裂縫等效介質(zhì)模型對(duì)裂縫結(jié)構(gòu)和充填介質(zhì)參數(shù)的適應(yīng)性

沈金松，詹林森，馬 超

1.中國石油大學(xué)地球物理與信息工程學(xué)院，北京 102249

2.油氣資源與探測(cè)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249

3.中國石油集團(tuán)公司物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249

0 前言

依據(jù)地震響應(yīng)特征識(shí)別和描述儲(chǔ)層的裂縫分布、孔隙中的流體性質(zhì)等，已成為裂縫性含油氣儲(chǔ)層探測(cè)和評(píng)價(jià)的中心議題。地震波動(dòng)理論［1］、大型物理模擬實(shí)驗(yàn)［2］和生產(chǎn)實(shí)踐［3］均證實(shí)：地層中裂縫的規(guī)模分布會(huì)引起介質(zhì)中地震波傳播的各向異性特征，不同方向上P波、S波和轉(zhuǎn)換波的傳播模式和傳播速度具有明顯的差異；這也為地震勘探實(shí)現(xiàn)裂縫分布預(yù)測(cè)和定量評(píng)價(jià)提供了物理基礎(chǔ)。

然而，限于裂縫各向異性地層地震響應(yīng)的復(fù)雜性，目前對(duì)裂縫性地層的研究大多采用各種假設(shè)下的等效介質(zhì)模型或?qū)?yīng)的近似解［4－5］。例如，目前應(yīng)用最廣的 Hudson［6－8］裂縫模型是單一方向裂縫平行排列的近似模型，它基于小裂縫密度和小縱橫比薄圓片裂縫的假設(shè)，導(dǎo)出了裂縫參數(shù)與等效彈性參數(shù)的一階和二階漸近關(guān)系。對(duì)于大裂縫密度，Hudson的二階漸近關(guān)系中二階修正項(xiàng)的影響大于一階修正項(xiàng)的影響，導(dǎo)致二階漸近關(guān)系計(jì)算的等效彈性模量與實(shí)際介質(zhì)彈性特性不符。因此，Hudson［8］的二階漸近關(guān)系不適用大裂縫密度介質(zhì)的評(píng)價(jià)和描述。Cheng［9］基于Eshelby的長波長靜態(tài)解析解給出了與Hudson二階漸近展開相似的展開項(xiàng)，放寬了裂縫小縱橫比的限制，解決了Hudson二階漸近展開在大裂縫密度情況下無法得到有物理意義解的問題。

為了更好地定量考察Hudson［8］裂縫模型的精度和適用范圍，筆者在簡單回顧裂縫各向異性介質(zhì)彈性參數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，分析了Eshelby理論響應(yīng)、Hudson裂縫模型和Liu含裂隙介質(zhì)模型的彈性響應(yīng)關(guān)系；通過與Eshelby模型理論響應(yīng)的比較，在飽水和干裂縫狀態(tài)下，考察了Hudson一階和二階漸近關(guān)系對(duì)不同裂縫密度、裂縫孔隙縱橫比的適用范圍；分析了Cheng［9］等的Pade二階漸近關(guān)系與Hudson模型二階修正關(guān)系在模擬裂縫性地層等效彈性響應(yīng)特征方面的適應(yīng)性；對(duì)比了Liu含裂隙介質(zhì)模型和Hudson模型對(duì)裂縫密度、裂縫孔隙縱橫比的適用范圍的差異；指出了Liu含裂隙介質(zhì)模型中法向柔度和切向柔度對(duì)裂縫孔隙結(jié)構(gòu)和其中充填介質(zhì)的敏感性差異，為裂縫性儲(chǔ)層流體識(shí)別和定量評(píng)價(jià)提供了理論基礎(chǔ)。

1 各向異性介質(zhì)中彈性參數(shù)與速度的關(guān)系

基于線性彈性理論，應(yīng)力τ和應(yīng)變?chǔ)诺?個(gè)分量存在如下線性關(guān)系［1］：

式中，C為4階張量的剛度系數(shù)陣。

由切應(yīng)力互等原理知道，應(yīng)力和應(yīng)變具有對(duì)稱性。因此，描述任意各向異性介質(zhì)最多需要21個(gè)彈性剛度分量。C［1］可以退化為

