類蛛網(wǎng)的相位同步

朱小龍，張海天

（1.江漢大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430056； 2.民航湖北空管分局，湖北 武漢 430302）

0 引言

復(fù)雜系統(tǒng)由大量的個體以及個體之間的相互作用組成，例如社會系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、交通系統(tǒng)等，對于復(fù)雜系統(tǒng)的研究是一個熱門的和具有挑戰(zhàn)性的課題。把復(fù)雜系統(tǒng)的個體對應(yīng)為節(jié)點，把個體間的相互作用對應(yīng)為邊，則復(fù)雜系統(tǒng)可以抽象為簡單模型——復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的這種關(guān)系可以用簡單的示意圖來表示（見圖1），而且復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)反過來又為復(fù)雜系統(tǒng)提供了一種研究方法。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究近十年來不斷地深入和拓展，已經(jīng)滲透到各個學(xué)科領(lǐng)域。

圖1 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)關(guān)系示意圖

從一些實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一些普遍的結(jié)構(gòu)特性，例如小世界性質(zhì)［1］，即小的平均距離和大的團簇化系數(shù)；無標(biāo)度性質(zhì)［2］，即度分布服從冪律；團簇結(jié)構(gòu)［3－5］，團簇內(nèi)節(jié)點緊密連接而團簇間節(jié)點連接較為稀疏。但是以上這些性質(zhì)還不能完全描述一些具有特殊結(jié)構(gòu)的實際系統(tǒng)，例如社會組織網(wǎng)絡(luò)、層級管理網(wǎng)絡(luò)、城市交通網(wǎng)絡(luò)和細菌生長網(wǎng)絡(luò)等［6－8］。這就面臨發(fā)現(xiàn)和建立新的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的問題。正是基于這一背景，筆者提出了類蛛網(wǎng)模型［9］，用來描述一些類似于環(huán)狀結(jié)構(gòu)城市和輻射狀公路鐵路網(wǎng)等具有輻弦結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，以便研究這種特殊結(jié)構(gòu)對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)性質(zhì)的影響。

在集體涌現(xiàn)現(xiàn)象中，相互作用的多個體之間的同步，作為一種重要的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)性質(zhì)一直受到特別的關(guān)注［10－12］，因為它在神經(jīng)系統(tǒng)科學(xué)、生態(tài)學(xué)、地理科學(xué)以及工業(yè)系統(tǒng)科學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)會對物理過程產(chǎn)生不同的影響，在過往的研究中，人們往往選擇規(guī)則網(wǎng)絡(luò)或隨機網(wǎng)絡(luò)，近年又有大量工作研究小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的相位同步現(xiàn)象［13－14］。然而，真實網(wǎng)絡(luò)中廣泛存在的輻弦結(jié)構(gòu)對相位同步的影響如何，目前還沒有相關(guān)研究。特別是在世界上有很多城市具有類蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)，隨著城市的發(fā)展，它們的規(guī)模一般以環(huán)狀結(jié)構(gòu)向外圍拓展，但是一些城市功能（比如交通）的協(xié)調(diào)能力并不一定隨之改善，糟糕的交通狀況是困擾每一個大型城市的“噩夢”?，F(xiàn)代城市的發(fā)展怎樣才能做到空間擴展的同時還兼顧實現(xiàn)有效的功能協(xié)調(diào)，這是一個急需解決的世界性難題。本文將通過研究類蛛網(wǎng)的相位同步，從結(jié)構(gòu)影響動力學(xué)性質(zhì)的角度來探討這一問題。

1 模型與方法

1.1 類蛛網(wǎng)模型

首先，在典型蛛網(wǎng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建類蛛網(wǎng)模型。假設(shè)圓形蛛網(wǎng)的輻條數(shù)為f ，弦條數(shù)為g ，則輻弦數(shù)目比為f/g ，輻和弦的每個交點稱為一個節(jié)點，所有的輻相交于中心節(jié)點，總的節(jié)點數(shù)為N=fg+1。 兩節(jié)點之間的連接稱為邊，規(guī)則圓網(wǎng)的總邊數(shù)為Ne=2fg=2(N-1)。以規(guī)則圓網(wǎng)為基礎(chǔ)以一定幾率添加一些邊來構(gòu)建類蛛網(wǎng)。類蛛網(wǎng)的新邊添加符合以下規(guī)則：先選一個節(jié)點作為起始端點，再以幾率φ 選一節(jié)點作為邊的另一端點，操作禁止自連接和重復(fù)連接，重復(fù)以上操作遍及所有節(jié)點，則添加的邊數(shù)為φN ，所以類蛛網(wǎng)的總邊數(shù)為

