多目標(biāo)優(yōu)化與層次分析法相結(jié)合的滾齒機(jī)立柱改進(jìn)設(shè)計*

徐 君，張榮闖，王 軍，孫 軍，于建智

(1.沈陽建筑大學(xué) 交通與機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110168;2.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，沈陽110819)

0 引言

機(jī)床立柱的結(jié)構(gòu)是決定機(jī)床加工精度的關(guān)鍵因素，對立柱進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，提高機(jī)床的加工精度一直是工程師們關(guān)心的問題。一般的優(yōu)化方法只是從單一目標(biāo)出發(fā)，沒有實現(xiàn)部件總體的優(yōu)化設(shè)計，比如將立柱剛度最大化作為目標(biāo)函數(shù)，其質(zhì)量作為約束條件進(jìn)行目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化的結(jié)果往往使得其他指標(biāo)的改進(jìn)效果不理想。

多目標(biāo)優(yōu)化問題是實際中常見的問題，與單目標(biāo)優(yōu)化問題的本質(zhì)區(qū)別在于，多目標(biāo)優(yōu)化問題的解不是唯一的，而是存在一個最優(yōu)解的集合，能夠在給定的區(qū)域內(nèi)使多個目標(biāo)均盡可能的到達(dá)最佳的優(yōu)化值。針對機(jī)床結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題，姜衡［1］等針對結(jié)構(gòu)設(shè)計動態(tài)參數(shù)設(shè)計優(yōu)化展開研究，對立式加工中心主要部件進(jìn)行了參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化，并采取遺傳算法求取了最優(yōu)解;Jan Zavrel［2］等將由兩個簡單部件連接的機(jī)構(gòu)，通過設(shè)定左右臂的長度為設(shè)計參數(shù)，剛度和可加速度為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，并采取遺傳算法求得了最優(yōu)解。

層次分析法［3］是美國著名的運籌學(xué)家匹茲堡大學(xué)的T.L.Saaty 教授于二十世紀(jì)七十年代提出的一種多目標(biāo)決策分析方法。它把復(fù)雜的決策系統(tǒng)層次化，通過逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素的重要性，為分析、決策提供定量的依據(jù)。其基本原理是根據(jù)問題的性質(zhì)和所要達(dá)到的總目標(biāo)，將其分解為不同的組成因素，依照因素間的隸屬關(guān)系和相互影響，按不同層次聚集組合后形成的一個多層次分析結(jié)構(gòu)模型，利用人的經(jīng)驗對決策方案優(yōu)劣進(jìn)行排序，確定每一層的全部因素相對重要的權(quán)重值，進(jìn)而提出解決方案。劉世豪［4］等將層次分析法與模糊綜合評判法結(jié)合，快速有效地評價了機(jī)床的整機(jī)性能指標(biāo);Z. Aya?［5］運用層次分析法與仿真技術(shù)相結(jié)合，通過AHP 縮小市場上對機(jī)床產(chǎn)品影響因子不大的因素比例，運用仿真技術(shù)得到幾組可替代的方案，通過單元選擇投資成本比例得出最優(yōu)方案，進(jìn)而降低生產(chǎn)成本。

本文在分析滾齒機(jī)立柱改進(jìn)前動靜態(tài)特性的基礎(chǔ)上，將多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計與層次分析法相結(jié)合，充分利用二者在結(jié)構(gòu)設(shè)計上的優(yōu)點對滾齒機(jī)立柱進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計，將立柱改進(jìn)設(shè)計前后的動靜態(tài)特性進(jìn)行比較，比較結(jié)果驗證了本文所采用設(shè)計方法的可靠性與合理性。

1 滾齒機(jī)立柱改進(jìn)設(shè)計流程

首先根據(jù)立柱結(jié)構(gòu)確定影響改進(jìn)指標(biāo)的因素，在CAD 三維軟件對立柱建立參數(shù)化模型;其次，通過AWB 與CAD 軟件之間的無縫連接接口，將參數(shù)化CAD 模型直接轉(zhuǎn)化為AWB DS 中的數(shù)字CAE 模型，對立柱進(jìn)行動靜態(tài)分析，得到立柱改進(jìn)設(shè)計前的最大變形量和固有頻率;然后參考立柱的原始設(shè)計變量的尺寸規(guī)劃參數(shù)值變化區(qū)間，通過靈敏度分析得出優(yōu)化設(shè)計變量;以立柱質(zhì)量、一階固有頻率和最大變形量為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。最后，采用層次分析法選出立柱高剛度和輕量化的最優(yōu)參數(shù)值。圖1 為立柱的改進(jìn)設(shè)計流程圖。

