不同預(yù)應(yīng)力度簡支梁拉壓桿模型

仲濟(jì)濤 劉 釗

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室, 南京 210096)

在混凝土梁橋的設(shè)計中,D區(qū)是指截面應(yīng)變分布呈現(xiàn)明顯非線性的區(qū)域.由于D區(qū)力流紊亂,平截面假定不再適用.拉壓桿模型是D區(qū)設(shè)計的一種實用的新方法,是由德國Ritter和M?rsch提出的經(jīng)典桁架模型逐漸演變而來,自20世紀(jì)80年代以來,經(jīng)眾多研究者[1-3]的探索,拉壓桿模型已被廣泛認(rèn)為是指導(dǎo)配筋設(shè)計的有力工具[4-5].

確定拉壓桿模型的構(gòu)形是D區(qū)設(shè)計的第一步.在構(gòu)形方法中,除荷載路徑法和應(yīng)力跡線法外,一些研究者提出利用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行構(gòu)形.此方法按基本結(jié)構(gòu)類型可分為2類:以微桁架作為基本結(jié)構(gòu)[6-7]和以連續(xù)體作為基本結(jié)構(gòu)[8-11].文獻(xiàn)[8]將PBO方法(performance-based optimization)用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)拉壓桿模型的自動構(gòu)形,并以帶位移約束條件的結(jié)構(gòu)重量作為結(jié)構(gòu)性能指標(biāo).文獻(xiàn)[10]研究了預(yù)應(yīng)力混凝土梁拉壓桿模型的構(gòu)形方法，通過把預(yù)應(yīng)力作為外荷載,將預(yù)應(yīng)力混凝土拉壓桿模型的構(gòu)形問題轉(zhuǎn)換為連續(xù)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題.文獻(xiàn)[12]提出了一種自動搜尋拉壓桿模型最優(yōu)構(gòu)形的方法.文獻(xiàn)[13]基于最小應(yīng)變能準(zhǔn)則提出一種自動構(gòu)建拉壓桿模型的一般化方法.文獻(xiàn)[14]利用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(evolutionary structural optimization，ESO)方法構(gòu)建了鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的拉壓桿模型,此方法適用于平面應(yīng)力單元以及與其等效的桁架單元.文獻(xiàn)[15]利用拓?fù)鋬?yōu)化和最小應(yīng)變能準(zhǔn)則構(gòu)建了錨固橫隔板的三維拉壓桿模型.文獻(xiàn)[9,11]借助有限單元庫,提出一種基于最小柔度優(yōu)化的方法構(gòu)建拉壓桿模型，并將此方法的應(yīng)用擴(kuò)展到多工況荷載下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計.

本文針對不同預(yù)應(yīng)力度λ下的預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁,自行編制了單元生死并行的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化程序,實現(xiàn)了拉壓桿模型的自動構(gòu)形.在此基礎(chǔ)上研究了不同預(yù)應(yīng)力度下預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁的受力行為,并與Schlaich等[1]構(gòu)建的拉壓桿模型進(jìn)行了對比分析.

1 雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

1.1 性能指標(biāo)

根據(jù)ESO方法的原理,本文取下式作為結(jié)構(gòu)進(jìn)化的性能指標(biāo):

(1)

式中,E0,V0及Ei,Vi分別表示初始狀態(tài)下及經(jīng)過第i次優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能和總體積.

1.2 應(yīng)力約束

在結(jié)構(gòu)中,每個單元對結(jié)構(gòu)性能的貢獻(xiàn)并不相同,這就需要優(yōu)化算法對單元進(jìn)行選擇,刪除對結(jié)構(gòu)力學(xué)性能影響小的單元,保留或增加對力學(xué)性能影響大的單元.應(yīng)力優(yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化最初的研究方向.Von Mises應(yīng)力準(zhǔn)則是常用的準(zhǔn)則之一,即

(2)

式中,σVM是單元的Mises應(yīng)力;σ1,σ2,σ3分別表示第一主應(yīng)力、第二主應(yīng)力與第三主應(yīng)力.

本文拓?fù)鋬?yōu)化的基本思想是在高M(jìn)ises應(yīng)力單元周圍生成新單元,共同分擔(dān)應(yīng)力以降低應(yīng)力水平,同時刪除低Mises應(yīng)力單元,如圖1所示.反復(fù)迭代,最終使得結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力分布趨于均勻.為方便描述,作如下定義:

Ti+1=Ti+TiTi+1∈Γ；i=1,2,…,n

(3)

式中,Ti+1為第i+1階拓?fù)錁?gòu)形;Ti為結(jié)構(gòu)進(jìn)化方向;Γ為進(jìn)化空間;n為迭代次數(shù).其中Ti的確定是優(yōu)化的關(guān)鍵.本文參考文獻(xiàn)[16]關(guān)于優(yōu)化準(zhǔn)則的理論,通過應(yīng)力一致的原則確定Ti.

