基于變結(jié)構(gòu)控制的反魚(yú)雷魚(yú)雷攔截彈道建模與仿真

張西勇，李宗吉，王樹(shù)宗

（海軍工程大學(xué) 兵器工程系，武漢430033）

現(xiàn)代海戰(zhàn)中，魚(yú)雷由于具備隱蔽性和不易攔截，成為艦艇面臨的主要威脅之一。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，魚(yú)雷武器正朝著精確制導(dǎo)、智能化方向發(fā)展，對(duì)艦艇以及潛艇構(gòu)成的威脅越來(lái)越大。鑒于此，世界各國(guó)投入巨資開(kāi)展反魚(yú)雷武器的研究，其中以硬殺傷的反魚(yú)雷魚(yú)雷（ATT）成為研究的熱點(diǎn)，而我國(guó)的ATT還處于起步研究階段。ATT也是一種魚(yú)雷，其工作原理和普通魚(yú)雷基本一致，不同的是ATT攻擊的目標(biāo)是魚(yú)雷，而不是艦艇。相比之下，ATT所攻擊目標(biāo)的速度快、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、尺寸小，這樣就增加了攔截難度?，F(xiàn)有魚(yú)雷中常用的導(dǎo)引律有比例導(dǎo)引法、尾流導(dǎo)引法。比例導(dǎo)引法建立在精確的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，因此魯棒性差，目標(biāo)作快速機(jī)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)慢，不適合攔截魚(yú)雷這種小而且機(jī)動(dòng)性強(qiáng)的目標(biāo)；尾流導(dǎo)引法只適合攔截水面艦艇這種大型目標(biāo)。文獻(xiàn)［1］應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)設(shè)計(jì)了空空導(dǎo)彈末端攔截導(dǎo)引律，通過(guò)設(shè)計(jì)導(dǎo)彈法向加速度的變結(jié)構(gòu)控制量，達(dá)到精確命中目標(biāo)的目的，而魚(yú)雷的法向加速度無(wú)法控制，所以不適合于ATT。文獻(xiàn)［2］應(yīng)用變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)了反魚(yú)雷武器導(dǎo)引律，控制量復(fù)雜，所需參數(shù)多，不易工程實(shí)現(xiàn)，且導(dǎo)引律的穩(wěn)定性推導(dǎo)過(guò)程存在錯(cuò)誤。本文采用變結(jié)構(gòu)控制對(duì)ATT的導(dǎo)引律進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并建立了攔截目標(biāo)彈道的數(shù)學(xué)模型。

1 導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

變結(jié)構(gòu)滑模控制由于具有對(duì)模型參數(shù)變化不敏感、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于精確武器的制導(dǎo)規(guī)律中。如在空空導(dǎo)彈的末端導(dǎo)引中采用變結(jié)構(gòu)滑模控制律后，所需法向過(guò)載大大減少，同時(shí)脫靶量減小，因而大幅度提高了命中精度。目標(biāo)和ATT之間的視線角以及目標(biāo)和ATT的航向角通過(guò)聲納裝置很容易確定，本文通過(guò)ATT和目標(biāo)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系數(shù)學(xué)模型，建立了基于航向角變結(jié)構(gòu)控制的ATT導(dǎo)引律控制模型。

以平面內(nèi)情況為例，ATT－魚(yú)雷相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 平面內(nèi)ATT－魚(yú)雷相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

由圖1可以導(dǎo)出如下關(guān)系式：

式中：R為ATT與魚(yú)雷之間的相對(duì)距離；vt，vm分別為目標(biāo)速率和ATT速率；q為視線角；φt，φm分別為目標(biāo)和ATT的速度方向角。

為便于推導(dǎo)，令VR＝，Vq＝，把它們代入式（1），并對(duì)式（1）關(guān)于時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得到：