圖1 立柱的改進(jìn)設(shè)計流程圖

2 立柱改進(jìn)前動靜態(tài)特性分析

通過有限元法對立柱進(jìn)行動靜態(tài)特性分析，得到其改進(jìn)設(shè)計前的立柱變形量和固有頻率。

2.1 立柱有限元模型

有限元模型的建立是動靜態(tài)力學(xué)分析的基礎(chǔ)。本文在三維CAD 軟件建立立柱的幾何建模同時對模型進(jìn)行適當(dāng)簡化，略去許多不影響立柱剛度，但對網(wǎng)格劃分產(chǎn)生較大影響的細(xì)微結(jié)構(gòu)(如圓弧、倒角、小凸臺和螺栓孔等)。選擇機(jī)床立柱的材料為灰鑄鐵HT300，彈性模量1.3 ×1011Pa，泊松比為0.27，密度為7.35 ×103kg/m3，單元類型為Solid187 四面體單元。網(wǎng)格劃分采用自動劃分功能，結(jié)合立柱實際尺寸，將單元尺寸限定在20mm 以內(nèi)。立柱有限元模型如圖2 所示，共有50424 個節(jié)點，24155 個單元。

圖2 立柱有限元模型

2.2 立柱靜態(tài)特性分析

通過靜態(tài)特性分析，可以得到立柱最大變形量。立柱載荷來自機(jī)床刀具端產(chǎn)生的集中切削載荷Fmax及主軸箱和滑架的重量G。本文中主軸箱及滑架的總重G=2100N。切削力與刀具類型、工件材料等有關(guān)。根據(jù)該滾齒機(jī)常用情況，選取工件材料為碳鋼，計算主切削力可按以下經(jīng)驗公式先計算最大力矩:

式中:m——法向模數(shù)(mm);

S——軸向進(jìn)給量(mm/r);

t——吃刀深度(mm);

T=t/2.25m;

V——切削速度(m/min);

D——滾刀外徑(mm);

Z——工件齒數(shù)K材;

K材——工件材料系數(shù);

K硬——螺旋角修正系數(shù);

K螺——工件硬度修正系數(shù)。

圖3 切削力與分力幾何關(guān)系示意圖

在求出的立柱所受到的集中切削力分力與主軸箱和滑架重力后，通過力和力矩平衡將其等效為立柱導(dǎo)軌所承受的梯度載荷。

機(jī)床立柱底部用8 個螺栓與床身固定連接，故在底部螺栓孔處要限制所有的自由度，施加固定約束，立柱底部要防止發(fā)生扭轉(zhuǎn)和滑移，因此在底面施加位移約束。圖4、圖5 分別為立柱在靜力分析后得到的立柱位移和應(yīng)力等值線圖。由圖4 可知，沿著立柱高度自上而下變形逐漸減小，且最大變形發(fā)生在立柱頂面與導(dǎo)軌相交處，最大變形接近0.029mm(小于允許值0.03mm)。圖5 表明，最大主應(yīng)力為9.02Mpa 遠(yuǎn)小于灰鑄鐵的抗拉強(qiáng)度，由此立柱滿足強(qiáng)度設(shè)計要求，具有很高的安全性［6］。

圖4 立柱位移等值線圖

圖5 立柱應(yīng)力等值線圖

2.3 立柱動態(tài)特性分析

模態(tài)是動力學(xué)性能的重要參數(shù)之一，用模態(tài)分析可以確定一個結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。在結(jié)構(gòu)的動態(tài)分析中，各階模態(tài)所具有的權(quán)重因子大小隨模態(tài)頻率的增大而減小，即低階模態(tài)特性基本決定了該機(jī)床的動態(tài)性能。由仿真分析可得立柱的前4 階固有頻率及振型描述如表1 所示，其振型如圖6 所示。

圖6 立柱前四階模態(tài)云圖

滾齒機(jī)切削時主軸產(chǎn)生的激振頻率為:

其中:n——滾刀主軸的轉(zhuǎn)速(r/min);

Zk——滾刀的容屑槽數(shù)。

對于該滾齒機(jī)而言，n∈［30，300］，Zk=12，經(jīng)計算可得切削時的激振頻率p∈［15，150］。由仿真分析結(jié)果可知，一階固有頻率大于切削產(chǎn)生的激振頻率，避開了滾刀主軸的共振區(qū)。