圖1 單元生長與刪除

雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化經(jīng)常存在如下問題:若生長率過大,則會導(dǎo)致單元生長過剩,結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)形冗余單元較多;若刪除率過大,則會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)形變化較大,求解不易收斂.針對此缺陷,本文引入單元生長和刪除加速度因子Fa,Fr，使得在優(yōu)化初期,結(jié)構(gòu)以生長為主,到達(dá)設(shè)置的迭代次數(shù)后,結(jié)構(gòu)生長減緩,單元刪除率逐漸增大,從而增強(qiáng)了雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化程序的穩(wěn)定性.單元生長與刪除的具體規(guī)則如下:在每次迭代過程中,若單元Mises應(yīng)力滿足下式:

(4)

(5)

式中,A為生長率基數(shù),本文取0.95;Ia為生長進(jìn)化速度,本文取0.002;Fa為生長加速度,其表達(dá)式為

(6)

式中,i表示迭代次數(shù);Ca為設(shè)置的生長加速點,Ca∈N，且Ca

若單元Mises應(yīng)力滿足下式：

(7)

Rr=D+(i-1)IrFr

(8)

式中,D為刪除率基數(shù),本文取0.01;Ir為刪除進(jìn)化速度,本文取0.01;Fr為刪除加速度,其表達(dá)式為

(9)

式中,Cr為設(shè)置的刪除加速點,Cr∈N，且Cr

1.3 雙向優(yōu)化過程

本文以Ansys為開發(fā)環(huán)境,編制了單元生死并行的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化程序.雙向迭代優(yōu)化流程如圖2所示.

圖2 雙向拓?fù)鋬?yōu)化流程圖

1.4 算例

本文通過一個算例來驗證程序的可行性.簡支梁跨中受集中力作用.優(yōu)化目標(biāo)是尋找結(jié)構(gòu)的最優(yōu)構(gòu)形,拓?fù)鋬?yōu)化過程如圖3所示.新生單元不斷出現(xiàn)在高應(yīng)力區(qū)域,沒有空間限制,但這并不意味著單元會持續(xù)生長.當(dāng)單元的增加無法有效降低相鄰高應(yīng)力單元的應(yīng)力水平時,在下一輪的迭代中這些單元則會被刪除.從圖3中可以看出,最終拓?fù)錁?gòu)形中的單元絕大多數(shù)為新生單元,超出了原結(jié)構(gòu)的范疇.但是此程序同樣適用于有邊界限制的結(jié)構(gòu).

2 預(yù)應(yīng)力簡支梁拉壓桿模型

圖4為一預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁,梁長L=8 m,矩形截面,承受2個集中力荷載F=10 kN.混凝土彈性模量Ec=34.5 GPa,泊松比μc=0.3.采用平面實體單元建模.下面按預(yù)應(yīng)力度λ=0,0<λ<1,λ>1三種情況分別進(jìn)行討論.3種預(yù)應(yīng)力度下的結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)曲線如圖5所示.

圖3 簡支梁雙向優(yōu)化過程

圖4 預(yù)應(yīng)力混凝土梁示意圖(單位:m)

圖5 結(jié)構(gòu)進(jìn)化指標(biāo)

2.1 鋼筋混凝土梁(λ=0)

預(yù)應(yīng)力度λ=0,即普通鋼筋混凝土梁.由圖5可見,隨著優(yōu)化的進(jìn)行,性能指標(biāo)Pin由1.0逐漸增大,在第64次迭代時達(dá)到峰值1.37.隨后,性能指標(biāo)Pin急劇下降,說明此時單元刪除率遠(yuǎn)大于單元生長率.過多的單元剔除使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的位移.本文提出的算法為啟發(fā)式算法,Ra與Rr的選取并無嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,無法得到精確解.考慮到優(yōu)化過程中高應(yīng)力單元生長與低應(yīng)力單元刪除的平衡,Ra與Rr兩者之和應(yīng)接近于1，并且Rr應(yīng)遠(yuǎn)小于1.如果兩者比例失衡,將會出現(xiàn)單元只增不減或只減不增,甚至是不增不減的無效拓?fù)?

普通鋼筋混凝土梁的拓?fù)錁?gòu)形如圖6(a)所示.考慮到結(jié)構(gòu)的對稱性,取結(jié)構(gòu)的一半.根據(jù)拓?fù)錁?gòu)形構(gòu)建的拉壓桿模型如圖6(b)所示，由圖可以看出,有的鋼筋(拉桿)從底部彎起,用以抵抗剪跨內(nèi)產(chǎn)生的拉應(yīng)力.力學(xué)模型可采用桁架模型.Schlaich等[1]構(gòu)建的拉壓桿模型如圖6(c)所示，考慮到實配箍筋情況,文獻(xiàn)[1]在剪跨內(nèi)采用了豎向拉桿以抵抗拉應(yīng)力.

