顯式Colebrook-White 摩阻系數(shù)方程

苑偉民

中國石化天然氣分公司廣西液化天然氣工程項目部，廣西 北海 536000

1 Colebrook-White 方程

在計算摩阻系數(shù)的眾多方程中，Colebrook-White方程較為常用［1-3］：

式中： f 為為水力摩阻系數(shù)；ε 為為管道內壁粗糙度，m；D 為為管道內徑，m；Re 為為雷諾數(shù)，無量綱量。

2 Colebrook-White 方程求解

隱式Colebrook-White 方程［4-6］，早期借助圖表進行估算，誤差較大；隨著數(shù)值算法及編程軟件的發(fā)展，可運用牛頓法、弦截法、拋物線法等迭代方法［7-9］或者使用數(shù)學軟件進行求解［10-13］；但迭代法計算用時較長，應用數(shù)學軟件有可能不能直接得出數(shù)值解。

2.1 Lambert W 格式的方程

使用MATLAB 求解式（1）得到如下最簡形式：

Lambert W 函數(shù)定義為：W=Lambert W（x），表達的數(shù)學意義為：w*exp（w）=x。 LambertW 函數(shù)是一個超越方程的形式，不能直接應用于工程計算。

2.2 WrightOmega 格式的方程

使用Maple 軟件求解式（1）得到如下最簡形式：

2.3 Product Log 格式的方程

使用Mathematica 軟件求解式 （1） 得到帶有Product Log 函數(shù)的方程， 形式更為復雜。 Product Log函數(shù)與Wright Omega 函數(shù)定義相同，仍然不能直接應用于工程計算。

3 Colebrook-White 顯式方程

3.1 顯式方程的推導

在數(shù)值方法研究的基礎上，綜合牛頓法和多重迭代法［7］，提出以下迭代法：

使用式（5）代替求導：

式（4）具有4 階以上收斂階。

3.2 顯示方程的提出

將式（1）代入式（4），經過數(shù)學推導，簡化得到顯式Colebrook-White 方程：

4 計算實例

4.1 方程使用

4.1.1 已知參數(shù)

雷諾數(shù)Re=5 813 924， 粗糙度k=0.02 mm， 管徑D=600 mm。

4.1.2 計算過程

將已知數(shù)值帶入b、c、x0計算， 得到表1 數(shù)值，進一步帶入式（6），即可解得摩阻系數(shù)。

4.2 結果分析

將式（6）與文獻［10］中的方程（見表2）作對比見表3［10］。

表1 數(shù)值表

表2 顯式Colebrook-White方程［10］

表3 摩阻系數(shù)計算參數(shù)對比［10］

表3 中， 采用的精確值為1.050 336 403 193 8×10-2，該值是采用拋物線法和弦截法分別求解式（1）所得計算值的平均值。

生成100 組實驗數(shù)據(jù)進行計算，式（6）計算結果的平均相對誤差為（1.5×10-7）%，絕對誤差為1.5×10-11；使用計算機編程求解， 計算所用時長約為拋物線法的1/32，約為弦截法的1/9。

5 結論

顯式Colebrook-White 方程具有以下特點：

a）適用范圍廣，適用于所有雷諾數(shù)范圍；

b）計算結果精度高，絕對誤差數(shù)量級10-11；

c）計算時間短，遠小于迭代算法；

d）形式簡單，既適合手算也適合計算機計算。

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