大力強(qiáng)化國防意識培育。突出管委會和企業(yè)各級領(lǐng)導(dǎo)干部、管理骨干這個重點，推動國防理論知識進(jìn)入管委會、企業(yè)管理層學(xué)習(xí)內(nèi)容，軍事機(jī)關(guān)組織重大活動邀請政企相關(guān)領(lǐng)導(dǎo)、骨干參加，深化其對武裝工作的認(rèn)識。根據(jù)經(jīng)濟(jì)功能區(qū)特點，結(jié)合民眾關(guān)注的國際國內(nèi)經(jīng)濟(jì)軍事要點熱點、國家重大經(jīng)濟(jì)軍事政策出臺等時機(jī)，突出經(jīng)濟(jì)建設(shè)與國防建設(shè)關(guān)系的教育，積極開展國防法規(guī)和相關(guān)知識針對性宣傳教育，推動國防宣傳教育融入企業(yè)文化宣傳和管理要素，使員工在日常管理中受到潛移默化的國防教育，為經(jīng)濟(jì)功能區(qū)民兵建設(shè)營造良好社會氛圍。

通過對前四階振型的分析，前兩階主要是擺動，后兩階出現(xiàn)扭動，說明立柱的壁厚以及內(nèi)壁筋板的厚度使得立柱的動剛度不足，須對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

表1 立柱前4 階模態(tài)計算結(jié)果

3 立柱參數(shù)靈敏度分析

在結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計過程中，為了避免結(jié)構(gòu)修改的盲目性，必須采用有效的控制策略。目前廣泛采用設(shè)計參數(shù)的靈敏度分析。

靈敏度分析的基本原理是:通過一定的數(shù)學(xué)方法和手段，計算出結(jié)構(gòu)的動靜態(tài)性能參數(shù)隨結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的變化靈敏度，然后選擇那些對動靜態(tài)特性影響較大的設(shè)計參數(shù)，并依據(jù)靈敏度值的大小正負(fù)，對設(shè)計參數(shù)值進(jìn)行修正。通過其靈敏度分析，可以確定結(jié)構(gòu)哪些部位的改進(jìn)對提高結(jié)構(gòu)動靜態(tài)特性最為有效的，方便找出最敏感的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)，最終得到結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方案［7］。根據(jù)經(jīng)驗，選擇可優(yōu)化的立柱主要尺寸如表2 所示。

表2 立柱主要尺寸

以表2 所列尺寸為設(shè)計變量，立柱靜力分析的最大變形量，一階固有頻率和立柱質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行靈敏度分析。圖7 為設(shè)計變量對立柱輸出參數(shù)的靈敏度圖。

圖7 設(shè)計變量對立柱輸出參數(shù)的靈敏度圖

圖7 中，零刻度線以上的部分表示:隨著尺寸的增大或減小，相應(yīng)的輸出參數(shù)也相應(yīng)增大或減小;位于零刻度線以下的部分表示:隨著尺寸的增大或減小，相應(yīng)的輸出參數(shù)相應(yīng)減小或增大。數(shù)值越大表示對輸出參數(shù)的影響越大。由圖可以看出P1 和P2對立柱的質(zhì)量、動靜態(tài)特性有著較大影響，因此將其作為設(shè)計變量，同時將設(shè)計變量的變換范圍設(shè)置為10%。圖8 為設(shè)計變量P1 壁厚與P2 筋板厚對各輸出參數(shù)的響應(yīng)面圖［8-9］。

圖8 設(shè)計變量對輸出參數(shù)的響應(yīng)面

4 立柱多目標(biāo)優(yōu)化

本文立柱的優(yōu)化主要采用ANSYS Workbench 軟件自身的專業(yè)優(yōu)化模塊De-sign Xplorer 進(jìn)行優(yōu)化。表3 為立柱優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和目標(biāo)要求:

表3 目標(biāo)函數(shù)

表4 六種設(shè)計方案

5 層次分析法最優(yōu)方案求解

層次分析法應(yīng)用主要為了從多目標(biāo)優(yōu)化所得到的六種設(shè)計方案中選擇最優(yōu)解，其具體流程如圖9所示。

圖9 層次分析法基本流程圖

5.1 層次結(jié)構(gòu)模型建立

圖10 為所建立的立柱設(shè)計方案的層次結(jié)構(gòu)模型。最上面的總目標(biāo)層為立柱的最優(yōu)設(shè)計方案;中間的準(zhǔn)則層為立柱質(zhì)量、最大變形量和固有頻率;最下面的方案層為六種設(shè)計方案。

