基于最小區(qū)域法的圓柱度幾何誤差評(píng)定*

黃 祥

(安徽國(guó)防科技職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，安徽 六安 237011)

0 引言

在機(jī)械工業(yè)生產(chǎn)中，不但要保證零件的尺寸精度，對(duì)形狀精度和位置精度也有很高的要求。零件幾何誤差既可以作為驗(yàn)收零件的依據(jù)，又能夠作為查找產(chǎn)生誤差的本源，進(jìn)而控制零件加工精度和裝配精度，保證機(jī)械產(chǎn)品的質(zhì)量。因此對(duì)零件幾何誤差評(píng)定理論與方法等眾多問(wèn)題的探討與研究，在一段時(shí)間內(nèi)成為計(jì)量領(lǐng)域中的熱點(diǎn)之一。

零件幾何誤差的優(yōu)化評(píng)定是一件比較復(fù)雜的工作，評(píng)定方法主要有最小二乘法、最小外接法、最大內(nèi)切法及最小區(qū)域法，在現(xiàn)行中，對(duì)零件幾何誤差的評(píng)定多數(shù)情況下采用的是“最小二乘法”，此評(píng)定方法整個(gè)求解過(guò)程相對(duì)較為簡(jiǎn)便，但評(píng)定結(jié)果的精確度小，不能滿足幾何誤差最小條件評(píng)定原則［1］。嚴(yán)格地按照最小條件進(jìn)行評(píng)定的方法是最小區(qū)域法［2］，在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)屬于極大值極小化問(wèn)題、或者是極小值的極大化問(wèn)題［3-4］。在構(gòu)建典型幾何誤差評(píng)定規(guī)劃模型的條件下，探究將最小區(qū)域法應(yīng)用于圓柱度誤差的優(yōu)化評(píng)定中，實(shí)驗(yàn)表明該方法能夠獲得更高的精度和更快的速度，具有較好的評(píng)定效果和應(yīng)用前景。

1 圓柱度誤差評(píng)定模型的構(gòu)建

幾何誤差是指零件的被測(cè)要素相對(duì)于理想要素之間的變動(dòng)范圍，決定零件幾何誤差大小的重要因素是理想要素所處的位置。在進(jìn)行幾何誤差評(píng)定時(shí)，理想要素的位置必須符合最小條件原則，即為實(shí)際要素與理想要素之間的最大變動(dòng)量應(yīng)該最小。由此可知，要滿足最小條件，與理想要素所在的位置關(guān)系密切，依據(jù)理想要素的位置和幾何誤差之間的關(guān)系，通過(guò)誤差變換，建立圓柱度誤差評(píng)定模型。

用兩個(gè)同軸的理想圓柱去包容被測(cè)要素，當(dāng)包容區(qū)域?yàn)樽钚r(shí)，包容區(qū)域的寬度就是圓柱度誤差值，其圓柱度最小區(qū)域評(píng)定規(guī)劃模型為:

在上式中:F 為目標(biāo)函數(shù)，u 和v 為特征參量，分別表示理想外接柱最大半徑和理想內(nèi)接柱最小半徑，被測(cè)點(diǎn)以(θi，zi，Ri)來(lái)表示，其中θi是轉(zhuǎn)角參數(shù)，zi是軸向坐標(biāo)，Ri是在采樣點(diǎn)處所測(cè)得的半徑值。

零件圓柱度誤差評(píng)定模型是生產(chǎn)中最常見(jiàn)的具有典型特征的幾何誤差評(píng)定模型。

2 規(guī)劃模型最小區(qū)域法的求解

對(duì)零件圓柱度誤差評(píng)定規(guī)劃模型的求解問(wèn)題，可以歸結(jié)為對(duì)復(fù)雜線性規(guī)劃的求解。標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃的可行域是一個(gè)凸多面體，如非空，一定有基本可行解;如有最優(yōu)解，一定有最優(yōu)基本可行解，因此在求解時(shí)，進(jìn)行基本可行解的迭代即可。用基本可行解來(lái)說(shuō)明最小區(qū)域法的尋優(yōu)過(guò)程如下:①把標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃的“約束方程組”用“典范型方程組”來(lái)表示，找出方程組的基本可行解，并且作為初始基本可行解;②若不存在基本可行解，則說(shuō)明約束條件存在問(wèn)題，方程組無(wú)解;③如果有基本可行解，將初始基本可行解作為始點(diǎn)，從可行性條件和最優(yōu)條件入手，用非基變量替換某一基變量，這樣在目標(biāo)函數(shù)值中，就能求解得到更優(yōu)的基本可行解;④按步驟③進(jìn)行循環(huán)疊代，直至可行解滿足最優(yōu)條件，即得到問(wèn)題的最優(yōu)答案。

典范型線性規(guī)劃模型可以表示為［5］:

可寫(xiě)為:

式中，XB= (x1，x2，…，xm)Τ是基變量，XN= (xm+1，xm+2，…，xn)Τ是非基變量;A = (B，N)，其中B =(a1，a2，…，am)。

與其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值是:

其中:

