一類切換系統(tǒng)的混沌行為分析及混沌控制研究

羅文廣，于瀅源，謝廣明，藍紅莉

1)廣西科技大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，廣西柳州545006;2)廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點實驗室，廣西柳州545006;3)北京大學(xué)工學(xué)院，北京100871;4)廣西科技大學(xué)計算機學(xué)院，廣西 柳州545006

切換系統(tǒng)作為一類重要的混雜動態(tài)系統(tǒng)(hybrid dynamical systems)，其自身的切換特性使系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜且典型的非線性動力學(xué)行為［1］. 雖然已有許多學(xué)者對非線性電路進行了研究，但仍有很多問題有待解決，如非線性電路的混沌控制和反控制［2］等. DC-DC 變換器屬電路切換系統(tǒng)［3］，在實際運行中常會出現(xiàn)一些不規(guī)則的現(xiàn)象，如運行不穩(wěn)定、運行不符合設(shè)計要求、伴有不明電磁噪聲、運行間歇震蕩等，從而都限制了該技術(shù)的推廣應(yīng)用.研究結(jié)果表明，這些不規(guī)則現(xiàn)象多是一些非線性現(xiàn)象，即不同類型的分岔與混沌［4-5］. 當系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，DC-DC 變換器的控制性能因混沌運動的隨機性深受影響，因此，研究DC-DC 變換器的混沌行為及混沌控制，一則可優(yōu)化變換器的參數(shù)設(shè)計，避免出現(xiàn)有害的混沌行為，保證變換器的穩(wěn)定性;二則可利用混沌控制技術(shù)提高變換器的工作性能，使其在預(yù)定的周期軌道上工作. 如文獻［6］，在Buck 型變換器的斷續(xù)導(dǎo)通模式下，根據(jù)滑?？刂扑枷耄?］，采用自適應(yīng)滯環(huán)調(diào)制策略，使系統(tǒng)穩(wěn)定工作在單周期態(tài).

PID 控制作為一種廣泛使用的控制方法，近年被用于混沌系統(tǒng)中，并取得積極效果［8-11］. 在非線性系統(tǒng)尚無成熟的控制參數(shù)整定公式前提下，本研究采用基于群智能的隨機優(yōu)化算法——粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法［12-14］對PID控制器的參數(shù)尋優(yōu)，以期得到滿意的參數(shù)值. 借助驅(qū)動-響應(yīng)同步思想［15］，利用PSO 算法優(yōu)化后的PID 控制器來控制切換系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌行為，使切換系統(tǒng)穩(wěn)定到周期軌道上，有效抑制混沌現(xiàn)象.

1 壓控Buck 型變換器電路切換系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)模型建立

電控Buck 型變換器的基本電路如圖1. 其中，變換器以電壓為控制對象并將直流電壓Vin轉(zhuǎn)換成直流電壓vc，是典型的脈沖寬度變調(diào)制 (pulse width modulation，PWM)控制系統(tǒng). 為便于分析電路的工作原理，假設(shè)開關(guān)管S 和二極管D 是理想器件，即可瞬時截止或?qū)?，且截止時電流為零，導(dǎo)通時壓降也為零;電容與電感也被認為是理想元件，并無寄生參數(shù). 該電路最終需獲得穩(wěn)定的輸出電壓vc. 電路基本工作原理是:設(shè)電壓工作在連續(xù)導(dǎo)通模式(continuous conduction mode，CCM)下，輸出電壓vc與參考電壓Vref比較后得到放大a 倍的誤差信號vcon(t)，其與斜波信號Vramp(t)為電壓比較器Comp 輸入信號，比較后輸出占空比變化的PWM 脈沖，從而控制S 的通斷.

圖1 電壓模式控制Buck 型變換器Fig.1 Voltage mode controlled Buck converter

誤差信號vcon(t)和斜波信號Vramp(t)分別為

其中，a 為誤差放大器的增益;T 為采樣周期;VL和VH分別為斜坡信號的低壓值和高壓值.

比較器的輸出可控制S 的狀態(tài). 當vcon(t)＜Vramp(t)時，S 閉合，記為Son;否則，當vcon(t)＜Vramp(t)時，S 斷開，記為Soff.

無論S 斷開還是閉合，Buck 型變換器都可描述成一個二階線性系統(tǒng)，根據(jù)切換系統(tǒng)建模理論，設(shè)x = ［vciL］T為狀態(tài)變量，則壓控Buck 變換器的模型為

其中，fq(x)為模型所確定的微分方程;A 為狀態(tài)矢量系統(tǒng)矩陣;B 為控制矢量系數(shù)矩陣;q 為序列中的某一項;Q 為切換信號序列. 當q 分別取1 和2時，可得子系統(tǒng)的微分方程為

系統(tǒng)的輸出方程為

其中，E = ［1 0］為輸出矢量系數(shù)矩陣.