對(duì)于橫向各向同性（VTI）介質(zhì)（圖1a），地震波的波速只與傳播方向有關(guān)。根據(jù)對(duì)稱性原理，其彈性剛度系數(shù)有C22＝C11，C44＝C55，C23＝C13，C12＝C11－2C66，其他元素均為0，其剛度系數(shù)陣［9］退化為

若將VTI介質(zhì)的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)90°，就變?yōu)樗綄?duì)稱軸的垂向各向同性（HTI）介質(zhì)（圖1b），其由單組平行于垂直裂縫的各向同性介質(zhì)構(gòu)成，相應(yīng)的彈性剛度陣［9］為

當(dāng)S波垂直入射到HTI介質(zhì)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生快S波和慢S波，發(fā)生橫波分裂?？霺波的偏振方向平行于裂縫平面，慢S波的偏振方向垂直于裂縫平面。

由關(guān)系式（3）可知：對(duì)于橫向各向同性介質(zhì)，僅需要5個(gè)獨(dú)立彈性參數(shù)（C11，C13，C33，C44，C66）即可描述其彈性性質(zhì)；相應(yīng)的四階彈性張量中的參數(shù)為C1111，C1133，C3333，C2323和C1212，其他分量為0。

圖1 VTI（a）和 HTI（b）介質(zhì)示意圖Fig.1 Illustration of VTI（a）and HTI（b）medium

根據(jù)各向異性介質(zhì)中的彈性本構(gòu)方程，得到介質(zhì)中準(zhǔn)縱波和兩類準(zhǔn)橫波的相速度［10］：

式中：ρ為裂縫介質(zhì)的等效密度；φ為入射角，即入射波與裂縫介質(zhì)對(duì)稱軸的夾角。

對(duì)于介質(zhì)中的垂直裂縫，筆者均采用水平對(duì)稱軸的HTI介質(zhì)模擬。對(duì)于實(shí)際地層模型的裂縫分布，用不同縱橫比的橢球近似薄硬幣形或圓片形裂縫嵌入各向同性基質(zhì)形成裂縫性介質(zhì)模型，再用等效介質(zhì)模型計(jì)算近似的等效剛度張量C，進(jìn)而模擬研究各向異性速度隨入射角和裂縫密度變化的響應(yīng)規(guī)律。

2 基于等效介質(zhì)理論的裂縫模型及數(shù)學(xué)表達(dá)

2.1 Eshelby模型的彈性系數(shù)關(guān)系

1957年Eshelby［11］應(yīng)用常應(yīng)力和應(yīng)變得到了橢球形包裹體嵌入各向同性基質(zhì)中形成的混合介質(zhì)內(nèi)部應(yīng)變的解析解。考慮混合介質(zhì)內(nèi)整個(gè)體積域V的位能最小，可以得到等效彈性模量。若混合介質(zhì)的均勻應(yīng)變?yōu)棣臕，則混合介質(zhì)的等效彈性張量C＊滿足如下關(guān)系：

式中，Eint是由于裂縫存在而產(chǎn)生的能量變化，且為包裹體的自由應(yīng)變，通過包裹體的體積方程和縱橫比組成的矩陣與實(shí)際應(yīng)變聯(lián)系起來，且有

其中：Φ為孔隙度為無裂縫均勻介質(zhì)的彈性系數(shù)為應(yīng)變對(duì)應(yīng)的一階近似彈性系數(shù)，由Cheng［9］導(dǎo)出（附錄 A）。

2.2 Hudson模型的漸近展開式

Hudson模型［6－7］的假設(shè)為：1）裂縫存在于均勻各向同性介質(zhì)中，且裂縫中的介質(zhì)可看成基質(zhì)中的包裹體，能適用Eshellby的經(jīng)典包裹體理論；2）地震波長范圍內(nèi)裂縫均勻且呈不連續(xù)稀疏分布，裂縫可用小縱橫比的扁橢球體近似且其體積占介質(zhì)整體的比例很小，即裂縫孔隙度很??；3）介質(zhì)中包含的定向排列裂縫比地震波長小得多，可用長波長近似導(dǎo)出裂縫各向異性介質(zhì)的近似表達(dá)式。

