中國大數(shù)進(jìn)位法之歷史

田 淼 郭金海

（中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所，北京 100019）

在中國古代，所謂大數(shù)是指億以上的數(shù)字。中國有著完整的大數(shù)進(jìn)制，該體系確定的年代已不可考，很多古書將大數(shù)進(jìn)位法的確立歸于黃帝，顯然不可信?！秶Z》中有“一純二精，三牲四時，五色六律，七事八種，九祭十日，十二辰以致之；百姓千品，萬官億丑，兆民經(jīng)入，賅數(shù)以奉之”［1］之語，可見當(dāng)時大數(shù)的進(jìn)位名稱早已確定，且與后世傳承下來的體制完全一致。屬名東漢徐岳的《數(shù)術(shù)記遺》①給出三種進(jìn)位法：

數(shù)有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載；三等者，謂上中下也。其下數(shù)者十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也；中數(shù)者萬萬變之，若言萬萬曰億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也；上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。［2］

從此文獻(xiàn)分析，中國古代大數(shù)進(jìn)位法的變化很可能是由于現(xiàn)實(shí)中涉及的數(shù)字的增大而演變的，由于基于十進(jìn)的體系不能滿足需求而發(fā)展出以萬萬進(jìn)的中數(shù)進(jìn)制，其后又發(fā)展出以平方位進(jìn)位的上數(shù)進(jìn)制。《孫子算經(jīng)》②中亦有：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載?！保?］與《數(shù)術(shù)記遺》中的“中數(shù)”法進(jìn)位一致。元代數(shù)學(xué)家朱世杰所撰《算學(xué)啟蒙》（1299）中載有一含更多單位的大數(shù)進(jìn)制表，“大數(shù)之類，一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載，萬萬載曰極，萬萬極曰恒河沙，萬萬恒河沙曰阿僧祗，萬萬阿僧祗曰那由他，萬萬那由他曰不可思議，萬萬不可思議曰無量數(shù)。”［4］此進(jìn)位體系較《數(shù)術(shù)記遺》和《孫子算經(jīng)》多出六個數(shù)字單位，使數(shù)字的表達(dá)能力進(jìn)一步加強(qiáng)，其中后面的五個單位名稱明顯來自佛經(jīng)，這些新單位隨著佛學(xué)經(jīng)典在中國的流傳而開始使用，但此進(jìn)位體系確立的最早時間仍需進(jìn)一步研究確定。

古代文獻(xiàn)中涉及大數(shù)單位的記載并不少見。各類史書中多有含億及其后單位的數(shù)字，最早的傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》便含以億為單位的數(shù)字，各類史書中也多有含單位“億”的數(shù)字。雖然有不同的進(jìn)位體系，但我們所見的典籍中對億的界定較為統(tǒng)一，多取萬萬為億，十進(jìn)及平方進(jìn)的大數(shù)進(jìn)制很少使用。然而，億以上的單位的界定則并不一致。

除前文所引的三種進(jìn)制外，還存在以萬進(jìn)的大數(shù)進(jìn)位法。唐孔穎達(dá)的《禮記疏》中有：“億之?dāng)?shù)有大小二法，其小數(shù)以十為等，十萬為億，十億為兆也；其大數(shù)以萬為等，數(shù)萬至萬是萬萬為億，又從億而數(shù)至萬億曰兆，億億曰秭?！保?］萬萬進(jìn)與萬進(jìn)兩種進(jìn)位法都被用于大數(shù)的表達(dá)。像數(shù)學(xué)著作和音律學(xué)著作中含有大量超過兆的數(shù)值，如宋邵雍（1011—1077）《觀物外篇》中所含大數(shù)至“二百四秭六千九百八十萬七千三百八十一垓五千四百九十一萬八千四百九十九兆七百二十萬億”［6］，以現(xiàn)代表示法為：20，469，873，815，491，849，907，200，000億，即為萬萬進(jìn)。清代數(shù)學(xué)家方中通（1634—1698）在其《數(shù)度衍》（1661）卷首中給出一個完整的以萬進(jìn)的大數(shù)進(jìn)制體系：“下數(shù)者十十變之，十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京，至載畢以十進(jìn)；中數(shù)者萬萬變之，萬萬曰億，萬億曰兆，萬兆曰京之類也，上數(shù)者，數(shù)窮則變，萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京之類也?！保?］稍后于方中通的梅文鼎（1633—1721）在表達(dá)大數(shù)時亦取萬進(jìn)?！稊?shù)理精蘊(yùn)》（1723）中采取大數(shù)萬進(jìn)制其單位名稱與《算學(xué)啟蒙》中給出的名稱一致。該書挾敕編之名對其后的數(shù)學(xué)研究和教育產(chǎn)生了很大的影響，但其后的著作中，億以上的大數(shù)進(jìn)制仍不統(tǒng)一。一般來說，清以前的著作中億以上的數(shù)字單位間主要以萬萬為進(jìn)，清以后則萬進(jìn)居多。