σN為與非基本變量XN對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)向量，若σN≥0，那么這個(gè)基本可行解就是最優(yōu)解。在利用上述最小區(qū)域法求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，在每次疊代計(jì)算的數(shù)據(jù)中，真正起作用的是以下的一些數(shù)據(jù):①基本可行解XB=B－1b 及其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值Z =CΤBB－1b;②非基變量檢驗(yàn)數(shù)σΤN=CΤN－CΤBB－1N 及其換入變量xk。③主元列元素B－1ak、換出變量xe，通過(guò)此兩個(gè)量，可求出一組新的基變量和新的可行基B1，這里只須解出B1即可，上述數(shù)據(jù)均能從線性規(guī)劃問(wèn)題的原始數(shù)據(jù)中求解得出。任一基本可行解的關(guān)鍵數(shù)據(jù)，均能直接從原線性規(guī)劃的典范型運(yùn)用矩陣和向量中求解，這是最小區(qū)域法的特征之一，最小區(qū)域法的另外一個(gè)特征是對(duì)B－1的求解過(guò)程，即:當(dāng)可行基從B 變換到B1時(shí)，B1－1的值通過(guò)B－1直接求出，顯著減少求解過(guò)程中的工作量。

規(guī)劃模型的最小區(qū)域法具體求解過(guò)程如下:

(1)先將一般線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為典范型;求解得到初始可行基B 的逆陣B－1，由此便可求出初始基本可行解XB=B－1b，XN=0;

(2)然后確定初始基本變量和初始可行基B，再

(3)算出乘子π=CBB－1，即能計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)的當(dāng)前值為:Z=CBB－1b=πb;

(5)根據(jù)min{σj| σj＜0}=σk確定非基變量xk為換入變量，解出B－1ak，如果B－1ak≤0，說(shuō)明線性規(guī)劃問(wèn)題的可行解集為無(wú)界，說(shuō)明不存在有限最優(yōu)解，至此求解過(guò)程結(jié)束，反之進(jìn)入下一個(gè)步驟;

(7)用ak代替ae得到新基B1，由B1－1=EekB－1計(jì)算新基的逆陣B1－1，求出新的基本可行解XB=B1－1b，XN=0，重復(fù)步驟(3)～(7)，直至求出最優(yōu)解。

3 應(yīng)用示例

如圖1 所示一階梯軸(圓柱類零件)，基本尺寸為φ80mm，其尺寸特征規(guī)范為φ80e7○E，根據(jù)工作條件，圓柱度公差要求為t =0.015mm。采用6 截面等間距周線測(cè)量法進(jìn)行數(shù)據(jù)的提取，利用本文方法評(píng)定該軸段圓柱度誤差，并判斷圓柱度是否符合要求。

圖1 被測(cè)軸

圖2 圓柱度評(píng)定結(jié)果可視化

表1 圓柱度評(píng)定結(jié)果 單位(μm)

表2 與其它方法的最小區(qū)域法評(píng)定結(jié)果比較

圖2 為被測(cè)軸段圓柱度最小區(qū)域包容評(píng)定的三維效果圖，表1 為圓柱度四種評(píng)定方法的評(píng)定結(jié)果，規(guī)劃模型求解方法采用本文提出的最小區(qū)域法。由結(jié)果可以知道，最小區(qū)域法圓柱度f(wàn) =10.832μm ＜t=0.015mm，則可以判斷該軸段圓柱度是合格的。遺傳算法［6］和最速下降算法［7］也是工程中常用的優(yōu)化算法，都可用于求解評(píng)定模型，表2 列出了三種優(yōu)化算法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)最小區(qū)域法評(píng)定結(jié)果的對(duì)比，從表中數(shù)據(jù)分析得出，最小區(qū)域算法評(píng)定值與遺傳算法的評(píng)定值很接近，但是明顯小于最速下降法評(píng)定的值，由此可知，用最小區(qū)域法能夠求出圓柱度誤差更為精確的值，同時(shí)可以看出，在前述中所建立的圓柱度誤差評(píng)定規(guī)劃模型是正確的。

4 結(jié)論

構(gòu)建正確的誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型，并采用合適的優(yōu)化算法，是保證幾何誤差精確評(píng)定的關(guān)鍵。在分析的基礎(chǔ)上，建立了基于幾何誤差特征的圓柱度誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型，將規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，提出將最小區(qū)域法應(yīng)用于圓柱度誤差模型的優(yōu)化求解中，提高了規(guī)劃模型的求解精度和求解速度。實(shí)驗(yàn)表明，采用最小區(qū)域法評(píng)定圓柱度誤差的正確性和可行性，這為機(jī)械工程中圓柱度誤差的快速而準(zhǔn)確的評(píng)定提供了理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持，并可推廣到零件其它幾何誤差評(píng)定。

［1］ISO/TS 17450－1:2000(E)Geometrical Product Specification (GPS)—General concepts—Part 2:Model for geometrical specification and verification［S］.

［2］李秀明，石照耀. 基于凸多邊形的直線度誤差的評(píng)定［J］. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2008，27(6):736－738.

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