基于上述假設(shè)，Hudson［6－7］運(yùn)用散射理論分析了包含薄幣型橢球體裂縫的彈性固體介質(zhì)的平均波場(chǎng)，將含裂縫介質(zhì)的彈性系數(shù)等效為各向同性介質(zhì)中的彈性系數(shù)及裂縫存在而產(chǎn)生的一階和二階擾動(dòng)量之和。該理論將裂縫的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)，包括裂縫的半徑、密度及縱橫比等參數(shù)，與裂縫介質(zhì)的宏觀彈性性質(zhì)相聯(lián)系，為裂縫介質(zhì)的定量評(píng)價(jià)奠定了理論基礎(chǔ)。若介質(zhì)中只有一組平行排列且均勻分布的薄圓幣型裂縫，且裂縫的尺度和分布間距都遠(yuǎn)小于波長，對(duì)于裂縫面法線方向?yàn)樗降拇怪绷芽p，裂縫介質(zhì)中平均波場(chǎng)的等效剛度模量為

式中：為無裂縫均勻介質(zhì)的彈性系數(shù)為一階校正量，即單個(gè)裂縫獨(dú)立作用時(shí)對(duì)彈性參數(shù)影響的修正項(xiàng)為二階校正量，表示不同裂縫間耦合作用對(duì)彈性參數(shù)影響的修正項(xiàng)。

一階和二階修正量具有如下關(guān)系：

需要注意的是，上述近似關(guān)系的導(dǎo)出假設(shè)了裂縫密度不受張開度影響，且一階、二階校正量遵守TI介質(zhì)的對(duì)稱關(guān)系。裂縫中的填充物為“弱”的標(biāo)準(zhǔn)取決于填充物的形狀、縱橫比及填充物和基質(zhì)模量的相對(duì)比值。干裂縫的填充物模量可設(shè)為0，飽含流體的裂縫其填充物的剪切模量為0。對(duì)于Hudson的大縱橫比裂縫和多組裂縫排列時(shí)裂縫介質(zhì)等效彈性的計(jì)算關(guān)系見文獻(xiàn)［6－7］。

2.3 Liu含裂隙介質(zhì)模型的近似關(guān)系

劉恩儒等［12］在Hudson模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，提出了計(jì)算裂縫柔度系數(shù)Z的模型［13］，導(dǎo)出了裂隙介質(zhì)彈性本構(gòu)關(guān)系式。利用該彈性本構(gòu)關(guān)系，可將幾種常用的裂縫模型（如孤立滑移面裂縫模型、非連續(xù)接觸裂縫模型、液體薄層裂縫模型等）用統(tǒng)一的彈性關(guān)系表示，且當(dāng)已知裂縫表面的一些信息時(shí)，可將宏觀測(cè)得的柔度系數(shù)直接與裂隙的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系起來。

對(duì)于平行裂縫的情況，設(shè)體積為V的含流體介質(zhì)中包含Nf個(gè)表面積為Sr的裂縫，其彈性介質(zhì)的平均應(yīng)變?chǔ)趴杀硎緸?/p>

式中：σ是基質(zhì)的平均應(yīng)變張量；s（0）是基質(zhì)的柔度張量；s（1）是由裂縫的存在而引起的柔度張量擾動(dòng)量。則等效介質(zhì)的應(yīng)變表達(dá)式為

式中：sf表示由于裂縫存在而引起的額外柔度張量；［ui］是與Sr相關(guān)的滑動(dòng)位移的第i個(gè)分量；ni為第i個(gè)裂縫面法向分量，當(dāng)所有的裂縫都定向排列時(shí)，其法向?yàn)閚?？梢詫內(nèi)每一個(gè)裂縫替換成平均裂縫，表面積為S，其線性滑動(dòng)邊界條件為［13］

式中：t為裂縫面上的張力是裂縫平面的平均滑動(dòng)位移量；為了與不考慮線性滑移效應(yīng)的裂縫柔度矩陣s相區(qū)別，遵照文獻(xiàn)中的慣用符號(hào)，在線性滑動(dòng)模型中換用｛Z｝表示與裂縫的內(nèi)部充填物和互連情況相關(guān)的柔度矩陣。

根據(jù)Liu等［13］的簡單無約束裂縫模型導(dǎo)出的結(jié)果，等效介質(zhì)的應(yīng)變表達(dá)式可寫為

式中：｛T｝為介質(zhì)中一點(diǎn)的應(yīng)力，取決于｛Z｝。由于裂縫的存在而引起的柔度擾動(dòng)量為

(2)地下水的徑流。地表水通過巖體風(fēng)化網(wǎng)狀裂隙及節(jié)理裂隙緩慢下滲，并逐步匯聚到F1、F2斷裂帶中，再沿F1、F2斷裂帶滲流，并以地下水為載體，在長距離的運(yùn)移過程中吸收周圍巖石骨架中的熱能及礦物質(zhì)，形成載熱流體賦存于F1、F2斷裂帶中。F2斷裂在深部被F1所阻后，地?zé)崴谾1斷裂帶上涌，在地勢(shì)低洼處排泄形成溫泉。

