隨著軸長L的增長不斷減小,主要以撓曲模態(tài)(m=1)的形式發(fā)生屈曲.

結(jié)合n=1和n=2的情況可得:

1) 由圖4可知當縱向半屈曲波數(shù)n=2和n=1,屈曲應力σb隨著軸長L的變化趨勢完全一致,因此,n=2與n=1相比,相當于整體圖形在橫坐標方向平移一段距離.

(2) 當L<100 mm,屈曲應力存在2個相等極小值點,分別對應于軸對稱模態(tài);當1001 600 mm時,構(gòu)件只以撓曲模態(tài)(m=1)的形式發(fā)生屈曲.

2.3 壁厚與屈曲應力的關(guān)系

在2.2節(jié)中已研究了由圓柱殼軸長L引起的屈曲應力σb變化趨勢,而影響圓柱殼穩(wěn)定性的因素往往還有構(gòu)件的厚度t.由于本文研究對象為薄壁圓柱殼,厚度t取為1～5 mm,其他參數(shù)不變,邊界條件仍為兩端簡支.此外,采用有限元軟件建模,得到相應條件下圓柱殼的屈曲承載力值,與本文方法對比結(jié)果如表1所示.

表1 3種柱殼隨厚度變化的屈曲承載力 N/mm

由表1可知,隨著厚度的增加,屈曲承載力整體呈增大趨勢.在一定范圍內(nèi),增大厚度能夠提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.通過本文推導方法所得的理論解和有限元計算結(jié)果進行對比可知,極短和中短圓柱殼屈曲承載力誤差在2%～3%之間,細長柱殼的誤差稍微偏大,但也小于5%,其主要原因可能是由于細長柱殼屈曲受圓周波數(shù)的影響.極短柱殼屈曲承載力增長幅度為三者中最大,此時厚度對于提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的作用最為明顯.對比于細長柱,厚度對細長柱的屈曲承載力的影響相對較小.

3 結(jié)語

基于廣義梁理論研究了薄壁圓柱殼穩(wěn)定性分析方法,并采用該方法研究了軸長和厚度對屈曲應力的影響.在數(shù)值仿真中,極短圓柱殼主要以軸對稱模態(tài)的形式發(fā)生屈服,存在極小值.中短圓柱殼的屈曲主要發(fā)生在圓周波數(shù)m在2～10區(qū)段內(nèi),屈曲應力σb隨著軸長L的增長整體呈現(xiàn)下降的趨勢,其中也存在幾個局部極小的屈曲應力.細長圓柱殼主要以撓曲模態(tài)(m=1)的形式發(fā)生屈曲,屈曲應力σb隨著軸長L的增長不斷減小.另外,在厚度變化的情況下,厚度對極短圓柱殼的影響為三者中最大,其次為中短圓柱殼,最后為細長圓柱殼.但總體來說,一定范圍內(nèi),隨著厚度的增加,屈曲承載力都相應增加.因此,在一定范圍內(nèi),通過增加厚度提高構(gòu)件的屈曲承載能力也是顯而易見的.通過與已有文獻結(jié)論、有限元分析的結(jié)果對比,證明了將廣義梁理論推廣到圓形截面進行屈曲分析是可行的,而且計算精度較高,與已有結(jié)果保持較好的一致性,這對薄壁圓柱殼穩(wěn)定性分析提供了一個新的方法途徑.

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