平均度（即與節(jié)點相連邊的平均條數(shù)）為

圖2 給出了規(guī)則圓網(wǎng)和類蛛網(wǎng)的示意圖［9］，其中輻條數(shù)f = 8，弦條數(shù)g = 4，圖2（a）是規(guī)則圓網(wǎng)（φ=0），圖2（b）是類蛛網(wǎng)，即以幾率φ=0.1隨機添加邊。

這里添加連邊概率φ 是指當(dāng)以一個節(jié)點作為起始端點時添加連邊的概率，即在規(guī)則圓網(wǎng)的基礎(chǔ)上，依次把每一個節(jié)點作為起始端點以概率φ來進行添加連邊的操作。 φ =0 表示都沒有添加連邊，即仍為規(guī)則圓網(wǎng)；φ=1 表示每一起始端點都成功添加一條連邊；0 ＜φ ＜1 表示只有部分節(jié)點成功添加了連邊。

1.2 相位同步

采用文獻［15］中的方法，考慮一個由N 個耦合相位振子組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其中第i 個振子的相位隨時間演化方程為

其中θi是節(jié)點i 的相位，ωi是均勻分布的固有頻率，常數(shù)λ ＞0 為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的耦合強度，a 為連接矩陣，如果節(jié)點i 和j 相連，aij為1，否則為0。

引入序參量r ，用來衡量N 個振子系統(tǒng)達到同步的程度。r 定義為

其中Ψ 代表系統(tǒng)的平均相位。序參量r = 0 時表示系統(tǒng)各個體的相位完全獨立；r = 1 時表示系統(tǒng)全局同步。

在一定的耦合強度下，運用四階龍格庫塔法求解方程（3），可得θi，對（4）式兩邊取?？汕蟮胻 時刻系統(tǒng)的序參量r ，即

其中θj是時間t 的函數(shù)，即θj=θj(t)。假設(shè)t 時刻系統(tǒng)的r 值達到穩(wěn)定，再運行T 時間步，就可得到r 穩(wěn)定時的平均值，即

本文計算結(jié)果中的r ，都默認為已經(jīng)做過時間平均后的結(jié)果。

2 計算結(jié)果與分析

本部分是類蛛網(wǎng)的相位同步的模擬，主要考慮3 個因素對相位同步的影響：耦合強度、邊添加幾率、輻弦比。網(wǎng)絡(luò)大小N = 1 001，步長h =0.01，網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型平均為30 次，穩(wěn)定后時間平均取為1 000 步，即（6）式中的T 取為1 000。另外，節(jié)點的初態(tài)分布也會影響結(jié)果，所以要對不同的初態(tài)計算結(jié)果后再取平均，但考慮到節(jié)點數(shù)較多，初態(tài)分布的隨機性對結(jié)果影響并不大，因此只取了30 次平均。

2.1 耦合強度對相位同步的影響

不失一般性，取輻數(shù)目f = 20，弦數(shù)目g =50，計算了邊添加幾率φ=0 和φ=1 兩種特殊情況下的序參量r 隨耦合強度λ 變化的情況。如圖3（a）所示，φ=0，即規(guī)則圓網(wǎng)時，序參數(shù)r 隨耦合強度λ 的變化情況?？梢钥闯?，序參數(shù)r 隨耦合強度λ 的增大而增大，并且存在一個二級相變，耦合強度臨界值λC=0.30 。耦合強度的增大加強了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的相互作用，有利于節(jié)點之間達到相位同步，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)全局序參數(shù)r 的增大。當(dāng)耦合強度小于臨界值時，節(jié)點間的相互作用較弱，相互間的相位協(xié)調(diào)很難傳遞至整個網(wǎng)絡(luò)；而當(dāng)耦合強度超過臨界值時，節(jié)點間的相互協(xié)調(diào)作用能順利傳遍網(wǎng)絡(luò)，使得整個網(wǎng)絡(luò)的相位能夠基本一致，從而達到全局的相位同步。