其中，Df＝（NfS）/V。

若統(tǒng)計(jì)意義上裂縫法向均為n，則只需用切向和法向柔度ZT和ZN即可表示裂縫的彈性參數(shù)：

式（19）可改寫為

其中：Z′N＝ZNTN；Z′T＝ZTTT。將四階張量簡化為二階張量，則sijkl＝spq。對(duì)柔度矩陣s求逆即可得到等效彈性常量或剛度矩陣C［16］。其中與裂縫相關(guān)的參數(shù)為Z′N和Z′T。

下邊以Hudson裂縫模型［8］為例，考慮不同裂縫接觸情況下柔度系數(shù)的具體表達(dá)式。對(duì)于孤立滑移面裂隙模型，裂縫被模擬成為平均半徑為ac的孤立圓形域，均勻分布于介質(zhì)中，則切向和法向柔度ZT和ZN與裂縫參數(shù)的關(guān)系為

式中：ξc為單位區(qū)域內(nèi)的裂縫數(shù)，即裂縫面密度；AN和AT與裂縫結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系如下：

3 Eshelby模型和Hudson模型響應(yīng)特征的數(shù)值模擬

3.1 Hudson一階、二階近似和Eshelby靜態(tài)解的對(duì)比

圖2 Hudson二階模型和一階模型qP、qSV、qSH波隨入射角的變化Fig.2 Comparison of the phase velocities of qP，qSV，qSH wave based on the Eshelby analytic expression and Hudson first order approximation

基于Eshelby長波長近似理論和橢球包裹體模型導(dǎo)出的解析解適用的裂縫密度極限約為0.24［11］，適用的橢球體長短軸比（縱橫比）理論上為0→∞，Hudson模型適用的裂縫密度范圍隨其修正階數(shù)的提高而增大，其一階修正項(xiàng)適應(yīng)的裂縫概率密度約為0.1，二階修正項(xiàng)適應(yīng)的裂縫密度范圍相對(duì)增大。圖2給出了Eshelby模型和Hudson一階修正項(xiàng)模型計(jì)算的準(zhǔn)縱波（qP）、準(zhǔn)橫波（qSV、qSH）波速隨入射角的變化關(guān)系?；|(zhì)為泊松體，拉梅常數(shù)均取39 GPa，裂縫飽水時(shí)的體積模量為2.25GPa。從圖2a，b可以看到，探討弱填充物情況下，Hudson一階修正［6］和Eshelby模型［11］的結(jié)果完全吻合。因此，對(duì)于裂縫縱橫比小于等于0.01的情況，Hudson模型的一階近似即能適用于裂縫性地層的等效參數(shù)計(jì)算。由于對(duì)比結(jié)果與圖2a，b相似，限于篇幅，縱橫比為0.01～0.10的對(duì)比結(jié)果在此沒有給出。對(duì)于大縱橫比的情況，從圖2c，d可以看出，縱橫比為0.1時(shí)，兩模型的模擬結(jié)果出現(xiàn)差異。這說明Hudson一階近似只適用于縱橫比小于0.1的小縱橫比裂縫介質(zhì)；大縱橫比時(shí)，需要考慮裂縫之間散射耦合的影響。

圖3比較了飽含水和干裂縫巖石情況下，一階、二階Hudson修正模型即計(jì)算的縱橫波速度。對(duì)于Hudson二階近似［8］的情況，從圖中結(jié)果看到，盡管二階項(xiàng)的校正效應(yīng)對(duì)于含水情況下影響有限，但是對(duì)于干裂縫影響很顯著，尤其是qSH波。