圖6 鋼筋混凝土梁

2.2 部分預(yù)應(yīng)力混凝土梁(0<λ<1)

在混凝土梁的兩端施加p=5 kN的等效預(yù)應(yīng)力荷載，結(jié)構(gòu)進(jìn)化曲線如圖5所示.性能指標(biāo)Pin在第90次迭代時達(dá)到最大值1.58,為3條進(jìn)化曲線峰值中的最大值.

比較圖6(a)與圖7(a)可發(fā)現(xiàn),預(yù)應(yīng)力的施加明顯改變了結(jié)構(gòu)的傳力路徑.從圖7(b)可以看出,相對于鋼筋混凝土梁,部分預(yù)應(yīng)力混凝土梁拉壓桿模型的底部拉桿長度變短,使得傳力路徑更加直接.同時,部分預(yù)應(yīng)力混凝土梁拉壓桿模型中的壓桿增多,并有與最外圍的“拱形”壓桿匯合的趨勢,結(jié)構(gòu)受力逐漸由“梁行為”向“拱行為”過度.力學(xué)模型可采用桁架-拱疊合模型.Schlaich等[1]構(gòu)建的拉壓桿模型如圖7(c)所示,底部拉桿縮短,并與豎向方向的拉桿(箍筋)連接.

圖7 部分預(yù)應(yīng)力混凝土梁(p=5 kN)

為進(jìn)一步考察預(yù)應(yīng)力度為0<λ<1時不同預(yù)應(yīng)力水平引起的傳力路徑的變化,分別施加p=16,30 kN的等效預(yù)應(yīng)力進(jìn)行分析.拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果以及拉壓桿模型構(gòu)形如圖8所示.比較圖7(b)、圖8(b)與圖8(d)可以看出,隨著預(yù)應(yīng)力水平的提高,拉壓桿模型中的拉桿數(shù)量進(jìn)一步減少.以集中力作用點為頂點,壓桿之間的夾角逐漸減小,呈“歸并”趨勢.由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中桿件的粗細(xì)代表桿件受力的相對大小,比較圖7(a)、圖8(a)與圖8(c)可知,隨著預(yù)應(yīng)力水平的進(jìn)一步提高,“拱形”壓桿逐漸“變粗”,結(jié)構(gòu)受力的“拱行為”增強(qiáng);處于拱形壓桿下方的其他拉、壓桿逐漸變細(xì),結(jié)構(gòu)受力的“梁行為”削弱.當(dāng)λ>1時,結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)為“拱形構(gòu)形”(見圖9(a)).

圖8 部分預(yù)應(yīng)力混凝土(p=16,30 kN)

2.3 全預(yù)應(yīng)力混凝土梁(λ>1)

在混凝土梁兩端施加p=60 kN的等效預(yù)應(yīng)力,此時控制截面受拉區(qū)邊緣不出現(xiàn)拉應(yīng)力.其性能指標(biāo)曲線如圖5所示,在第74次迭代時,性能指標(biāo)Pin達(dá)到最大值1.42,略高于無預(yù)應(yīng)力混凝土.在進(jìn)化過程中,雖然結(jié)構(gòu)體積整體呈下降趨勢,但過大的預(yù)應(yīng)力使得結(jié)構(gòu)應(yīng)變能減小緩慢,因此進(jìn)化曲線相對平緩.由圖9(b)可以看出,拉壓桿模型僅包含壓桿,結(jié)構(gòu)受力由“梁行為”轉(zhuǎn)換為“拱行為”.力學(xué)模型可采用拱模型.圖9(c)為Schlaich等[1]提出的全預(yù)應(yīng)力混凝土梁的拉壓桿模型.其力學(xué)模型為拱-桁疊合模型.

圖9 全預(yù)應(yīng)力混凝土(p=60 kN)

3 結(jié)論

1) 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是尋找混凝土結(jié)構(gòu)傳力路徑的一種有效方法.本文在雙向漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化算法中,以體積應(yīng)變能為效率指針,通過引入單元生長與刪除加速度因子,消除了無效拓?fù)涞陌l(fā)生,有效增強(qiáng)了雙向漸進(jìn)優(yōu)化過程的穩(wěn)定性.

2) 利用自行編制的雙向拓?fù)鋬?yōu)化程序,針對2個集中力作用工況,得到了不同預(yù)應(yīng)力度下梁的拓?fù)錁?gòu)形,揭示了鋼筋混凝土、部分預(yù)應(yīng)力混凝土及全預(yù)應(yīng)力混凝土梁的傳力路徑和合理力學(xué)模型:鋼筋混凝土梁可采用桁架模型,部分預(yù)應(yīng)力梁可采用桁架-拱疊合模型,全預(yù)應(yīng)力梁可采用拱模型或拱-桁疊合模型.運用本文算法及程序,同樣可以得到其他受力工況下的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形.

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