令：

將式（4）～ 式 （7）代入式 （2）和 式 （3），并 注 意到式（1），得到：

將VR＝，Vq＝代入式（9），得到：

設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的關(guān)鍵在于如何通過(guò)uq控制視線角速度，令其趨于0。從而實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)平行接近。取x1＝q，x2＝，則式（10）可用如下?tīng)顟B(tài)方程描述［3－4］：

式中：uq為控制量，wq為干擾量。

基于準(zhǔn)平行接近原理，選取切換平面為

根據(jù)式（11），構(gòu)造滑模趨近律：

式中：ε為大于0的常數(shù)。

將式（12）、式（11）代入式（13）得到滑模制導(dǎo)律：

下面證明在目標(biāo)魚(yú)雷機(jī)動(dòng)時(shí)滑模制導(dǎo)律可以保證x2→0。由 Lyapunov第二法［5－6］，選取 Lyapunov函數(shù)V＝／2。考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況，將式（11）寫作：

式中：u＝uq，w＝wq。

將V相對(duì)于時(shí)間微分得到：

將式（14）代入式（16），得到：

由于有R＞0，＜0，式（17）中第一項(xiàng)小于0；只要滿足ε＞｜w｜，第二項(xiàng)也為負(fù)。這樣＜0成立。

由式（14）知控制量uq存在高速切換，又由式（7）知，在物理上，uq很難實(shí)現(xiàn)高速切換。因此，滑模制導(dǎo)律uq＝－＋εsgnx2在工程上難以實(shí)現(xiàn)。采用連續(xù)函數(shù)代替切換函數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)律［7－8］，即式中：δ為一很小的正常數(shù)。

同樣，取Lyapunov函數(shù)V＝／2，得到：

1）目標(biāo)魚(yú)雷不作機(jī)動(dòng)。

因?yàn)橛蠷＞0，＜0以及ε和δ均為正常數(shù)，所以＜0，即在目標(biāo)不作機(jī)動(dòng)時(shí)，控制律uq＝－能夠保證視線角速度趨于0，即命中目標(biāo)。

2）目標(biāo)魚(yú)雷作機(jī)動(dòng)。

由式（20）知，當(dāng)wq≠0時(shí)，顯然不滿足＜0，只有當(dāng)時(shí)滿足＜0，令｜w｜max為｜w｜的最大值，則有，即時(shí)滿足＜0。因此，當(dāng)目標(biāo)魚(yú)雷機(jī)動(dòng)時(shí)，控制律uq＝－只能將視線角速度x2穩(wěn)定地控制在的鄰域內(nèi)，而不能保證x2趨于0。理論上，ATT和目標(biāo)的視線角穩(wěn)定控制在一定范圍是能夠保證ATT精確命中目標(biāo)的。

2 彈道數(shù)學(xué)模型

由前面導(dǎo)引律模型和ATT與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可以建立ATT攔截目標(biāo)魚(yú)雷的彈道計(jì)算模型：

仿真中，假設(shè)目標(biāo)魚(yú)雷以20m／s的速度航行，初始航向角為240°，ATT的速度為30m／s，初始航向角為45°，ATT和目標(biāo)魚(yú)雷的初始距離為500m，初始視線角為45°，取ε＝50，δ＝0.01。

3 仿真分析

采用龍格庫(kù)塔法，對(duì)式（21）進(jìn)行仿真分析，步長(zhǎng)取ts＝0.001s。

1）目標(biāo)魚(yú)雷航向恒定。仿真結(jié)果如圖2～圖8所示。

圖2 目標(biāo)魚(yú)雷航向恒定時(shí)ATT和目標(biāo)魚(yú)雷視線角

圖3 目標(biāo)魚(yú)雷航向恒定時(shí)ATT航向角

圖4 目標(biāo)魚(yú)雷航向恒定時(shí)控制量uq的曲線圖

圖5 目標(biāo)魚(yú)雷航向恒定時(shí)ATT攔截彈道

仿真時(shí)間為12s。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)進(jìn)入滑模狀態(tài)的時(shí)間極短，為0.025s，說(shuō)明系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間極短，ATT與目標(biāo)魚(yú)雷視線角穩(wěn)定控制在一恒定值，驗(yàn)證了前面的理論推導(dǎo)。在10.2sATT準(zhǔn)確命中目標(biāo)，ATT彈道成一條直線，表明目標(biāo)作直線航行時(shí)，ATT法向過(guò)載為0，ATT不需作機(jī)動(dòng)就能命中目標(biāo)。