為了理解Hudson模型一階和二階修正項(xiàng)的相互影響，下邊定量分析2個(gè)修正項(xiàng)與微觀裂縫參數(shù)的關(guān)系。Hudson模型只能在小裂縫密度下才能收斂，其數(shù)學(xué)含義是Hudson模型［8］的二階項(xiàng)相對(duì)于一階項(xiàng)在小裂縫密度時(shí)漸近于0。以基質(zhì)為泊松體的干裂縫為例進(jìn)行分析。對(duì)于基質(zhì)為泊松體的干裂縫，λ＝μ，U3＝2，U1＝16/7，q＝58，則 Hudson模型的一階和二階項(xiàng)為相應(yīng)的等效介質(zhì)的彈性剛度系數(shù)為

由式（25）知道，當(dāng)ξ＝45/116≈0.39時(shí)，Hudson模型的二階修正項(xiàng)與一階項(xiàng)抵消了。更嚴(yán)重的是，等效介質(zhì)的彈性剛度系數(shù)在某特定裂縫密度ξ＝45/232≈0.19時(shí)存在一個(gè)拐點(diǎn)，此后等效模量隨裂縫密度的減小而增大，這與事實(shí)不符。

圖4是干裂縫情況下，Hudson模型的一階和二階修正項(xiàng)對(duì)應(yīng)的剛度模量隨裂縫密度變化，等效剛度模量用與背景介質(zhì)的彈性模量比值表示。從圖4中看到：裂縫密度為0.1以內(nèi)時(shí)，一階修正項(xiàng)和二階修正項(xiàng)的模擬結(jié)果基本接近；隨著裂縫密度增大，剛度模量比值的差異增大；對(duì)應(yīng)于二階修正項(xiàng)，裂縫密度大于0.19時(shí)，剛度模量比值在出現(xiàn)極小值后單調(diào)增大，與實(shí)際介質(zhì)的響應(yīng)特征不符。因此，干裂縫介質(zhì)中，在裂縫密度小于0.19的條件下，Hudson二階近似是有效的。

3.2 Hudson模型和Cheng的Pade近似解的對(duì)比

為了克服Hudson二階修正項(xiàng)在裂縫密度大于0.19之后的物理不可實(shí)現(xiàn)響應(yīng)特征，Cheng等［9］使用Pade近似給出了一個(gè)新的二階修正模型：

對(duì)Eshelby的解析解有如下Pade近似［9］：

對(duì)比式（26）和式（27），得到如下Pade近似修正項(xiàng)的系數(shù)：

圖3 Hudson二階模型和一階模型qP、qSV、qSH波隨入射角的變化Fig.3 Comparison of the phase velocities of qP，qSV，qSH wave based on the Hudson first and second order approximations

圖4 干裂縫介質(zhì)中Hudson一階和二階模型計(jì)算的彈性波標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量隨裂縫密度的變化Fig.4 Comparison of the elastic stiffness of the wave propagated in medium with dry fracture based on the Hudson first and second order approximations，fracture aspect is 0.01

圖5是干裂縫和飽水裂縫情況下Hudson二階修正和Pade近似的標(biāo)準(zhǔn)化剛度系數(shù)C11、C33和C44隨裂縫密度的變化情況。對(duì)比圖5可知，對(duì)于干裂縫的情況，基質(zhì)的剛度模量和含裂縫介質(zhì)的剛度模量的對(duì)比度更大。因此，用干裂縫的模型討論P(yáng)ade近似對(duì)大裂縫密度和縱橫比的適應(yīng)性更具實(shí)用意義。模擬結(jié)果看到，Pade近似在0.2以上的大裂縫密度情況下，依然可得到收斂結(jié)果。

3.3 Hudson模型剛度模量對(duì)裂縫孔隙結(jié)構(gòu)（縱橫比）的響應(yīng)

從上面的分析可見，無論是縱橫波速度還是剛度張量都與裂縫的含流體情況、裂縫密度相關(guān)，除此之外，還與裂縫孔隙形狀有關(guān)。從圖6的飽水裂縫模擬結(jié)果可見：縱橫比越小，Hudson二階近似［8］越容易收斂，且發(fā)散對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)裂縫密度越大；裂縫張開度為0.1時(shí)，拐點(diǎn)最小，此時(shí)的裂縫密度為0.19左右。對(duì)于實(shí)際的裂縫介質(zhì)，裂縫密度一般不超過0.40，縱橫比大多小于0.02；因此，對(duì)于 Hudson二階近似幾乎都能使用。