邊界函數(shù)定義為

其中，t ∈［0，T］. 故Son與Soff的切換面分別為

在CCM 模式下，Buck 變換器在子系統(tǒng)Son與Soff之間切換的充分條件是狀態(tài)達到切換面βon，off與βoff，on. Buck 變換器采用PWM 控制方式，在兩個工作模態(tài)之間切換實現(xiàn).

1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

子系統(tǒng)Son的解為

2 系統(tǒng)混沌行為分析

系統(tǒng)的切換行為可能產(chǎn)生混沌吸引子，引起混沌現(xiàn)象，且通過分析可獲得混沌臨界值［17］. 壓控Buck 型變換器電路切換系統(tǒng)是由二維的分段線性系統(tǒng)組成的，取以下參數(shù)研究系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔與混沌運動:L=20 mH，T=400 μs，R =22 Ω，C =47 μF，a=8.4，Vref=11.3 V，VL=3.8 V，VH=8.2 V . Vin分別取20、28、32 和35 V 時，可得穩(wěn)定后電容電壓、電感電流隨時間變化的波形圖(即時域波形圖)，以及狀態(tài)變量vc-iL的相軌跡圖，如圖2和圖3，可觀察到系統(tǒng)在不同的輸入電壓下運行于不同的周期軌道或混沌軌道. Vin=20 V 時，圖2(a)時域波形表現(xiàn)出單周期性，從相軌跡圖3 (a)可觀察到穩(wěn)定的極限環(huán)，此時系統(tǒng)處于單周期狀態(tài);Vin=28 V 時，圖2 (b)的時域波形表現(xiàn)出2 周期性，相軌跡圖3 (b)中出現(xiàn)了穩(wěn)定的2 分裂極限環(huán)，此時系統(tǒng)處于2 周期狀態(tài);Vin=32 V 時，系統(tǒng)處于4 周期狀態(tài);Vin=35 V 時，切換電路系統(tǒng)工作于混沌狀態(tài)，此時輸出電壓和輸出電流的時域波形并無規(guī)律可循，成為類隨機過程，而相軌跡圖是由確定區(qū)域內(nèi)隨機分布的封閉曲線組成. 此外，系統(tǒng)工作于混沌狀態(tài)時，輸出電壓和輸出電流的幅值比系統(tǒng)工作在周期態(tài)的情況下偏高，這是因為混沌運行時開關(guān)的平均導(dǎo)通時間比周期運行時大.

設(shè)系統(tǒng)其他參數(shù)不變，分岔參數(shù)為輸入電壓Vin，取值10 ～35 V，可得如圖4 分岔圖:系統(tǒng)存在兩種復(fù)雜的分岔結(jié)構(gòu)，即主分岔結(jié)構(gòu)與吸引子共存處的分岔結(jié)構(gòu). 主分岔線上，Vin≈23 V 時系統(tǒng)由周期1 分岔為周期2;Vin≈31 V 時系統(tǒng)由周期2 分岔為周期4;最終系統(tǒng)在Vin≈32 V 之后進入混沌狀態(tài). 此外，分岔圖中Vin≈17 V 與Vin≈30 V 處明顯存在吸引子共存的現(xiàn)象，這兩處共存分別向各自的混沌態(tài)發(fā)展，之后隨激變而消失，最終只存在主分岔結(jié)構(gòu). 圖5 是與圖4 對應(yīng)的Lyapunov 指數(shù)譜圖，由圖5 可見，雖然由于數(shù)據(jù)有限和計算容量問題，得到的譜圖與理論上有些差別，但總體趨勢一致，即Lyapunov 指數(shù)隨著輸入電壓Vin的增大由負變正，系統(tǒng)最終進入混沌狀態(tài).

圖2 vc 和iL 時域波形圖Fig.2 Time domain waveform of vc and iL

圖3 vc-iL 相軌跡圖Fig.3 Phase trajectories of vc-iL

圖4 Vin為分岔參數(shù)時的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of Vin as Bifurcation parameter

圖5 Lyapunov 指數(shù)譜圖Fig.5 The Spectrum diagram of Lyapunov exponent

3 混沌控制

本研究采用標準粒子群優(yōu)化PID 控制器參數(shù)的方法，基本思想是先用常規(guī)PID 控制器對一個處于混沌態(tài)的系統(tǒng)輸出電壓vc進行同步，將其驅(qū)動到目標周期態(tài)達到穩(wěn)定;在此基礎(chǔ)上，借助粒子群算法的優(yōu)化對系統(tǒng)的輸出電流iL進行同步研究，最終實現(xiàn)切換系統(tǒng)的混沌控制.