圖10 立柱設(shè)計方案的層次模型

5.2 判斷矩陣構(gòu)建與單層權(quán)重求解

在所建立的遞階層次結(jié)構(gòu)模型中，除總目標(biāo)層外，每一層都是由多個元素組成，而同一層的各個元素對上一層的某一元素的影響程度不同，需要對同一層次的元素對上一級某一元素的影響程度進(jìn)行判斷并將其定量化。

在滿足立柱的強(qiáng)度和精度的前提下，立柱的質(zhì)量越小越好，即立柱質(zhì)量的倒數(shù)越大越有優(yōu)勢，得到六種設(shè)計方案質(zhì)量倒數(shù)矩陣:

對六種方案的質(zhì)量倒數(shù)兩兩比較，即方案A 的質(zhì)量倒數(shù)除以方案A 的質(zhì)量倒數(shù)得到第一行第一列的數(shù)據(jù)，方案B 的質(zhì)量倒數(shù)除以方案A 的質(zhì)量倒數(shù)得到第二行第一列的數(shù)據(jù)，以此類推得到矩陣:

分別對矩陣W 各列求和，得到矩陣:

將矩陣W 第1 行各列的數(shù)據(jù)分別除以矩陣Q 的對應(yīng)列，求平均值，并依次對矩陣W 的各行做以上計算，得到的矩陣即為六種方案中立柱質(zhì)量的優(yōu)先級矩陣:

同理可得，最大變形及固有頻率的優(yōu)先級矩陣為矩陣P2和矩陣P3。

5.3 判斷矩陣構(gòu)建與總層權(quán)重求解

在層次分析法中一般根據(jù)薩蒂提出的“1 -9 標(biāo)度方法”建立一系列的判斷矩陣來計算各矩陣的最大特征值和相應(yīng)的排序量值。表5 為評價立柱目標(biāo)函數(shù)優(yōu)先級“1 -9 標(biāo)度方法”表。

表5 “1－9 標(biāo)度方法”表

根據(jù)設(shè)計者經(jīng)驗得到目標(biāo)層各下屬因素的兩兩比較判斷矩陣I:

根據(jù)權(quán)重計算公式AT= λmaxAT(λ 為I 的特征值)，求出權(quán)重因子A:

A=(4/7，2/7，1/7)

5.4 最優(yōu)解的確定

將各方案對應(yīng)的評判標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)先級別與對應(yīng)的評判標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重相乘得到各方案量化指標(biāo)［ωAωBωCωDωEωF］=［0.1666 0.1671 0.167 0.1665 0.1663 0.1664］取各量化指標(biāo)的最大值ω=max{ωA，ωB，ωC，ωD，ωE，ωF}=0.1671 該最大值所對應(yīng)的即為方案B。將模型按方案B 的尺寸重新仿真分析，并將結(jié)果與優(yōu)化前進(jìn)行比較，如表6 所示。通過比較不難發(fā)現(xiàn)，在立柱的質(zhì)量減小的情況下，立柱的動靜態(tài)性能得到了一定的提高。

表6 優(yōu)化前后結(jié)果對比

6 結(jié)論

(1)本文將多目標(biāo)優(yōu)化應(yīng)用到滾齒機(jī)立柱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中，綜合考慮了設(shè)計參數(shù)對動靜態(tài)性能的影響，建立了以立柱質(zhì)量、變形量和一階固有頻率為目標(biāo)函數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型，與單目標(biāo)優(yōu)化相比，使目標(biāo)函數(shù)盡可能的達(dá)到了最優(yōu)值。

(2)采用層次分析法對多目標(biāo)優(yōu)化得到的參數(shù)組合進(jìn)行尋優(yōu)，通過對各方案權(quán)重的計算，快速有效地評價了各方案的優(yōu)劣，得到了最優(yōu)解。最終在保證質(zhì)量的前提下，有效的提高了立柱的動靜態(tài)特性。同時該方法將多目標(biāo)優(yōu)化與層次分析法有效集成，改變了傳統(tǒng)的基于部件優(yōu)化方法的片面性，實現(xiàn)了動態(tài)優(yōu)化，為產(chǎn)品的快速優(yōu)化設(shè)計，提供了一定的參考。

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