4 Liu含裂隙介質(zhì)模型和Hudson模型適用性對(duì)比分析

4.1 Liu含裂隙介質(zhì)模型和Hudson模型的對(duì)比分析

考慮到Eshelby理論的解析解對(duì)裂縫包裹體作了橢球形近似且忽略了裂縫之間的耦合作用。從20世紀(jì)60年代開始，人們一直探索研究能夠?qū)嵱玫牡刃Ы橘|(zhì)模型，提出了Hudson模型等［10］。對(duì)于Hudson模型，其小裂縫密度和小縱橫比假設(shè)限制了它的適用性，前述模擬結(jié)果知道，對(duì)于干裂縫介質(zhì)，Hudson模型適用的裂縫密度為0.2以下，裂縫縱橫比低于0.02。Pade近似［9］使裂縫密度和縱橫比限制范圍放寬到0.3左右。

鑒于 Hudson模型上述問題，Liu等［12－13，15－16］直接應(yīng)用Hudson等的假設(shè)條件，基于裂隙柔度系數(shù)Z導(dǎo)出了裂隙介質(zhì)中彈性本構(gòu)關(guān)系式，而后，利用該關(guān)系將孤立滑移面裂隙模型、非連續(xù)接觸裂紋的裂隙模型和液體薄層裂隙模型等用一個(gè)統(tǒng)一關(guān)系表示。該模型的特點(diǎn)是當(dāng)已知裂隙表面的一些信息時(shí)，可以將宏觀的柔度系數(shù)直接與裂隙的微觀結(jié)構(gòu)信息聯(lián)系起來，即將裂隙的微觀參數(shù)與介質(zhì)的彈性常數(shù)直接相聯(lián)系。

圖5 干裂縫和飽水裂縫時(shí)Hudson二階模型和Pade近似隨裂縫密度變化的剛度模量響應(yīng)Fig.5 Comparison of the elastic stiffness of the wave propagated in medium with water saturated and dry fracture based on the Hudson second order and Pade approximation，fracture aspect is 0.01

圖6 飽水裂縫介質(zhì)中Hudson二階近似時(shí)C11隨裂縫密度的變化Fig.6 Comparison of the elastic stiffness of the wave propagated in medium with water saturated based on the Hudson second order approximation，fracture aspect is variable

圖7顯示的是飽氣裂縫和孤立分布飽水裂隙情況下，Hudson二階近似［8］、Pade近似［9］和 Liu含裂隙介質(zhì)模型［15－16］的標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量C11、C66隨裂縫密度的變化情況。從圖7a中看到，Hudson模型二階近似最先出現(xiàn)無物理意義的發(fā)散結(jié)果，而Liu含裂隙介質(zhì)模型在裂縫密度達(dá)0.35還是收斂的。從圖7b中可見：對(duì)于C11，Hudson模型近似與Liu含裂隙介質(zhì)模型的結(jié)果基本一致；而對(duì)于C66，3個(gè)模型的結(jié)果與飽氣情況總體一致。從圖7a，b看到，飽氣和飽水2種情況下，對(duì)于C66曲線的3個(gè)模擬結(jié)果在裂縫密度為0.05附近開始出現(xiàn)偏差，Liu模型［15－16］在裂縫密度大于0.28后出現(xiàn)較大偏差，而Hudson模型二階近似與Pade近似在裂縫密度0.25～0.28時(shí)還基本一致，之后Hudson模型二階近似結(jié)果開始發(fā)散。因此，綜合C11、C66隨裂縫密度變化的模擬結(jié)果知道，Liu含裂隙介質(zhì)模型［15－16］考慮了散射體之間的影響，在通常裂縫密度范圍內(nèi)，不出現(xiàn)發(fā)散的問題，具有較高的精度。

4.2 Liu含裂隙介質(zhì)模型對(duì)裂縫密度、孔隙結(jié)構(gòu)及流體的敏感性

為了分析Liu含裂隙介質(zhì)模型對(duì)裂縫密度、孔隙結(jié)構(gòu)及流體的敏感性，利用裂縫半徑a與單位長度上的裂縫數(shù)Hf（線密度）的比值a/Hf，考察Liu含裂隙介質(zhì)模型的彈性響應(yīng)特征。圖8給出了飽水裂縫介質(zhì)中Liu含裂隙模型標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量C11和C66隨裂縫密度a/Hf的變化，裂縫的平均縱橫比為0.01。從圖8中看到：C11隨a/Hf變化幅度極小，可以認(rèn)為基本不受a/Hf變化的影響；而C66隨a/Hf變化幅度較大，尤其在a/Hf為0.01時(shí)，即密集分布的小開度裂縫介質(zhì)中，C66隨裂縫密度增大，標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量急劇減小。