民國期間，由于古代進(jìn)制的不統(tǒng)一及以四位或者八位遞進(jìn)的進(jìn)位方式與國際通行的三位分節(jié)法的不同，大數(shù)命名問題引起學(xué)界的關(guān)注及爭論。國民政府教育部、全國度量衡局、中央研究院等部門都曾專門組織學(xué)者進(jìn)行討論，并先后給出建議案。這些建議案主體均取億以下以十進(jìn)位，至百萬為兆，其后則采取千進(jìn)，以與國際通用的數(shù)字三位分節(jié)一致，這樣，兆以上的各個單位便都可與英文單位名對應(yīng)。然而，一直有學(xué)者和科學(xué)家對此持反對意見，如1933年4月，教育部剛剛制定提案便在其主辦的天文、數(shù)學(xué)、物理討論會上被修訂為“個、十、百、千、萬用十進(jìn)法，萬以上億、兆、京、垓等用萬進(jìn)法”，1944年9月，國民參政會接受張伯苓的建議，通令采用新的大數(shù)命名標(biāo)準(zhǔn)，采取四位進(jìn)制，于萬以上僅設(shè)單位億，等等。民國以后各方對大數(shù)單位認(rèn)定的歧議，導(dǎo)致了當(dāng)今兆為百萬，億為萬萬的與傳統(tǒng)計數(shù)單位次序相反的現(xiàn)象。

1949年以后，大數(shù)名稱及進(jìn)制仍較混亂。1986年12月31日，《人民日報》公布《關(guān)于出版物上數(shù)字用法的試行規(guī)定》，規(guī)定“4位和4位以上的數(shù)字，采用國際通行的三位分節(jié)法”，“4位以上的數(shù)字，尾數(shù)零多的，可改寫為以萬、億作單位的數(shù)”。對此規(guī)定，學(xué)界亦不乏反對的聲音③。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，大數(shù)已不僅出現(xiàn)于科學(xué)家及統(tǒng)計學(xué)家等的研究和工作之中，而且開始進(jìn)入日常生活，確立億、兆以上的大數(shù)單位名及進(jìn)制的問題再一次引起廣泛關(guān)注。

注釋

①《數(shù)術(shù)記遺》，原書屬名為：徐岳撰，甄鸞注。徐岳為東漢時人，甄鸞為北周人。戴震認(rèn)為該書為甄鸞偽托徐岳之名所撰，數(shù)學(xué)史家錢寶琮采戴說。郭書春認(rèn)為該書正文應(yīng)為徐岳所著，現(xiàn)《數(shù)術(shù)記遺》的年代及作者仍未完全解決。

②《孫子算經(jīng)》，作者姓名與年代不詳。錢寶琮認(rèn)為該書作于公元400年前后。

③關(guān)于民國至當(dāng)代的大數(shù)進(jìn)制，詳見參考文獻(xiàn)［8］。

［1］國語.四庫全書本.卷18.

［2］徐岳撰，甄鸞注.數(shù)術(shù)記遺.宋嘉定五年刊本.北京：文物出版社，1980影印.

［3］孫子算經(jīng).宋嘉定五年刊本.北京：文物出版社，1980影印.卷上.

［4］［元］朱世杰.算學(xué)啟蒙.1839年刊本.總括.

［5］［漢］鄭玄注，［唐］陸德明音義，［唐］孔穎達(dá)疏.禮記注疏.四庫全書本.卷27.

［6］［宋］邵雍.觀物外篇.四庫全書·皇極經(jīng)世書本.上.

［7］［清］方中通，數(shù)度衍，四庫全書本.卷首上.

［8］郭金海.民國時期的大數(shù)命名及爭議［J］.中國科技術(shù)語，2012，14（2）：44-51.