令x = ［x1x2］T= ［vciL］T為狀態(tài)變量，則壓控Buck 型變換器的動力學(xué)方程為

將式(11)視為驅(qū)動系統(tǒng)，復(fù)制得到響應(yīng)系統(tǒng)為

其中，S 為開關(guān)狀態(tài)，S = 0 表示開關(guān)斷開;S = 1 表示開關(guān)閉合. 將式(12)的系統(tǒng)化為一般方程

其中，X = ［x1，x2，…，xn］T為n 維狀態(tài)變量;P 為可選易變的參數(shù);A ?Rn×n和B ?Rn×1為包含壓控Buck 型變換器各個參數(shù)值(L、C、R、Vin等)的系數(shù)矩陣.

圖6 PSO 對PID 參數(shù)的尋優(yōu)框圖Fig.6 The diagram of PSO optimization of PID parameters

4 數(shù)值仿真

為驗證控制效果，取L =20 mH，T =400 μs，R=22 Ω，C=47 μF，a=8.4，Vref=11.3 V，VL=3.8 V，VH=8.2 V;驅(qū)動系統(tǒng)的輸入電壓Vin=20 V，響應(yīng)系統(tǒng)的輸入電壓Vin=35 V;常規(guī)PID 控制器中e(t)= y1-x1，其中x1為驅(qū)動系統(tǒng)輸出電壓，y1為響應(yīng)系統(tǒng)輸出電壓;系統(tǒng)誤差為ε = (x2- y2)2，其中x2為驅(qū)動系統(tǒng)輸出電流，y2為響應(yīng)系統(tǒng)輸出電流，取常規(guī)PID 控制器的3 個參數(shù)分別為Kp=1.0，Ki=1 ×10-3，Kd=1 ×10-4，則仿真結(jié)果如圖7.其中，圖7 (a)為響應(yīng)系統(tǒng)(12)輸出電壓的時域波形圖，波形變化雜亂無章，是類似隨機的過程，這恰是混沌態(tài)的表現(xiàn);圖7 (b)為驅(qū)動系統(tǒng)(11)輸出電壓的時域波形圖，波形呈單周期性，即系統(tǒng)處于單周期軌道;圖7 (c)和圖7 (d)分別是驅(qū)動系統(tǒng)(11)和響應(yīng)系統(tǒng)(12)同步的時域波形圖與誤差曲線，由圖可見變換器的輸出電壓在PID 控制器的控制下取得了較好的效果，響應(yīng)系統(tǒng)的輸出電壓能較好地跟蹤驅(qū)動系統(tǒng)，兩系統(tǒng)的誤差在經(jīng)過較強的沖擊后趨于零.

圖7 常規(guī)PID 控制Fig.7 Conventional PID control

在PSO 算法優(yōu)化PID 控制器對系統(tǒng)輸出電流的作用下，取慣性權(quán)重因子的初始值ω0=0.8，c1=c2= 2，粒子群體數(shù)目popsize=27，迭代次數(shù)maxiter=30，粒子的邊界bound = ［0 0.05 0.05 0.05］，適應(yīng)度函數(shù)fvalue = (x2- y2)2. 其中，x2是驅(qū)動系統(tǒng)的輸出電流;y2是響應(yīng)系統(tǒng)的輸出電流.經(jīng)過PSO 算法優(yōu)化所得PID 的控制參數(shù)Kp=1.447 1 ×10-4，Ki=2.005 9 ×10-7，Kd=0.012 7.優(yōu)化后的仿真結(jié)果如圖8. 圖8 呈現(xiàn)了全局最佳適應(yīng)度函數(shù)的迭代過程，分析曲線可知，經(jīng)30 次迭代，全局最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)值穩(wěn)定在約119 處(Min=119.630 2)，與曲線縱坐標104的數(shù)量級相比已足夠小，因此在常規(guī)PID 控制器實現(xiàn)驅(qū)動、響應(yīng)系統(tǒng)輸出電壓跟蹤基礎(chǔ)上，加入標準粒子群算法尋優(yōu)，能將包含輸出電壓與輸出電流的相軌跡由混沌態(tài)引導(dǎo)到周期區(qū)，達到抑制混沌的目的.

圖8 全局最佳適應(yīng)度函數(shù)值的迭代圖Fig.8 The iteration of global best fit function value

結(jié) 語

本研究針對一類切換系統(tǒng)，依據(jù)系統(tǒng)模型分析該切換系統(tǒng)無平衡點，通過時域波形圖、相軌跡圖和分岔圖分析表述了系統(tǒng)的分岔與混沌現(xiàn)象，并從驅(qū)動-響應(yīng)同步的角度研究壓控Buck 型變換器電路切換系統(tǒng)的混沌控制問題，采用PSO 算法對PID控制器尋優(yōu)設(shè)計，將包含輸出電壓與輸出電流的相軌跡由混沌態(tài)引入周期區(qū)，實現(xiàn)系統(tǒng)混沌控制. 本研究僅探討將混沌軌道引導(dǎo)到單周期軌道問題，如何利用PSO 優(yōu)化PID 參數(shù)的控制技術(shù)，將系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點、非平衡點或引導(dǎo)混沌態(tài)到較高周期軌道是尚待進一步深入研究的課題.

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