圖9為飽含水情況下，a/Hf取0.01和0.50時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量C11、C66隨裂縫密度和縱橫比的變化。從圖9中可見：C66標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量對(duì)a/Hf值比較敏感，但對(duì)縱橫比不敏感；C11標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量對(duì)a/Hf值和縱橫比極為敏感。在縱橫比極小且裂縫密度不大時(shí)，裂縫各向異性的影響可以忽略。

圖7 飽氣和飽水裂縫時(shí)三類等效介質(zhì)裂縫模型計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)化剛度C11、C66隨裂縫密度的變化Fig.7 Comparison of the elastic stiffness of the wave propagated in medium with gas saturated and water saturated medium based on the Hudson second order，Liu and Pade approximation，fracture aspect is 0.01

圖8 飽水裂縫介質(zhì)中Liu模型計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量隨a/Hf的變化Fig.8 Comparison of the elastic stiffness of the wave propagated in medium with water saturated fractures as a function of a/Hfbased on the Liu approximation

圖9 飽水裂縫介質(zhì)中標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量C11、C66隨裂縫密度和縱橫比變化Fig.9 Comparison of the elastic stiffness C11and C66of the wave propagated in medium with water saturated fractures as a function of a/Hfand fracture density based on the Liu approximation

圖10是不同縱橫比、不同裂縫密度時(shí)含裂隙模型（Liu）計(jì)算得到的準(zhǔn)縱橫波速度隨方位角的變化情況。由于含氣和干裂縫對(duì)縱波速度各向異性的影響幾乎相同，所以沒有顯示。圖10中對(duì)比了飽水和飽氣時(shí)對(duì)縱橫波速度的影響，可以看出飽氣時(shí)對(duì)縱波速度各向異性的影響更加明顯；而當(dāng)縱橫比和裂縫密度比較小時(shí)，兩類準(zhǔn)橫波也有差異。

5 結(jié)論

采用數(shù)值模擬分析方法，討論了Hudson模型對(duì)裂縫各向異性介質(zhì)的適用范圍，利用Pade近似導(dǎo)出的Hudson模型近似關(guān)系，明確了Hudson二階展開對(duì)大裂縫密度的適應(yīng)性，且可以得到比Hudson模型精度高的結(jié)果。由Liu含裂隙介質(zhì)模型和Hudson模型模擬結(jié)果的對(duì)比可知，Liu和Hudson二階近似在裂縫密度小于0.1時(shí)精度相近，Liu模型和Pade近似可以在裂縫密度小于等于0.2范圍內(nèi)得到一致的結(jié)果。

數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比分析表明，對(duì)于小縱橫比（小于等于0.01）的情況，Hudson模型和基于Eshelby理論的近似解析解在小裂縫密度的情況下吻合得很好，即Hudson的“弱介質(zhì)填充物”假設(shè)只適應(yīng)于小縱橫比和小裂縫密度的介質(zhì)。而Liu含裂隙介質(zhì)模型和Hudson模型的Pade近似可以適用于大縱橫比和較大裂縫密度的情況。模擬結(jié)果還顯示，干裂縫時(shí)，縱橫比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量的影響極小，而飽含水時(shí)，縱橫比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量的影響顯著；這為裂縫性儲(chǔ)層中流體判識(shí)和定量評(píng)價(jià)提供了物質(zhì)基礎(chǔ)。另外，標(biāo)準(zhǔn)化剛度模量依賴于a/Hf變化，a/Hf值越小，剛度模量衰減越快；這也是利用彈性參數(shù)定量評(píng)價(jià)裂縫參數(shù)的物理基礎(chǔ)。Liu模型的模擬結(jié)果表明，在裂縫飽含水時(shí)，準(zhǔn)縱波速度對(duì)裂縫各向異性敏感，當(dāng)裂縫孔隙縱橫比和裂縫密度均較小時(shí)，準(zhǔn)橫波速度對(duì)飽水裂縫各向異性表現(xiàn)一定敏感性。

圖10 Liu模型飽水和飽氣介質(zhì)縱橫波相速度隨方位角的變化Fig.10 Comparison of the phase velocities of the compressive and shear waves propagated in medium with water and gas saturated fractures based on the Liu approximation

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