2）目標(biāo)魚(yú)雷作蛇形機(jī)動(dòng)。仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。

圖6 目標(biāo)魚(yú)雷作蛇形機(jī)動(dòng)時(shí)ATT和目標(biāo)魚(yú)雷視線角

圖7 目標(biāo)魚(yú)雷作蛇形機(jī)動(dòng)時(shí)ATT航向角

圖8 目標(biāo)魚(yú)雷作蛇形機(jī)動(dòng)時(shí)控制量uq的曲線圖

圖9 目標(biāo)魚(yú)雷作蛇形機(jī)動(dòng)時(shí)ATT攔截彈道

仿真時(shí)間為14s。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)進(jìn)入滑模狀態(tài)的時(shí)間短，為0.788s，這表明系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間短，ATT與目標(biāo)魚(yú)雷視線角穩(wěn)定控制在一恒定值的小鄰域內(nèi)，與理論推導(dǎo)相吻合。在12sATT準(zhǔn)確命中目標(biāo)，ATT彈道平滑，法向過(guò)載小。

3）目標(biāo)魚(yú)雷作大角度機(jī)動(dòng)。仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 目標(biāo)魚(yú)雷作大角度機(jī)動(dòng)時(shí)ATT攔截彈道

由圖2和圖6可以看出，在控制律uq＝－42的作用下，ATT和目標(biāo)魚(yú)雷的視線角很快穩(wěn)定在一固定值的小范圍內(nèi)，滿足平行接近原理。由圖5、圖9和圖10可以看出，ATT直接命中目標(biāo)，彈道穩(wěn)定平滑，ATT法向過(guò)載小；當(dāng)目標(biāo)直線航行時(shí)，ATT彈道是一條直線，不存在法向過(guò)載；當(dāng)目標(biāo)作蛇形機(jī)動(dòng)時(shí)，ATT也能精確命中目標(biāo)，并且彈道平滑，法向過(guò)載小，系統(tǒng)響應(yīng)快。當(dāng)目標(biāo)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間幾乎為0，目標(biāo)作機(jī)動(dòng)時(shí)響應(yīng)時(shí)間也不到1s。實(shí)際上，由于變結(jié)構(gòu)控制的強(qiáng)魯棒性，導(dǎo)引律對(duì)模型參數(shù)測(cè)量誤差及外界干擾具有強(qiáng)魯棒性。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了基于變結(jié)構(gòu)的反魚(yú)雷魚(yú)雷導(dǎo)引律。導(dǎo)引律通過(guò)控制ATT的航向角來(lái)導(dǎo)向目標(biāo)魚(yú)雷，并在理論上證明該導(dǎo)引律能夠使ATT穩(wěn)定地以準(zhǔn)平行接近方式導(dǎo)向目標(biāo)魚(yú)雷，并對(duì)目標(biāo)魚(yú)雷的機(jī)動(dòng)具有魯棒性。在導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，建立了ATT攔截彈道的仿真模型，并對(duì)彈道進(jìn)行了仿真計(jì)算，從仿真結(jié)果可以看出，ATT具有非常高的命中精度，能夠直接碰撞目標(biāo)，在目標(biāo)作蛇形機(jī)動(dòng)時(shí)，ATT也能保證命中目標(biāo)，并且彈道平滑，法向過(guò)載小，系統(tǒng)響應(yīng)快，表明本文所設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律適于在反魚(yú)雷魚(yú)雷中應(yīng)用。

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