同時，還計算了φ=1 的類蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)時，序參量r 隨耦合強度λ 的變化情況。如圖3（b）所示，序參數(shù)r 同樣隨耦合強度λ 的增大而增大，但臨界值不一樣，λC=0.15，并且r 的最大值也要比φ=0 時的大。說明φ=1 比φ=0 時網(wǎng)絡(luò)更容易達到相位同步。也就是說不光耦合強度對相位同步有影響，隨機添加邊也會對相位同步產(chǎn)生影響。

圖3 耦合強度對序參量的影響

2.2 邊添加幾率對相位同步的影響

保持其他參量的值不變，改變邊連接幾率的大小，研究了序參量r 隨邊添加幾率φ 的變化情況，如圖4 所示，其中N = 1 001，f = 20，g = 50，λ=0.2。由圖4 可以看出，序參量r 隨邊添加幾率φ 的增大而增大，即隨機的添加邊可以改善網(wǎng)絡(luò)的相位同步。筆者分析主要有兩個原因：一是根據(jù)（2）式節(jié)點的平均度會隨φ 的增大而增加，即添加的邊增多了網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點的聯(lián)系；二是隨機添加邊相當(dāng)于增加了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的遠程連接。這兩點都會減少網(wǎng)絡(luò)的平均距離，間接地增強了節(jié)點間的相互作用，從而促進了網(wǎng)絡(luò)的相位同步。研究結(jié)果說明，對于類蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)，可以通過適當(dāng)增加遠程連接來改善整體的同步性能。

圖4 邊添加幾率對相位同步的影響

2.3 輻弦比對相位同步的影響

前面已經(jīng)介紹了輻弦結(jié)構(gòu)是類蛛網(wǎng)特有的結(jié)構(gòu)，因此筆者重點關(guān)注輻弦比f/g 對相位同步的影響。在其他參數(shù)不變時，改變輻弦比的大小，具體參數(shù)設(shè)定為λ=0.4，φ=0。有關(guān)λ 的選取，由圖3 可知，耦合強度的臨界值在0. 15 到0. 3 之間，我們?nèi)ˇ?0.4，此值在耦合強度的臨界值之上，便于研究其他參數(shù)的影響。添加幾率為0，即規(guī)則圓網(wǎng)，這樣更方便研究輻弦比的影響。由圖5 可知，序參量r 隨著輻弦比f/g 的增大而迅速增大，輻弦比超過3. 5 以后，序參量大小基本穩(wěn)定在0. 9 附近。在網(wǎng)絡(luò)大小不變的情況下，輻弦比增大意味著輻條數(shù)變多而弦條數(shù)減少，網(wǎng)絡(luò)的直徑隨之減小，節(jié)點之間的平均距離也變小，促進了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的相互作用。網(wǎng)絡(luò)平均距離隨輻弦比變化規(guī)律的曲線印證了這一點，平均距離隨輻弦比增大迅速減?。ㄒ妶D5 插圖）。這一結(jié)果說明，對于具有類蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)，即使維持平均度不變，增加輻弦比仍然可以增強系統(tǒng)的相位同步性能。

圖5 輻弦比對相位同步的影響

3 結(jié)論

研究了具有輻弦結(jié)構(gòu)的類蛛網(wǎng)的相位同步，得出了如下幾點結(jié)論：①類似于其他網(wǎng)絡(luò)，耦合強度的增強會促進類蛛網(wǎng)的相位同步；②隨機地添加邊可以很好地提高類蛛網(wǎng)的相位同步；③增加輻弦比f/g 的值，可以改善類蛛網(wǎng)的相位同步能力。這些結(jié)果對于實際應(yīng)用有一定指導(dǎo)意義。例如，城市在擴張過程中往往以環(huán)狀結(jié)構(gòu)向外圍拓展，即環(huán)城線條數(shù)不斷增加，但是由于空間限制縱向線路條數(shù)無法同時增加，導(dǎo)致輻弦比下降，整個交通系統(tǒng)的同步協(xié)調(diào)能力可能會隨之減弱。這說明，城市功能的改善不能僅僅寄希望于空間上的簡單擴張。

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